登录
【变式】将下图中的角用不同方法表示出来，
并填写在表中：
∠ABC ∠α ∠β ∠C ∠BAD ∠2
并填写在表中：
∠ABC ∠α ∠β ∠C ∠BAD ∠2
答案
∠B ∠ADC ∠ADB ∠ACD或∠ACB ∠1 ∠CAD
解析
【分析】
首先回忆角的3种常用表示规则：①用三个大写字母表示时，顶点字母必须放在中间；②若顶点处只有唯一1个角，可直接用顶点的单个大写字母表示；③可用希腊字母或阿拉伯数字标注表示角。解题时逐个对应给出的角，结合图形中角的位置转换为其他表示形式即可：∠ABC顶点为B且B处只有1个角，可简写为∠B；∠α顶点为D、两边是DC和DA，对应∠ADC；∠β顶点为D、两边是DB和DA，对应∠ADB；∠C用三个大写字母表示时可写为∠ACB或∠ACD；∠BAD是用数字标注的∠1；∠2顶点为A、两边是AC和AD，对应∠CAD。
【解析】
根据角的表示规则逐一转换：
1. ∠ABC的顶点为B，且B点处只有1个角，可简记为$\boxed{∠B}$；
2. 希腊字母∠α对应的角顶点为D，两边分别是射线DC、DA，用三个大写字母表示为$\boxed{∠ADC}$；
3. 希腊字母∠β对应的角顶点为D，两边分别是射线DB、DA，用三个大写字母表示为$\boxed{∠ADB}$；
4. ∠C的顶点为C，两边分别与点A、B（或A、D）共线，用三个大写字母可表示为$\boxed{∠ACB}$（或$\boxed{∠ACD}$）；
5. ∠BAD是用数字标注的角，对应$\boxed{∠1}$；
6. 数字标注的∠2对应的角顶点为A，两边是射线AC、AD，用三个大写字母表示为$\boxed{∠CAD}$。
【答案】
∠B ∠ADC ∠ADB ∠ACD或∠ACB ∠1 ∠CAD
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的不同表示方式的应用，解题时需注意：若一个顶点处存在多个角，不可仅用顶点的单个大写字母表示，避免出现歧义，选择合适的表示方法即可准确对应角。
【难度系数】
0.8
首先回忆角的3种常用表示规则：①用三个大写字母表示时，顶点字母必须放在中间；②若顶点处只有唯一1个角，可直接用顶点的单个大写字母表示；③可用希腊字母或阿拉伯数字标注表示角。解题时逐个对应给出的角，结合图形中角的位置转换为其他表示形式即可：∠ABC顶点为B且B处只有1个角，可简写为∠B；∠α顶点为D、两边是DC和DA，对应∠ADC；∠β顶点为D、两边是DB和DA，对应∠ADB；∠C用三个大写字母表示时可写为∠ACB或∠ACD；∠BAD是用数字标注的∠1；∠2顶点为A、两边是AC和AD，对应∠CAD。
【解析】
根据角的表示规则逐一转换：
1. ∠ABC的顶点为B，且B点处只有1个角，可简记为$\boxed{∠B}$；
2. 希腊字母∠α对应的角顶点为D，两边分别是射线DC、DA，用三个大写字母表示为$\boxed{∠ADC}$；
3. 希腊字母∠β对应的角顶点为D，两边分别是射线DB、DA，用三个大写字母表示为$\boxed{∠ADB}$；
4. ∠C的顶点为C，两边分别与点A、B（或A、D）共线，用三个大写字母可表示为$\boxed{∠ACB}$（或$\boxed{∠ACD}$）；
5. ∠BAD是用数字标注的角，对应$\boxed{∠1}$；
6. 数字标注的∠2对应的角顶点为A，两边是射线AC、AD，用三个大写字母表示为$\boxed{∠CAD}$。
【答案】
∠B ∠ADC ∠ADB ∠ACD或∠ACB ∠1 ∠CAD
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的不同表示方式的应用，解题时需注意：若一个顶点处存在多个角，不可仅用顶点的单个大写字母表示，避免出现歧义，选择合适的表示方法即可准确对应角。
【难度系数】
0.8
【例2】(2024秋辽阳期末)将$10.31°$转化为度、分、秒的形式为（
A.$10°3'1''$
B.$10°18'6''$
C.$10°18'36''$
D.$10°30'1''$
C
）A.$10°3'1''$
B.$10°18'6''$
C.$10°18'36''$
D.$10°30'1''$
答案
C
解析
【分析】
要将度数转化为度、分、秒的形式，首先明确度、分、秒是60进制，即1°=60′，1′=60″。解题时先拆分出整数度数，再将小数部分的度数依次乘以60换算为分、秒即可。具体步骤：第一步提取整数部分的度数，第二步把小数部分的度乘60得到分，第三步把分的小数部分再乘60得到秒，最后组合结果对应选项。
