3. 补角的性质：。
4. 余角的性质：。

解：
3. 同角（或等角）的补角相等
4. 同角（或等角）的余角相等

【分析】
解题时首先回忆补角、余角的定义：和为180°的两个角互为补角，和为90°的两个角互为余角。推导性质时可以分两步思考：①同一个角的补角（或余角），都等于180°（或90°）减去这个角，因此大小相等；②如果两个角大小相等，那么它们的补角（或余角）都等于180°（或90°）减去相等的角，因此大小也相等，结合这两点就能得出补角和余角的性质。
【解析】
3. 补角性质推导：若两个角互为补角，则两角之和为180°。
①同角的补角：设∠A的补角为∠1和∠2，则∠1=180°-∠A，∠2=180°-∠A，因此∠1=∠2，即同角的补角相等；
②等角的补角：设∠A=∠B，∠A的补角为∠1=180°-∠A，∠B的补角为∠2=180°-∠B，代入∠A=∠B可得∠1=∠2，即等角的补角相等。
综上可得补角的性质。
4. 余角性质推导：若两个角互为余角，则两角之和为90°。
①同角的余角：设∠A的余角为∠1和∠2，则∠1=90°-∠A，∠2=90°-∠A，因此∠1=∠2，即同角的余角相等；
②等角的余角：设∠A=∠B，∠A的余角为∠1=90°-∠A，∠B的余角为∠2=90°-∠B，代入∠A=∠B可得∠1=∠2，即等角的余角相等。
综上可得余角的性质。
【答案】
3. 同角（或等角）的补角相等
4. 同角（或等角）的余角相等
【知识点】
补角的性质、余角的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对余角、补角性质的记忆与理解，掌握相关基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9

1. 探究:(1) 余角定义中的“互为”是什么意思？
（2）互为余角的两个角是否一定有公共顶点？
（3）钝角有余角吗？直角有余角吗？为什么？
（4）余角的几何语言:若 $∠ 1 + ∠ 2 =$ $°$,则 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为 ；反过来说也成立:若 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为 ,那么 $∠ 1 + ∠ 2 =$ $°$.
$∠ 1$ 的余角可以写成:$90° -$ .

解：
(1) “互为”表示两个角之间相互依存的关系：如果两个角的和为90°，那么其中任意一个角都是另一个角的余角，不能脱离另一个角单独说某个角是余角。
(2) 互为余角的两个角不一定有公共顶点。互余仅对两个角的度数和有要求，即和为90°，与两个角的位置没有关联。
(3) 钝角没有余角，直角也没有余角。
原因：互余的两个角的度数和必须等于90°，钝角的度数大于90°，不存在正角度数与钝角相加等于90°；直角的度数等于90°，也不存在正角度数与直角相加等于90°，因此钝角和直角都没有余角。
(4) 依次填写：$\boldsymbol{90}$；$\boldsymbol{余角}$；$\boldsymbol{余角}$；$\boldsymbol{90}$；$\boldsymbol{∠1}$。

【分析】
本题围绕余角的基础概念设置问题，解题核心是紧扣余角的本质：两个角的度数之和为90°。思考路径如下：①理解“互为”的含义，明确它描述的是两个角的相互依存关系，无法单独说某一个角是余角；②判断互余与角的位置的关联，明确互余仅和度数和有关，与位置无关；③结合钝角、直角的度数范围，对比互余的度数要求，判断二者是否有余角；④根据余角定义直接对应填写几何语言表述即可。
【解析】
(1) “互为”表示两个角之间相互依存的关系：如果两个角的和为90°，那么其中任意一个角都是另一个角的余角，不能脱离另一个角单独说某个角是余角。
(2) 互为余角的两个角不一定有公共顶点。互余仅对两个角的度数和有要求，即和为90°，与两个角的位置没有关联。
(3) 钝角没有余角，直角也没有余角。
原因：互余的两个角的度数和必须等于90°，钝角的度数大于90°，不存在正角度数与钝角相加等于90°；直角的度数等于90°，也不存在正角度数与直角相加等于90°，因此钝角和直角都没有余角。
(4) 根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，反之也成立；一个角的余角等于90°减去这个角本身，因此依次填写对应内容即可。
【答案】
(1) “互为”表示两个角之间相互依存的关系：如果两个角的和为90°，那么其中任意一个角都是另一个角的余角，不能脱离另一个角单独说某个角是余角。
(2) 互为余角的两个角不一定有公共顶点。互余仅对两个角的度数和有要求，即和为90°，与两个角的位置没有关联。
(3) 钝角没有余角，直角也没有余角。原因：互余的两个角的度数和必须等于90°，钝角的度数大于90°，不存在正角度数与钝角相加等于90°；直角的度数等于90°，也不存在正角度数与直角相加等于90°，因此钝角和直角都没有余角。
(4) $\boldsymbol{90}$；$\boldsymbol{余角}$；$\boldsymbol{余角}$；$\boldsymbol{90}$；$\boldsymbol{∠1}$
【知识点】
余角的定义；互余的特征；余角的表示
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，通过对余角概念的多维度设问，帮助学生厘清容易混淆的认知误区，夯实余角相关知识的基础，为后续学习余角的性质、补角等相关内容做好铺垫。
【难度系数】
0.85

