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6. 如图,已知$∠ AOB = 144°$,射线$OD$在$∠ AOB$内部,射线$OC$在$∠ AOD$内部,且$∠ AOB = 3∠ COD$.
(1)求$∠ COD$的度数;
(2)若射线$OE$平分$∠ BOC$,射线$OD$在$∠ AOE$内部,$∠ DOE = 12°$,求$∠ AOC$的度数.
(1)求$∠ COD$的度数;
(2)若射线$OE$平分$∠ BOC$,射线$OD$在$∠ AOE$内部,$∠ DOE = 12°$,求$∠ AOC$的度数.
答案
(1)48° (2)24°
解析
【分析】
(1) 第一问直接利用已知的∠AOB和∠COD的倍数关系，代入∠AOB的度数即可直接计算出∠COD的度数。
(2) 第二问先结合∠COD和∠DOE的度数求出∠COE的度数，再根据角平分线的定义得到∠BOC的度数，最后利用∠AOC与∠AOB、∠BOC的和差关系计算出∠AOC的度数即可。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB=144°$，且$∠ AOB=3∠ COD$，
则$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×144°=48°$。
(2) 由题意得，$∠ COE=∠ COD+∠ DOE$，
将$∠ COD=48°$，$∠ DOE=12°$代入得：$∠ COE=48°+12°=60°$。
因为射线$OE$平分$∠ BOC$，根据角平分线的定义，$∠ BOC=2∠ COE=2×60°=120°$。
又因为$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$，
代入数值得：$∠ AOC=144°-120°=24°$。
【答案】
(1)$48°$；(2)$24°$
【知识点】
角的和差运算、角平分线的定义
【点评】
本题是角的运算的典型基础题，解题核心是梳理清楚图中各角的数量关系和位置关系，结合已知条件逐步推导所求角的度数，计算过程难度较低，掌握角的基本运算法则和角平分线的性质即可解答。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问直接利用已知的∠AOB和∠COD的倍数关系，代入∠AOB的度数即可直接计算出∠COD的度数。
(2) 第二问先结合∠COD和∠DOE的度数求出∠COE的度数，再根据角平分线的定义得到∠BOC的度数，最后利用∠AOC与∠AOB、∠BOC的和差关系计算出∠AOC的度数即可。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB=144°$，且$∠ AOB=3∠ COD$，
则$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×144°=48°$。
(2) 由题意得，$∠ COE=∠ COD+∠ DOE$，
将$∠ COD=48°$，$∠ DOE=12°$代入得：$∠ COE=48°+12°=60°$。
因为射线$OE$平分$∠ BOC$，根据角平分线的定义，$∠ BOC=2∠ COE=2×60°=120°$。
又因为$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$，
代入数值得：$∠ AOC=144°-120°=24°$。
【答案】
(1)$48°$；(2)$24°$
【知识点】
角的和差运算、角平分线的定义
【点评】
本题是角的运算的典型基础题，解题核心是梳理清楚图中各角的数量关系和位置关系，结合已知条件逐步推导所求角的度数，计算过程难度较低，掌握角的基本运算法则和角平分线的性质即可解答。
【难度系数】
0.7
7. 已知 $∠ AOB = 90°, OC$ 是过点 $O$ 且在$∠ AOB$ 内部的一条射线，$OD, OE$ 分别平分$∠ AOC, ∠ BOC$. 当 $OC$ 绕点 $O$ 在 $∠ AOB$ 的内部旋转时，请你探究 $∠ DOE$ 的度数是否发生变化？并说明理由.
答案
不变化,理由略.
