4. 如图，$∠ EDC = ∠ CDF = 90°, ∠ 1 = ∠ 2.$
（1）图中哪些角互为余角？哪些角互为补角？
（2）$∠ ADC$ 与 $∠ BDC$ 有什么关系？为什么？
（3）$∠ ADF$ 与 $∠ BDE$ 有什么关系？为什么？

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余角和补角的定义是什么？叙述余角和补角的性质。

解：
(1) 互为余角的角：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠ADC，∠2与∠BDC；
互为补角的角：∠1与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠2与∠ADF，∠EDC与∠CDF。
(2) $∠ ADC = ∠ BDC$，理由如下：
$\because ∠ EDC = 90°$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ ADC = 90°$，即$∠ ADC$是$∠ 1$的余角。
$\because ∠ CDF = 90°$，
$\therefore ∠ 2 + ∠ BDC = 90°$，即$∠ BDC$是$∠ 2$的余角。
又$\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ BDC$（等角的余角相等）。
(3) $∠ ADF = ∠ BDE$，理由如下：
$\because ∠ 1 + ∠ ADF = 180°$，即$∠ ADF$是$∠ 1$的补角，
$∠ 2 + ∠ BDE = 180°$，即$∠ BDE$是$∠ 2$的补角，
又$\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore ∠ ADF = ∠ BDE$（等角的补角相等）。
余角的定义：如果两个角的和等于$90°$（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
补角的定义：如果两个角的和等于$180°$（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。

【分析】
解题时先明确余角（和为90°的两个角）、补角（和为180°的两个角）的定义，再结合图形中的直角、平角以及已知∠1=∠2的条件逐一分析：
1. 解决第（1）问时，先找所有和为90°的角对，再找和为180°的角对，注意不要漏写符合条件的角；
2. 解决第（2）问时，先判断∠ADC、∠BDC分别是∠1、∠2的余角，再结合∠1=∠2，利用等角的余角相等即可得出结论；
3. 解决第（3）问时，先判断∠ADF、∠BDE分别是∠1、∠2的补角，再结合∠1=∠2，利用等角的补角相等即可得出结论；
最后再结合所学内容准确叙述余角、补角的定义和性质即可。
【解析】
(1) 互为余角的两个角和为90°，结合已知∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2可得：
互为余角的角：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠ADC，∠2与∠BDC；
互为补角的两个角和为180°，结合平角特征和已知条件可得：
互为补角的角：∠1与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠2与∠ADF，∠EDC与∠CDF。
(2) $∠ ADC = ∠ BDC$，理由如下：
$\because ∠EDC = 90°$，
$\therefore ∠1 + ∠ADC = 90°$，即$∠ADC$是$∠1$的余角。
$\because ∠CDF = 90°$，
$\therefore ∠2 + ∠BDC = 90°$，即$∠BDC$是$∠2$的余角。
又$\because ∠1 = ∠2$，
$\therefore ∠ADC = ∠BDC$（等角的余角相等）。
(3) $∠ ADF = ∠ BDE$，理由如下：
$\because ∠1 + ∠ADF = 180°$，即$∠ADF$是$∠1$的补角，
$∠2 + ∠BDE = 180°$，即$∠BDE$是$∠2$的补角，
又$\because ∠1 = ∠2$，
$\therefore ∠ADF = ∠BDE$（等角的补角相等）。
余角的定义：如果两个角的和等于$90°$（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
补角的定义：如果两个角的和等于$180°$（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。
【答案】
(1) 互为余角：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠ADC，∠2与∠BDC；
互为补角：∠1与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠2与∠ADF，∠EDC与∠CDF；
(2) $∠ ADC=∠ BDC$，理由：等角的余角相等；
(3) $∠ ADF=∠ BDE$，理由：等角的补角相等；
余角定义：两个角的和为$90°$则互为余角；
补角定义：两个角的和为$180°$则互为补角；
性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 余角的性质
3. 补角的性质
【点评】
本题围绕余角、补角的相关知识设置问题，侧重考查对基础定义和性质的理解与应用，解题时需要结合图形准确判断角之间的和差关系，牢记相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

1. 已知$∠ A = 138°25'$，则$∠ A$的补角是()