【解析】
解：度分秒的换算进率为1°=60′，1′=60″。
首先拆分$10.31°$为$10° + 0.31°$：
1. 换算小数部分的度为分：$0.31° × 60 = 18.6′$，拆分18.6′为$18′ + 0.6′$；
2. 换算小数部分的分为秒：$0.6′ × 60 = 36″$；
因此$10.31° = 10°18′36″$。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题是基础的角度单位换算题型，核心考查度分秒的60进制转换规则，解题时需注意大单位换算为小单位要乘进率60，不要和10进制混淆，熟练掌握换算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要将度数转化为度、分、秒的形式，首先明确度、分、秒是60进制，即1°=60′，1′=60″。解题时先拆分出整数度数，再将小数部分的度数依次乘以60换算为分、秒即可。具体步骤：第一步提取整数部分的度数，第二步把小数部分的度乘60得到分，第三步把分的小数部分再乘60得到秒，最后组合结果对应选项。
【解析】
解：度分秒的换算进率为1°=60′，1′=60″。
首先拆分$10.31°$为$10° + 0.31°$：
1. 换算小数部分的度为分：$0.31° × 60 = 18.6′$，拆分18.6′为$18′ + 0.6′$；
2. 换算小数部分的分为秒：$0.6′ × 60 = 36″$；
因此$10.31° = 10°18′36″$。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题是基础的角度单位换算题型，核心考查度分秒的60进制转换规则，解题时需注意大单位换算为小单位要乘进率60，不要和10进制混淆，熟练掌握换算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式】(2024秋光明区期中)2 700'' = (
A.$30'$
B.$45'$
C.$60'$
D.$90'$
B
)A.$30'$
B.$45'$
C.$60'$
D.$90'$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查角度单位秒（''）与分（'）的换算，解题时首先要明确两个单位之间的进率：1分等于60秒，把秒换算成分属于小单位转换为大单位，需要除以进率60，代入数值计算后匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知角度单位换算关系为 $1' = 60''$，将秒换算为分需除以进率60，因此：
$2700'' = (2700 ÷ 60)' = 45'$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查角度单位的换算规则，牢记相邻角度单位的进率为60、明确单位换算方向对应的计算方法（小化大除进率，大化小乘进率）是拿分的关键。
【难度系数】
0.9
这道题考查角度单位秒（''）与分（'）的换算，解题时首先要明确两个单位之间的进率：1分等于60秒，把秒换算成分属于小单位转换为大单位，需要除以进率60，代入数值计算后匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知角度单位换算关系为 $1' = 60''$，将秒换算为分需除以进率60，因此：
$2700'' = (2700 ÷ 60)' = 45'$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查角度单位的换算规则，牢记相邻角度单位的进率为60、明确单位换算方向对应的计算方法（小化大除进率，大化小乘进率）是拿分的关键。
【难度系数】
0.9
【例3】求2时15分时，钟表的时针与分针所成夹角的度数.
规律总结（1）时针每小时转$30°$，分针每分钟转$6°$；
（2）若差大于$180°$，再用$360°$减去差就是所求的角度.
规律总结（1）时针每小时转$30°$，分针每分钟转$6°$；
（2）若差大于$180°$，再用$360°$减去差就是所求的角度.
