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5.如图所示，9:30时，钟表的时针与分针之间所成的角是 （
A.$60°$
B.$90°$
C.$105°$
D.$120°$
C
）A.$60°$
B.$90°$
C.$105°$
D.$120°$
答案
C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确钟表的刻度规律，钟表一圈为360°，被平均分为12个大格，先算出每个大格对应的角度；再判断9:30时，时针和分针分别指向的位置，数出二者之间间隔的大格数，最后用每个大格的角度乘间隔的大格数就能得到夹角的度数。要注意时针会随分钟移动，不能误以为9:30时针正好指向9。
【解析】
1. 计算钟表单个大格的角度：
钟表一圈总角度为360°，共有12个均等的大格，因此每个大格的角度为$360°÷12=30°$。
2. 确定9:30时针、分针的位置：
9:30时分针指向数字6；时针因走了30分钟，会从数字9向数字10移动半个大格，位于9和10的正中间。
3. 计算夹角大小：
此时时针和分针共间隔3.5个大格，因此夹角为$3.5×30°=105°$。
【答案】
C
【知识点】
钟表角度计算，角的度量
【点评】
本题是钟表夹角的常考基础题，解题核心是牢记钟表每个大格对应30°，易错点是忽略时针会随时间移动，误将9:30的时针当做指向9计算，得出90°的错误结果。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确钟表的刻度规律，钟表一圈为360°，被平均分为12个大格，先算出每个大格对应的角度；再判断9:30时，时针和分针分别指向的位置，数出二者之间间隔的大格数，最后用每个大格的角度乘间隔的大格数就能得到夹角的度数。要注意时针会随分钟移动，不能误以为9:30时针正好指向9。
【解析】
1. 计算钟表单个大格的角度：
钟表一圈总角度为360°，共有12个均等的大格，因此每个大格的角度为$360°÷12=30°$。
2. 确定9:30时针、分针的位置：
9:30时分针指向数字6；时针因走了30分钟，会从数字9向数字10移动半个大格，位于9和10的正中间。
3. 计算夹角大小：
此时时针和分针共间隔3.5个大格，因此夹角为$3.5×30°=105°$。
【答案】
C
【知识点】
钟表角度计算，角的度量
【点评】
本题是钟表夹角的常考基础题，解题核心是牢记钟表每个大格对应30°，易错点是忽略时针会随时间移动，误将9:30的时针当做指向9计算，得出90°的错误结果。
【难度系数】
0.7
6. $\frac{2}{3}$周角=
$\frac{4}{3}$
平角=$\frac{8}{3}$
直角=240
°答案
$\frac{4}{3}$ $\frac{8}{3}$ 240
解析
【分析】
解题前先牢记三类特殊角的度数：1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。解题步骤分为三步：第一步先计算出$\frac{2}{3}$周角对应的具体度数；第二步用该度数除以平角的度数，得到对应的平角倍数；第三步用该度数除以直角的度数，得到对应的直角倍数。
【解析】
已知1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°：
1. 计算$\frac{2}{3}$周角的度数：
$\frac{2}{3}$周角 = $\frac{2}{3}×360° = 240°$
2. 换算为平角的倍数：
$240°÷180° = \frac{4}{3}$，即$\frac{4}{3}$平角
3. 换算为直角的倍数：
$240°÷90° = \frac{8}{3}$，即$\frac{8}{3}$直角
【答案】
$\frac{4}{3}$；$\frac{8}{3}$；240
【知识点】
1. 特殊角的度数