解析
【分析】
要判断∠DOE的度数是否变化，我们可以先将∠DOE拆分为∠DOC与∠COE的和，结合已知OD、OE是角平分线的条件，根据角平分线定义把两个小角转化为对应大角的一半，再通过整体代换把两个小角的和转化为∠AOB的一半，而∠AOB是固定的90°，由此就能得出∠DOE的度数是定值，和OC的旋转位置无关。
【解析】
解：∠DOE的度数不发生变化，理由如下：
∵ OD平分∠AOC，OE平分∠BOC
∴ $∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$
∴ $∠ DOE = ∠ DOC + ∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC + \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC)$
又
∵ $∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB = 90°$
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
因此无论OC在∠AOB内部如何旋转，∠DOE恒为45°，度数不会变化。
【答案】
∠DOE的度数不发生变化，恒为45°
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角的和差计算 3.整体代换思想
【点评】
本题是角的动态定值类典型题型，解题核心是利用角平分线性质将所求角转化为定角的一半，用到的整体代换思路是解决这类动态定值问题的常用方法，熟练掌握角的基础运算性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
要判断∠DOE的度数是否变化，我们可以先将∠DOE拆分为∠DOC与∠COE的和，结合已知OD、OE是角平分线的条件，根据角平分线定义把两个小角转化为对应大角的一半，再通过整体代换把两个小角的和转化为∠AOB的一半，而∠AOB是固定的90°，由此就能得出∠DOE的度数是定值，和OC的旋转位置无关。
【解析】
解：∠DOE的度数不发生变化，理由如下：
∵ OD平分∠AOC，OE平分∠BOC
∴ $∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$
∴ $∠ DOE = ∠ DOC + ∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC + \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC)$
又
∵ $∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB = 90°$
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
因此无论OC在∠AOB内部如何旋转，∠DOE恒为45°，度数不会变化。
【答案】
∠DOE的度数不发生变化，恒为45°
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角的和差计算 3.整体代换思想
【点评】
本题是角的动态定值类典型题型，解题核心是利用角平分线性质将所求角转化为定角的一半，用到的整体代换思路是解决这类动态定值问题的常用方法，熟练掌握角的基础运算性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
1. 如果两个角的和等于$90°$(直角)，就说这两个角互为，即其中一个角是另一个角的。
答案
解：
余角
余角
余角
余角
解析
【分析】
解题时首先回忆余角的相关定义，题目明确给出两个角的和为90°（直角）这一条件，对应余角的定义内容，直接匹配对应的概念即可：首先明确和为90°的两个角的相互关系是“互为余角”，再理解“互为”的含义，即其中每个角都是另一个角的余角，就能填出对应空。
【解析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于$90°$（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。因此两个空依次填入余角、余角。
【答案】
余角；余角
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题是对基础几何概念的直接考查，难度较低，核心是牢记余角的概念内容即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆余角的相关定义，题目明确给出两个角的和为90°（直角）这一条件，对应余角的定义内容，直接匹配对应的概念即可：首先明确和为90°的两个角的相互关系是“互为余角”，再理解“互为”的含义，即其中每个角都是另一个角的余角，就能填出对应空。
【解析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于$90°$（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。因此两个空依次填入余角、余角。
【答案】
余角；余角
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题是对基础几何概念的直接考查，难度较低，核心是牢记余角的概念内容即可正确作答。
【难度系数】
0.9
2.如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为,即其中一个角是另一个角的.
答案
解：补角；补角
解析
【分析】
这道题考查补角的基础定义，解题时首先回忆余角、补角的核心概念：和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角。题目明确给出两个角的和为180°，对应补角的定义，直接根据定义填写空缺内容即可。
【解析】
根据补角的定义：若两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角，其中每一个角都是另一个角的补角。因此两个空缺依次填入补角、补角。
【答案】
补角；补角
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对教材基础定义的记忆与区分，只要能准确区分余角和补角的定义即可轻松作答。
【难度系数】
0.95
这道题考查补角的基础定义，解题时首先回忆余角、补角的核心概念：和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角。题目明确给出两个角的和为180°，对应补角的定义，直接根据定义填写空缺内容即可。
【解析】
根据补角的定义：若两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角，其中每一个角都是另一个角的补角。因此两个空缺依次填入补角、补角。
【答案】
补角；补角
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对教材基础定义的记忆与区分，只要能准确区分余角和补角的定义即可轻松作答。
【难度系数】
0.95