答案
时针每小时转30°，分针每分钟转6°。
从0时0分至2时15分，
时针转过的角度为$2\frac{1}{4}×30°=67.5°$，
分针转过的角度为$15×6°=90°$。
所以其夹角的度数为$90°-67.5°=22.5°$。
从0时0分至2时15分，
时针转过的角度为$2\frac{1}{4}×30°=67.5°$，
分针转过的角度为$15×6°=90°$。
所以其夹角的度数为$90°-67.5°=22.5°$。
解析
【分析】
要计算2时15分钟表时针与分针的夹角，首先要明确时针和分针的转动规律：时针每小时转30°，分针每分钟转6°。解题时先分别算出从0时0分到2时15分，时针、分针各自转过的总角度，再求两个角度的差，由于差值小于180°，该差值就是所求的夹角。需要注意的是，计算时针转过的角度时，15分钟等于$\frac{1}{4}$小时，总时长是$2\frac{1}{4}$小时，不能忽略15分钟内时针转动的角度。
【解析】
已知时针每小时转30°，分针每分钟转6°。
从0时0分到2时15分，总时长为$2\frac{1}{4}$小时：
时针转过的角度为：$2\frac{1}{4}×30°=67.5°$
分针15分钟转过的角度为：$15×6°=90°$
两者的夹角为两个角度的差：$90°-67.5°=22.5°$，该差值小于180°，即为所求夹角。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
钟面角计算；角的和差运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题的核心是牢记时针、分针的转动速度，易错点是忽略分针走动时时针也会同步转动，不能直接按整点时刻指针的位置计算夹角。
【难度系数】
0.7
要计算2时15分钟表时针与分针的夹角，首先要明确时针和分针的转动规律：时针每小时转30°，分针每分钟转6°。解题时先分别算出从0时0分到2时15分，时针、分针各自转过的总角度，再求两个角度的差，由于差值小于180°，该差值就是所求的夹角。需要注意的是，计算时针转过的角度时，15分钟等于$\frac{1}{4}$小时，总时长是$2\frac{1}{4}$小时，不能忽略15分钟内时针转动的角度。
【解析】
已知时针每小时转30°，分针每分钟转6°。
从0时0分到2时15分，总时长为$2\frac{1}{4}$小时：
时针转过的角度为：$2\frac{1}{4}×30°=67.5°$
分针15分钟转过的角度为：$15×6°=90°$
两者的夹角为两个角度的差：$90°-67.5°=22.5°$，该差值小于180°，即为所求夹角。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
钟面角计算；角的和差运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题的核心是牢记时针、分针的转动速度，易错点是忽略分针走动时时针也会同步转动，不能直接按整点时刻指针的位置计算夹角。
【难度系数】
0.7
【变式】当时钟显示为10:10时，时针与分针所夹角度是（
A.$90°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$115°$
D
）A.$90°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$115°$
答案
D
解析
【分析】
解决钟面角问题首先要明确表盘的基本特征：钟表一圈为360°，平均分为12个大格，因此每个大格对应角度为30°。其次要注意时针不是固定在整点数位置，会随分钟转动：时针每小时走1个大格（30°），因此每分钟走0.5°。解题时先计算若时针固定在10的位置时，10:10时针与分针的夹角，再减去10分钟内时针转动的角度，即可得到实际夹角。
【解析】
步骤1：计算每个大格对应的角度
$360° ÷ 12 = 30°$
步骤2：计算时针固定在10时，10:10的夹角
10点10分时分针指向数字2，与数字10之间相差4个大格，对应角度为：
$4 × 30° = 120°$
步骤3：计算10分钟内时针转动的角度
时针60分钟转30°，则10分钟转动的角度为：
$10 × (30° ÷ 60) = 5°$
步骤4：计算实际夹角
时针向分针方向转动了5°，因此实际夹角为：
$120° - 5° = 115°$
【答案】
D
【知识点】
钟面角计算，角的运算
【点评】
本题是钟面角的常规考题，易错点是忽略时针随时间的偏移量，掌握表盘划分规则和时针、分针的转动规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解决钟面角问题首先要明确表盘的基本特征：钟表一圈为360°，平均分为12个大格，因此每个大格对应角度为30°。其次要注意时针不是固定在整点数位置，会随分钟转动：时针每小时走1个大格（30°），因此每分钟走0.5°。解题时先计算若时针固定在10的位置时，10:10时针与分针的夹角，再减去10分钟内时针转动的角度，即可得到实际夹角。
【解析】
步骤1：计算每个大格对应的角度
$360° ÷ 12 = 30°$
步骤2：计算时针固定在10时，10:10的夹角
10点10分时分针指向数字2，与数字10之间相差4个大格，对应角度为：
$4 × 30° = 120°$
步骤3：计算10分钟内时针转动的角度
时针60分钟转30°，则10分钟转动的角度为：