2. 角度换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对周角、平角、直角度数的识记，以及简单的分数乘除运算，掌握特殊角的固定度数即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题前先牢记三类特殊角的度数：1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。解题步骤分为三步：第一步先计算出$\frac{2}{3}$周角对应的具体度数；第二步用该度数除以平角的度数，得到对应的平角倍数；第三步用该度数除以直角的度数，得到对应的直角倍数。
【解析】
已知1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°：
1. 计算$\frac{2}{3}$周角的度数：
$\frac{2}{3}$周角 = $\frac{2}{3}×360° = 240°$
2. 换算为平角的倍数：
$240°÷180° = \frac{4}{3}$，即$\frac{4}{3}$平角
3. 换算为直角的倍数：
$240°÷90° = \frac{8}{3}$，即$\frac{8}{3}$直角
【答案】
$\frac{4}{3}$；$\frac{8}{3}$；240
【知识点】
1. 特殊角的度数
2. 角度换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对周角、平角、直角度数的识记，以及简单的分数乘除运算，掌握特殊角的固定度数即可快速解答。
【难度系数】
0.9
7. (2025盂县开学)将$28.56°$化成度、分、秒的形式为
$28°33'36''$
。答案
$28°33'36''$
解析
【分析】
要将以度为单位的角度化成度、分、秒的形式，首先需明确度、分、秒的换算进率：$1°=60'$，$1'=60''$。换算时逐级转换即可：先把度数的整数部分直接作为“度”的数值，再将小数部分的度乘60换算成分，得到的分的整数部分作为“分”的数值，最后把分的小数部分乘60换算成秒，就能得到最终结果。
【解析】
解：
1. 提取度数的整数部分作为度：$28.56°$的整数部分是$28°$，剩余小数部分为$0.56°$；
2. 将小数部分的度换算成分：根据$1°=60'$，可得$0.56°=0.56×60'=33.6'$，取整数部分$33'$作为分的数值，剩余小数部分为$0.6'$；
3. 将小数部分的分换算成秒：根据$1'=60''$，可得$0.6'=0.6×60''=36''$。
综上，$28.56°$换算为度分秒形式是$28°33'36''$。
【答案】
$28°33'36''$
【知识点】
度分秒的换算、角的单位转换
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题核心是牢记度分秒之间的进率为60，换算时需从高单位到低单位逐级转换，避免误将进率当做十进制的10导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要将以度为单位的角度化成度、分、秒的形式，首先需明确度、分、秒的换算进率：$1°=60'$，$1'=60''$。换算时逐级转换即可：先把度数的整数部分直接作为“度”的数值，再将小数部分的度乘60换算成分，得到的分的整数部分作为“分”的数值，最后把分的小数部分乘60换算成秒，就能得到最终结果。
【解析】
解：
1. 提取度数的整数部分作为度：$28.56°$的整数部分是$28°$，剩余小数部分为$0.56°$；
2. 将小数部分的度换算成分：根据$1°=60'$，可得$0.56°=0.56×60'=33.6'$，取整数部分$33'$作为分的数值，剩余小数部分为$0.6'$；
3. 将小数部分的分换算成秒：根据$1'=60''$，可得$0.6'=0.6×60''=36''$。
综上，$28.56°$换算为度分秒形式是$28°33'36''$。
【答案】
$28°33'36''$
【知识点】
度分秒的换算、角的单位转换
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题核心是牢记度分秒之间的进率为60，换算时需从高单位到低单位逐级转换，避免误将进率当做十进制的10导致计算错误。
【难度系数】
0.8
8. 如图,根据点A,B,C,D,E在图中的位置填空.