A.$42°75'$
B.$42°35'$
C.$41°35'$
D.$41°75'$

1.C

【分析】
本题考查补角的计算，解题思路如下：首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，因此求∠A的补角只需用180°减去∠A的度数即可。其次要注意度、分是60进制（1°=60′），做减法时若分不够减，需要从度的部分借1°转化为60′再计算，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
根据补角的定义，两个角的和为180°时互为补角，因此∠A的补角为：
$180° - ∠A$
已知$∠A=138°25'$，把$180°$转化为$179°60'$（因为$1°=60'$，借1°换算为60′方便计算），代入得：
$180° - 138°25' = 179°60' - 138°25' = (179° - 138°) + (60' - 25') = 41°35'$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查补角的概念和度分秒的60进制运算规则，易错点是计算时未掌握度分秒的60进制借位规则，或误按10进制计算导致结果错误。
【难度系数】
0.7

2. 若$∠ A + ∠ B = 180°, ∠ B + ∠ C = 180°$,则$∠ A = ∠ C$,理由是()

A.同角的余角相等
B.同角的补角相等
C.等角的余角相等
D.等角的补角相等

2.B

【分析】
解题时可分两步思考：第一步，先判断涉及的是余角还是补角：已知两个等式的角度和均为180°，符合补角的定义，因此直接排除描述余角性质的A、C选项；第二步，区分“同角”和“等角”：∠A和∠C都是与同一个角∠B互补，即它们的补角是同一个角，因此对应“同角的补角相等”，排除D选项，即可选出正确答案。
【解析】
根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
由∠A + ∠B = 180°，可得∠A是∠B的补角；
由∠B + ∠C = 180°，可得∠C也是∠B的补角；
根据补角的性质：同角的补角相等，因此∠A = ∠C，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；补角的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆“同角”和“等角”、“余角”和“补角”的概念，解题时先结合角度和判断角的类型，再分析补角/余角的关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 如果$∠A$既有余角又有补角，那么$∠A$的取值范围是()

A.$90° ＜ ∠A ＜ 180°$
B.$0° ＜ ∠A ＜ 90°$
C.$∠A = 90°$
D.$∠A = 180°$

3.B

【分析】
解题时首先要明确余角和补角的定义，先分别推导∠A有余角时的取值范围、有补角时的取值范围，再取两个范围的公共部分，就能得到∠A的最终取值范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据余角的定义：两个角的和为90°时，这两个角互为余角，可知若∠A有余角，则需满足$0° ＜ ∠ A ＜ 90°$；
根据补角的定义：两个角的和为180°时，这两个角互为补角，可知若∠A有补角，则需满足$0° ＜ ∠ A ＜ 180°$；
因为∠A既有余角又有补角，所以取两个范围的交集，可得$0° ＜ ∠ A ＜ 90°$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握余角和补角的适用范围，要明确只有锐角才同时存在余角和补角，直角、钝角都不满足同时有余角和补角的要求。
【难度系数】
0.8

4. 已知$∠α$和$∠β$互补，且$∠α ＞ ∠β$，给出下列表示$∠β$的余角的式子：①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$。其中正确的有()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

4.B

【分析】
解题首先要明确余角、补角的定义：两个角和为90°则互余，和为180°则互补。已知∠α和∠β互补，可得∠α+∠β=180°，∠β的余角本质是等于90°-∠β的式子，我们只需将四个式子分别利用∠α+∠β=180°化简，判断是否等于90°-∠β即可。
【解析】
∵ ∠α和∠β互补，
∴ ∠α + ∠β = 180°，即∠α = 180° - ∠β。
根据余角定义，∠β的余角为90° - ∠β，因此：
① 90° - ∠β，直接符合余角定义，正确；
② 将∠α = 180° - ∠β代入∠α - 90°，得180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β，符合余角形式，正确；
③ $\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$ = $\frac{1}{2}×180°$ = 90°，不等于90° - ∠β，错误；
④ 将∠α = 180° - ∠β代入$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$，得$\frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β)$ = $\frac{1}{2}(180° - 2∠β)$ = 90° - ∠β，符合余角形式，正确。
综上，正确的式子有①②④共3个。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角的和差计算
【点评】
本题核心是利用余角、补角的定义进行式子化简判断，解题关键是根据互补关系得到两角和为180°，通过代换将待判断式子转化为余角的标准形式对比即可，注意不要忽略通过两角和的关系间接推导余角的方法。
【难度系数】
0.7