2.探究:(1) 补角的几何语言:若$∠ 1 + ∠ 2 =$ $°$,则$∠ 1$与$∠ 2$互为;反过来说也成立:若$∠ 1$与$∠ 2$互为,那么$∠ 1 + ∠ 2 =$ $°$.
$∠ 1$的补角可以写成:$180° -$ .
(2) 同一个角的补角比它的余角大多少度？

解：
(1) 若$∠1 + ∠2 = \boldsymbol{180}°$，则$∠1$与$∠2$互为$\boldsymbol{补角}$；反过来说也成立：若$∠1$与$∠2$互为$\boldsymbol{补角}$，那么$∠1 + ∠2 = \boldsymbol{180}°$。
$∠1$的补角可以写成：$180° - \boldsymbol{∠1}$。
(2) 设这个角的度数为$α$，
则它的补角为$180° - α$，它的余角为$90° - α$，
计算差值：
$(180° - α) - (90° - α) = 180° - α - 90° + α = 90°$
答：同一个角的补角比它的余角大$90°$。

【分析】
(1) 第一小问考查补角的基础定义，解题时直接回忆补角的概念即可：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，反之互为补角的两个角和为180°，据此可填写对应空缺；(2) 第二小问求同一个角的补角与余角的差值，我们可以先设这个角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义分别写出该角的余角和补角的表达式，两者作差后化简就能得到结果。
【解析】
(1) 根据补角的定义可知：若$∠1 + ∠2 = 180°$，则$∠1$与$∠2$互为补角；反过来说也成立：若$∠1$与$∠2$互为补角，那么$∠1 + ∠2 = 180°$；$∠1$的补角可以写成$180° - ∠1$。
(2) 设这个角的度数为$α$，
则它的补角为$180° - α$，它的余角为$90° - α$，
计算差值：
$\begin{split}&(180° - α) - (90° - α)\\=&180° - α - 90° + α\\=&90°\end{split}$
【答案】
(1) $180$；补角；补角；$180$；$∠1$
(2) $90°$
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角的运算
【点评】
本题是基础概念类习题，侧重对余角、补角定义的理解和简单应用，第一小问只需牢记定义即可作答，第二小问通过设参数的方式能直观梳理数量关系，计算时注意去括号的符号变化即可。
【难度系数】
0.9

如图,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中哪些角互为余角?

解：
因为点A，O，B在同一条直线上，
所以∠AOC + ∠BOC = 180°。
因为射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，
所以∠AOD = ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，
∠COE = ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOC。
所以∠DOC + ∠COE = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
由此可得：
∠AOD + ∠COE = 90°，
∠AOD + ∠BOE = 90°，
∠DOC + ∠COE = 90°，
∠DOC + ∠BOE = 90°。
所以图中互为余角的角为：∠AOD与∠COE，∠AOD与∠BOE，∠DOC与∠COE，∠DOC与∠BOE。

【分析】
要解决这个问题，首先明确互为余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。解题可按以下思路推进：第一步，根据点A、O、B在同一直线，得出∠AOC和∠BOC组成平角，和为180°；第二步，结合角平分线的性质，将OD、OE分出的小角用∠AOC和∠BOC表示，计算出一对小角的和为90°；第三步，利用角平分线得到的相等角进行替换，找出所有和为90°的角对即可。
【解析】
因为点A，O，B在同一条直线上，
所以∠AOC + ∠BOC = 180°。
因为射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，
所以∠AOD = ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，
∠COE = ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOC。
所以∠DOC + ∠COE = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
由此通过等角替换可得：
∠AOD + ∠COE = 90°，
∠AOD + ∠BOE = 90°，
∠DOC + ∠COE = 90°，
∠DOC + ∠BOE = 90°。
【答案】
互为余角的角为：∠AOD与∠COE，∠AOD与∠BOE，∠DOC与∠COE，∠DOC与∠BOE。
【知识点】
余角的定义；角平分线的性质；平角的定义
【点评】
本题是余角判定的基础题型，解题核心是利用平角和角平分线的性质推导出两个小角的和为90°，再通过等角替换找全所有互余的角，解题时要注意不要遗漏相等角替换后得到的互余组合。
【难度系数】
0.7