(1)射线OA表示
(2)射线OB表示
(3)射线OC表示
(4)射线OD表示
(5)射线OE表示
(1)射线OA表示
东北方向
;(2)射线OB表示
北偏西30°
;(3)射线OC表示
南偏西60°
;(4)射线OD表示
正南方向
;(5)射线OE表示
南偏东50°
.答案
(1)东北方向
(2)北偏西30°
(3)南偏西60°
(4)正南方向
(5)南偏东50°
(2)北偏西30°
(3)南偏西60°
(4)正南方向
(5)南偏东50°
解析
【分析】
首先明确方位图的基本规则：上北下南，左西右东，方向角通常以正北或正南方向为基准，先说明是北偏/南偏，再说明偏向东/西的角度，其中北偏东45°也叫东北方向。解题时依次观察每条射线与正北/正南/正西/正东方向的夹角，换算为以南北为基准的方向表述即可。
【解析】
(1) 射线OA与正北方向的夹角为45°向东，即北偏东45°，也叫东北方向；
(2) 射线OB与正北方向的夹角为30°向西，即北偏西30°；
(3) 射线OC与正西方向的夹角为30°向南，可得与正南方向的夹角为$90°-30°=60°$向西，即南偏西60°；
(4) 射线OD指向正南方，即正南方向；
(5) 射线OE与正东方向的夹角为40°向南，可得与正南方向的夹角为$90°-40°=50°$向东，即南偏东50°。
【答案】
(1)东北方向
(2)北偏西30°
(3)南偏西60°
(4)正南方向
(5)南偏东50°
【知识点】
方向角表示、方位识别、角度计算
【点评】
本题是方向角的基础应用题目，重点考查方向角的规范表述，解题时要注意除特殊的45°夹角方向外，通常优先以南北方向为基准描述偏向，避免出现不规范的方向表述。
【难度系数】
0.9
首先明确方位图的基本规则：上北下南，左西右东，方向角通常以正北或正南方向为基准，先说明是北偏/南偏，再说明偏向东/西的角度，其中北偏东45°也叫东北方向。解题时依次观察每条射线与正北/正南/正西/正东方向的夹角，换算为以南北为基准的方向表述即可。
【解析】
(1) 射线OA与正北方向的夹角为45°向东，即北偏东45°，也叫东北方向；
(2) 射线OB与正北方向的夹角为30°向西，即北偏西30°；
(3) 射线OC与正西方向的夹角为30°向南，可得与正南方向的夹角为$90°-30°=60°$向西，即南偏西60°；
(4) 射线OD指向正南方，即正南方向；
(5) 射线OE与正东方向的夹角为40°向南，可得与正南方向的夹角为$90°-40°=50°$向东，即南偏东50°。
【答案】
(1)东北方向
(2)北偏西30°
(3)南偏西60°
(4)正南方向
(5)南偏东50°
【知识点】
方向角表示、方位识别、角度计算
【点评】
本题是方向角的基础应用题目，重点考查方向角的规范表述，解题时要注意除特殊的45°夹角方向外，通常优先以南北方向为基准描述偏向，避免出现不规范的方向表述。
【难度系数】
0.9
9. 如图,已知∠MON,在∠MON内画一条射线时,则图中共有3个角;在∠MON内画两条射线时,则图中共有6个角;在∠MON内画三条射线时,则图中共有10个角;…….按照此规律,在∠MON内画20条射线时,则图中角的个数是 (
A.190
B.380
C.231
D.462
C
)A.190
B.380
C.231
D.462
答案
C 解析:由题意可得,画n条射线所得的角的个数为：
$1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$，
所以当n=20时，$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)=\frac{1}{2}×21×22=231$。
故选C。
$1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$，
所以当n=20时，$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)=\frac{1}{2}×21×22=231$。
故选C。
解析
【分析】
我们可以类比数线段的方法来找角的计数规律：当∠MON内部有n条射线时，加上∠MON本身的两条边OM、ON，总共有(n+2)条射线，每两条射线都可以组成一个角。从第一条射线开始，它能和剩余的(n+1)条射线组成(n+1)个角，第二条射线能和剩余的n条射线组成n个角，以此类推，最后2条射线可以组成1个角，因此总角数就是1到(n+1)的连续整数和，用求和公式化简得到通用表达式后，代入n=20计算即可。
【解析】
先通过已知条件归纳规律：
当∠MON内画1条射线时，角的个数：$3=1+2=\frac{(1+1)×(1+2)}{2}$；
当∠MON内画2条射线时，角的个数：$6=1+2+3=\frac{(2+1)×(2+2)}{2}$；
当∠MON内画3条射线时，角的个数：$10=1+2+3+4=\frac{(3+1)×(3+2)}{2}$；
由此可推出：当∠MON内画n条射线时，角的总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
当n=20时，代入公式计算：
$\frac{1}{2}×(20+1)×(20+2)=\frac{1}{2}×21×22=231$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角的计数；图形规律探究；有理数混合运算