$10 × (30° ÷ 60) = 5°$
步骤4：计算实际夹角
时针向分针方向转动了5°，因此实际夹角为：
$120° - 5° = 115°$
【答案】
D
【知识点】
钟面角计算，角的运算
【点评】
本题是钟面角的常规考题，易错点是忽略时针随时间的偏移量，掌握表盘划分规则和时针、分针的转动规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，$∠ AOB$的一边OB经过的点是（
A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
D
）A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆角的基本概念：角是由两条有公共端点的射线组成的，∠AOB的边OB是端点为O、向B方向延伸的射线。我们只需要沿着OB的延伸方向观察，判断四个点中哪个位于OB的路径上，就能得出答案。
【解析】
∠AOB的边OB是从端点O出发、向B方向延伸的射线。观察图形可知：
点M在OB左侧，点P在OB上方，点Q在OB右侧，只有点N刚好在OB的延伸路径上，因此OB经过的点是点N。
【答案】
D
【知识点】
角的概念，射线的特征
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，只要明确角的边是射线，结合图形直观判断即可，是对几何基础认知的考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆角的基本概念：角是由两条有公共端点的射线组成的，∠AOB的边OB是端点为O、向B方向延伸的射线。我们只需要沿着OB的延伸方向观察，判断四个点中哪个位于OB的路径上，就能得出答案。
【解析】
∠AOB的边OB是从端点O出发、向B方向延伸的射线。观察图形可知：
点M在OB左侧，点P在OB上方，点Q在OB右侧，只有点N刚好在OB的延伸路径上，因此OB经过的点是点N。
【答案】
D
【知识点】
角的概念，射线的特征
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，只要明确角的边是射线，结合图形直观判断即可，是对几何基础认知的考查。
【难度系数】
0.9
2. (2025和平区校级开学)下列四个图中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是 (
D
)答案
D
解析
【分析】
要判断三种表示方法是否指向同一个角，首先明确角的表示规则：①用三个大写字母表示角时，顶点字母放在中间；②用单个顶点字母表示角的前提是该顶点处只有唯一1个角，避免产生歧义；③用数字表示角时，要和对应角的顶点、两边完全一致。解题时逐个分析选项，先看顶点O处是否只有一个角，再对比∠1和∠AOB的顶点、两边是否相同即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：点O是两条直线的交点，顶点O处共有4个不同的角，用∠O无法确定表示哪个角，不符合要求，排除；
选项B：∠1的顶点不是点O，和∠AOB的顶点不相同，不可能是同一个角，排除；
选项C：点O处共有3个不同的角，用∠O无法确定表示哪个角，且∠1是顶点O处最小的角，∠AOB是顶点O处最大的角，二者不是同一个角，排除；
选项D：顶点O处只有1个角，既可以用单个顶点字母表示为∠O，也可以用三个大写字母表示为∠AOB，同时该角标注为∠1，三种表示方法对应同一个角，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题核心考查角的表示规则的实际应用，解题的关键是牢记“仅顶点处只有一个角时，才能用单个顶点字母表示角”的前提，同时注意对比不同表示方式下的角的顶点、两边是否完全一致，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要判断三种表示方法是否指向同一个角，首先明确角的表示规则：①用三个大写字母表示角时，顶点字母放在中间；②用单个顶点字母表示角的前提是该顶点处只有唯一1个角，避免产生歧义；③用数字表示角时，要和对应角的顶点、两边完全一致。解题时逐个分析选项，先看顶点O处是否只有一个角，再对比∠1和∠AOB的顶点、两边是否相同即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：点O是两条直线的交点，顶点O处共有4个不同的角，用∠O无法确定表示哪个角，不符合要求，排除；
选项B：∠1的顶点不是点O，和∠AOB的顶点不相同，不可能是同一个角，排除；
选项C：点O处共有3个不同的角，用∠O无法确定表示哪个角，且∠1是顶点O处最小的角，∠AOB是顶点O处最大的角，二者不是同一个角，排除；
选项D：顶点O处只有1个角，既可以用单个顶点字母表示为∠O，也可以用三个大写字母表示为∠AOB，同时该角标注为∠1，三种表示方法对应同一个角，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题核心考查角的表示规则的实际应用，解题的关键是牢记“仅顶点处只有一个角时，才能用单个顶点字母表示角”的前提，同时注意对比不同表示方式下的角的顶点、两边是否完全一致，避免混淆。
【难度系数】
0.8