1. 已知$∠ A = 50°$,则它的余角为()

A.$40°$
B.$50°$
C.$130°$
D.$180°$

1.A

【分析】
解题时首先明确题目要求是求∠A的余角，首先回忆余角的定义：若两个角的和等于90°，则这两个角互为余角。由此可推导得出：求一个角的余角，只需用90°减去这个角的度数即可。接下来代入已知的∠A的度数计算，最后匹配对应选项就能得到答案。
【解析】
根据余角的定义：互为余角的两个角的和为90°，因此∠A的余角 = 90° - ∠A。
已知∠A = 50°，代入计算得：90° - 50° = 40°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义、角度计算
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记余角的定义，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在下列角中,能与①互余的角是,能与②互补的角是.（填序号）

2.③;⑤

【分析】
解题首先要明确余角和补角的定义：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。第一步求能与①互余的角：先计算90°减去①的角度，得到对应余角的度数，再从图中找出对应度数的角即可；第二步求能与②互补的角：计算180°减去②的角度，得到对应补角的度数，再从图中找出对应度数的角即可。
【解析】
1. 求与①互余的角：
已知①的角度为20°，根据余角定义，它的余角为$90°-20°=70°$，观察图形，③的角度为70°，因此能与①互余的是③。
2. 求与②互补的角：
已知②的角度为40°，根据补角定义，它的补角为$180°-40°=140°$，观察图形，⑤的角度为140°，因此能与②互补的是⑤。
【答案】
③；⑤
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握余角和补角的定义，通过简单的角度计算即可快速得出结果，做题时注意区分互余、互补对应的角度和即可。
【难度系数】
0.9

3. 如图，$∠ AOC = ∠ BOC = ∠ DOE = 90°$，
则：
(1) 图中与$∠ 3$互余的角是。

(2) 图中与$∠ 4$互余的角是。
(3) 图中有与$∠ 3$互补的角吗？若有，请写出来：。
(4) 图中除了已知相等的角外，还有哪些角相等？

3.(1)∠2和∠4 (2)∠3和∠1 (3)有,∠BOD (4)∠1 = ∠3,∠2 = ∠4

【分析】
解题前先明确核心概念：两个角的和为90°则两角互余，两个角的和为180°则两角互补；同角的余角相等，同角的补角相等。
结合已知的直角先梳理角的和差关系：①由∠AOC=90°可得∠1+∠2=90°；②由∠DOE=90°可得∠2+∠3=90°；③由∠BOC=90°可得∠3+∠4=90°。根据这三个和的关系，即可找出各角的互余角，再通过等量代换推导相等角、互补角。
【解析】
(1) 找与∠3互余的角：
由∠DOE=90°，得∠2+∠3=90°，故∠2和∠3互余；
由∠BOC=90°，得∠3+∠4=90°，故∠4和∠3互余。
因此与∠3互余的角是∠2和∠4。
(2) 找与∠4互余的角：
由∠BOC=90°，得∠3+∠4=90°，故∠3和∠4互余；
又因为∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，根据同角的余角相等得∠1=∠3，代入得∠1+∠4=90°，故∠1和∠4互余。
因此与∠4互余的角是∠3和∠1。
(3) 找与∠3互补的角：
平角∠AOB=180°，故∠1+∠BOD=180°；
由同角的余角相等得∠1=∠3，等量代换得∠3+∠BOD=180°，因此与∠3互补的角是∠BOD。
(4) 找除已知外相等的角：
∠1和∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等得∠1=∠3；
∠2和∠4都是∠3的余角，根据同角的余角相等得∠2=∠4。
【答案】
(1)∠2和∠4 (2)∠3和∠1 (3)有,∠BOD (4)∠1 = ∠3,∠2 = ∠4
【知识点】
余角的定义，补角的定义，余角的性质
【点评】
本题考查余角、补角的相关概念和性质，解题时需结合图形中的直角条件，梳理角之间的和差关系，灵活运用同角的余角相等进行等量代换即可求解。
【难度系数】
0.8