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5. 在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是(
A.60°
B.120°
C.60°或90°
D.60°或120°
D
)A.60°
B.120°
C.60°或90°
D.60°或120°
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查角度计算，由于题目未明确射线OC、OD与直线AB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC、OD在直线AB的同侧；②射线OC、OD在直线AB的异侧。结合垂直的定义和平角为180°的性质，分别计算两种情况下∠BOD的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：当射线OC、OD在直线AB的同侧时，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°，
又
∵ 直线AB形成平角∠AOB=180°，
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠COD = 180° - 30° - 90° = 60°；
情况2：当射线OC、OD在直线AB的异侧时，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°，
已知∠AOC=30°，
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 30° = 60°，
又
∵ ∠AOB=180°，
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 60° = 120°。
综上，∠BOD的度数是60°或120°。
【答案】
D
【知识点】
垂直的定义；平角的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略射线位置的多种可能性出现漏解，解题时要结合题意画出所有符合条件的图形，全面分析问题。
【难度系数】
0.6
本题考查角度计算，由于题目未明确射线OC、OD与直线AB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC、OD在直线AB的同侧；②射线OC、OD在直线AB的异侧。结合垂直的定义和平角为180°的性质，分别计算两种情况下∠BOD的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：当射线OC、OD在直线AB的同侧时，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°，
又
∵ 直线AB形成平角∠AOB=180°，
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠COD = 180° - 30° - 90° = 60°；
情况2：当射线OC、OD在直线AB的异侧时，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°，
已知∠AOC=30°，
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 30° = 60°，
又
∵ ∠AOB=180°，
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 60° = 120°。
综上，∠BOD的度数是60°或120°。
【答案】
D
【知识点】
垂直的定义；平角的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略射线位置的多种可能性出现漏解，解题时要结合题意画出所有符合条件的图形，全面分析问题。
【难度系数】
0.6
6.一个角的补角加上$10°$,等于这个角的余角的3倍,求这个角. 
答案
6.40°
解析
【分析】
首先回忆余角、补角的定义：两个角和为90°则互余，和为180°则互补。我们可以设这个角的度数为未知数，分别用含未知数的式子表示出它的补角和余角，再根据题目给出的“补角加10°等于余角的3倍”的等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$(180-x)+10=3×(90-x)$
去括号得：$180-x+10=270-3x$
移项得：$-x+3x=270-180-10$
合并同类项得：$2x=80$
系数化为1得：$x=40$
【答案】
$40°$
【知识点】
余角和补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于余角补角的基础应用题，解题核心是准确用未知数表示出对应角的度数，结合题干等量关系列方程求解，计算过程简单，掌握基础定义和一元一次方程解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.85
首先回忆余角、补角的定义：两个角和为90°则互余，和为180°则互补。我们可以设这个角的度数为未知数，分别用含未知数的式子表示出它的补角和余角，再根据题目给出的“补角加10°等于余角的3倍”的等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$(180-x)+10=3×(90-x)$
去括号得：$180-x+10=270-3x$
移项得：$-x+3x=270-180-10$
合并同类项得：$2x=80$
系数化为1得：$x=40$
【答案】
$40°$
【知识点】
余角和补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于余角补角的基础应用题，解题核心是准确用未知数表示出对应角的度数，结合题干等量关系列方程求解，计算过程简单，掌握基础定义和一元一次方程解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.85
7. 两个形状、大小完全相同的含有$45°$角的三角尺按如图①放置.
(1) 若 $∠ ABF = α$, 则 $∠ ABE =$
(2) 若 $∠ ABE = 2∠ CBE$, 求 $∠ ABF$ 的度数;
(3) 试说明$∠ ABE$与$∠ CBF$互为补角;
(4) 若把图①中的三角尺$ABC$绕点$B$转动到图②的位置,试说明(3)中$∠ ABE$与$∠ CBF$之间的关系还成立吗？
(1) 若 $∠ ABF = α$, 则 $∠ ABE =$
90°−α
, $∠ CBF =$ 90°+α
;(2) 若 $∠ ABE = 2∠ CBE$, 求 $∠ ABF$ 的度数;
(3) 试说明$∠ ABE$与$∠ CBF$互为补角;
(4) 若把图①中的三角尺$ABC$绕点$B$转动到图②的位置,试说明(3)中$∠ ABE$与$∠ CBF$之间的关系还成立吗？
答案
7. (1)90°−α;90°+α (2)30° (3)略 (4)成立,理由略.