3.有下列说法:①两条线段组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边是两条射线；④因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看成一个平角；⑤周角是一条射线.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
本题考查角的相关基础概念，解题时需先回忆角的定义、角的大小的影响因素、平角和周角的特征，再对5个说法逐一判断正误，最后统计正确说法的数量选择对应选项。判断时要抓住“角有公共顶点、两条边是射线”这一核心要点，注意区分角和普通线的差异。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形，仅两条线段如果没有公共端点，就不能组成角，该说法错误；
②角的大小只与两边张开的程度有关，角的两边是射线可无限延伸，和边的长短没有关系，该说法错误；
③根据角的定义，角的两边确实是两条有公共端点的射线，该说法正确；
④平角有顶点和两条边，只是两边在同一条直线上，而直线没有顶点，不满足角的构成条件，不能把直线看成平角，该说法错误；
⑤周角是一条射线绕端点旋转一周形成的角，它有顶点和两条重合的边，而射线仅由端点和延伸方向组成，不满足角的构成要求，该说法错误。
综上，只有1个说法是正确的。
【答案】
A
【知识点】
角的定义；平角与周角的概念；角的大小的影响因素
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略角的构成要素“公共顶点”，混淆平角与直线、周角与射线的区别，学习时要准确把握概念的核心特征，避免概念混淆导致错判。
【难度系数】
0.7
本题考查角的相关基础概念，解题时需先回忆角的定义、角的大小的影响因素、平角和周角的特征，再对5个说法逐一判断正误，最后统计正确说法的数量选择对应选项。判断时要抓住“角有公共顶点、两条边是射线”这一核心要点，注意区分角和普通线的差异。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形，仅两条线段如果没有公共端点，就不能组成角，该说法错误；
②角的大小只与两边张开的程度有关，角的两边是射线可无限延伸，和边的长短没有关系，该说法错误；
③根据角的定义，角的两边确实是两条有公共端点的射线，该说法正确；
④平角有顶点和两条边，只是两边在同一条直线上，而直线没有顶点，不满足角的构成条件，不能把直线看成平角，该说法错误；
⑤周角是一条射线绕端点旋转一周形成的角，它有顶点和两条重合的边，而射线仅由端点和延伸方向组成，不满足角的构成要求，该说法错误。
综上，只有1个说法是正确的。
【答案】
A
【知识点】
角的定义；平角与周角的概念；角的大小的影响因素
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略角的构成要素“公共顶点”，混淆平角与直线、周角与射线的区别，学习时要准确把握概念的核心特征，避免概念混淆导致错判。
【难度系数】
0.7
4. (2024秋桃城区校级期中)已知$∠ A=30°15'$，$∠ B=30.3°$，$∠ C=30.15°$，则下列说法正确的是（
A.$∠ A$最大
B.$∠ B$最大
C.$∠ C$最大
D.$∠ A=∠ C$
B
）A.$∠ A$最大
B.$∠ B$最大
C.$∠ C$最大
D.$∠ A=∠ C$
答案
B
解析
【分析】
要比较三个角的大小，首先需要统一角的单位，因为三个角的呈现形式既有度分组合形式，也有小数度形式。我们可以利用度和分的换算进率（1°=60'），将所有角换算为统一的单位（如都换算为小数度），再比较数值大小即可判断出正确选项。
【解析】
根据度分的换算规则：$1°=60'$，
先将$∠ A$换算为小数度：$15'=15÷60=0.25°$，因此$∠ A=30°15'=30°+0.25°=30.25°$，
已知$∠ B=30.3°$，$∠ C=30.15°$，
比较三个角的数值大小可得：$30.3°＞30.25°＞30.15°$，即$∠ B＞∠ A＞∠ C$，
因此$∠ B$最大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算，角的大小比较
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握度分秒的60进制换算规则，避免误将进率记为十进制导致计算错误，统一单位后再比较大小即可快速得到结果。
【难度系数】
0.75
要比较三个角的大小，首先需要统一角的单位，因为三个角的呈现形式既有度分组合形式，也有小数度形式。我们可以利用度和分的换算进率（1°=60'），将所有角换算为统一的单位（如都换算为小数度），再比较数值大小即可判断出正确选项。
【解析】
根据度分的换算规则：$1°=60'$，
先将$∠ A$换算为小数度：$15'=15÷60=0.25°$，因此$∠ A=30°15'=30°+0.25°=30.25°$，
已知$∠ B=30.3°$，$∠ C=30.15°$，
比较三个角的数值大小可得：$30.3°＞30.25°＞30.15°$，即$∠ B＞∠ A＞∠ C$，
因此$∠ B$最大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算，角的大小比较
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握度分秒的60进制换算规则，避免误将进率记为十进制导致计算错误，统一单位后再比较大小即可快速得到结果。
【难度系数】
0.75