解析
【分析】
首先明确两个含45°的三角尺为等腰直角三角尺，隐含条件∠ABC=∠EBF=90°，以此为基础求解各问：
(1) 观察角的位置，∠ABE是直角∠EBF减去∠ABF，∠CBF是直角∠ABC加上∠ABF，直接用和差计算即可；
(2) 先利用∠ABC=90°，结合∠ABE=2∠CBE的倍角关系求出∠ABE的度数，再结合∠EBF=90°计算∠ABF；
(3) 要判定两角互补，只需证明两角之和为180°，将∠ABE+∠CBF拆分为已知直角的和即可得证；
(4) 三角尺转动后，利用周角为360°，计算∠ABE与∠CBF的和，判断是否仍为180°即可验证关系是否成立。
【解析】
由题意得：两个三角尺均为等腰直角三角尺，故∠ABC=∠EBF=90°。
(1)
∵∠EBF=90°，∠ABF=α
∴∠ABE=∠EBF - ∠ABF = 90°−α
又
∵∠ABC=90°
∴∠CBF=∠ABC + ∠ABF = 90°+α
(2)
∵∠ABC=∠ABE + ∠CBE=90°，且∠ABE=2∠CBE
∴2∠CBE + ∠CBE=90°，即3∠CBE=90°，解得∠CBE=30°
∴∠ABE=2×30°=60°
又
∵∠EBF=90°
∴∠ABF=∠EBF - ∠ABE=90°−60°=30°
(3) 证明：
∠ABE + ∠CBF = ∠ABE + ∠ABC + ∠ABF
=∠ABC + (∠ABE + ∠ABF)
=∠ABC + ∠EBF
=90°+90°=180°
∴∠ABE与∠CBF互为补角。
(4) 关系仍成立，理由如下：
∵∠ABC=∠EBF=90°，周角为360°
∴∠ABE + ∠CBF = 360° - ∠ABC - ∠EBF = 360°−90°−90°=180°
∴∠ABE与∠CBF仍互为补角，(3)的关系成立。
【答案】
(1) $90°-α$；$90°+α$
(2) $30°$
(3) ∠ABE与∠CBF互为补角
(4) 成立，∠ABE与∠CBF仍互为补角
【知识点】
角的和差计算；补角的定义；直角的性质
【点评】
本题围绕三角尺的转动考查角的运算与补角的判定，解题核心是抓住三角尺的直角为定值，通过角的拆分、转化计算两角的和差关系，转动类问题需注意结合周角的度数分析角的数量关系。
【难度系数】
0.7
首先明确两个含45°的三角尺为等腰直角三角尺，隐含条件∠ABC=∠EBF=90°，以此为基础求解各问：
(1) 观察角的位置，∠ABE是直角∠EBF减去∠ABF，∠CBF是直角∠ABC加上∠ABF，直接用和差计算即可；
(2) 先利用∠ABC=90°，结合∠ABE=2∠CBE的倍角关系求出∠ABE的度数，再结合∠EBF=90°计算∠ABF；
(3) 要判定两角互补，只需证明两角之和为180°，将∠ABE+∠CBF拆分为已知直角的和即可得证；
(4) 三角尺转动后，利用周角为360°，计算∠ABE与∠CBF的和，判断是否仍为180°即可验证关系是否成立。
【解析】
由题意得：两个三角尺均为等腰直角三角尺，故∠ABC=∠EBF=90°。
(1)
∵∠EBF=90°，∠ABF=α
∴∠ABE=∠EBF - ∠ABF = 90°−α
又
∵∠ABC=90°
∴∠CBF=∠ABC + ∠ABF = 90°+α
(2)
∵∠ABC=∠ABE + ∠CBE=90°，且∠ABE=2∠CBE
∴2∠CBE + ∠CBE=90°，即3∠CBE=90°，解得∠CBE=30°
∴∠ABE=2×30°=60°
又
∵∠EBF=90°
∴∠ABF=∠EBF - ∠ABE=90°−60°=30°
(3) 证明：
∠ABE + ∠CBF = ∠ABE + ∠ABC + ∠ABF
=∠ABC + (∠ABE + ∠ABF)
=∠ABC + ∠EBF
=90°+90°=180°
∴∠ABE与∠CBF互为补角。
(4) 关系仍成立，理由如下：
∵∠ABC=∠EBF=90°，周角为360°
∴∠ABE + ∠CBF = 360° - ∠ABC - ∠EBF = 360°−90°−90°=180°
∴∠ABE与∠CBF仍互为补角，(3)的关系成立。
【答案】
(1) $90°-α$；$90°+α$
(2) $30°$
(3) ∠ABE与∠CBF互为补角
(4) 成立，∠ABE与∠CBF仍互为补角
【知识点】
角的和差计算；补角的定义；直角的性质
【点评】
本题围绕三角尺的转动考查角的运算与补角的判定，解题核心是抓住三角尺的直角为定值，通过角的拆分、转化计算两角的和差关系，转动类问题需注意结合周角的度数分析角的数量关系。
【难度系数】
0.7