【点评】
本题是图形规律探究类的典型题目，解题的关键是掌握类比数线段的方法计数角的个数，通过特殊案例归纳出一般规律后再代入数值计算，可锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们可以类比数线段的方法来找角的计数规律：当∠MON内部有n条射线时，加上∠MON本身的两条边OM、ON，总共有(n+2)条射线，每两条射线都可以组成一个角。从第一条射线开始，它能和剩余的(n+1)条射线组成(n+1)个角，第二条射线能和剩余的n条射线组成n个角，以此类推，最后2条射线可以组成1个角，因此总角数就是1到(n+1)的连续整数和，用求和公式化简得到通用表达式后，代入n=20计算即可。
【解析】
先通过已知条件归纳规律：
当∠MON内画1条射线时，角的个数：$3=1+2=\frac{(1+1)×(1+2)}{2}$；
当∠MON内画2条射线时，角的个数：$6=1+2+3=\frac{(2+1)×(2+2)}{2}$；
当∠MON内画3条射线时，角的个数：$10=1+2+3+4=\frac{(3+1)×(3+2)}{2}$；
由此可推出：当∠MON内画n条射线时，角的总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
当n=20时，代入公式计算：
$\frac{1}{2}×(20+1)×(20+2)=\frac{1}{2}×21×22=231$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角的计数；图形规律探究；有理数混合运算
【点评】
本题是图形规律探究类的典型题目，解题的关键是掌握类比数线段的方法计数角的个数，通过特殊案例归纳出一般规律后再代入数值计算，可锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
10.在1时几分时，钟表的时针与分针互相垂直？
答案
解:设1时x分时,时针与分针互相垂直。
由题意,得 $6°x = 0.5°x + 90° + 30°$ 或 $6°x = 0.5°x + 270°+30°$。
解得 $x=\frac{240}{11}=21\frac{9}{11}$ 或 $x=\frac{600}{11}=54\frac{6}{11}$。
答:在1时$21\frac{9}{11}$分或1时$54\frac{6}{11}$分时,钟表的时针与分针互相垂直。
由题意,得 $6°x = 0.5°x + 90° + 30°$ 或 $6°x = 0.5°x + 270°+30°$。
解得 $x=\frac{240}{11}=21\frac{9}{11}$ 或 $x=\frac{600}{11}=54\frac{6}{11}$。
答:在1时$21\frac{9}{11}$分或1时$54\frac{6}{11}$分时,钟表的时针与分针互相垂直。
解析
【分析】
解决本题首先要明确钟表上指针的转动速度：分针每分钟转$6°$（钟面共$360°$，分针60分钟转一圈），时针每分钟转$0.5°$（时针12小时转一圈，换算为分钟单位可得）。1时整时，时针已经领先分针$30°$（每小时时针转动$30°$）。时针与分针垂直即夹角为$90°$，存在两种情况：一是分针追上时针后超过时针$90°$，二是分针未完成一圈时与时针形成$270°$夹角（等价于反向垂直，夹角仍为$90°$）。我们设1时x分时两针垂直，根据两种情况的角度等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设1时x分时，钟表的时针与分针互相垂直。
分针x分钟转过的角度为$6° x$，时针x分钟转过的角度为$0.5° x$，1时整时针领先分针$30°$，分两种情况列方程：
情况1：分针超过时针$90°$
$6° x = 0.5° x + 30° + 90°$
整理得$5.5x=120$
解得$x=\frac{240}{11}=21\frac{9}{11}$
情况2：两针反向垂直，夹角为$270°$
$6° x = 0.5° x + 30° + 270°$
整理得$5.5x=300$
解得$x=\frac{600}{11}=54\frac{6}{11}$
两种情况均在1时到2时之间，符合题意。
【答案】
1时$21\frac{9}{11}$分或1时$54\frac{6}{11}$分
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用；垂直的定义
【点评】
本题是钟面角的典型应用题，解题核心是掌握时针、分针的转动速度，同时要注意垂直包含两种不同的位置关系，避免漏解，重点考察分类讨论思想和方程建模能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确钟表上指针的转动速度：分针每分钟转$6°$（钟面共$360°$，分针60分钟转一圈），时针每分钟转$0.5°$（时针12小时转一圈，换算为分钟单位可得）。1时整时，时针已经领先分针$30°$（每小时时针转动$30°$）。时针与分针垂直即夹角为$90°$，存在两种情况：一是分针追上时针后超过时针$90°$，二是分针未完成一圈时与时针形成$270°$夹角（等价于反向垂直，夹角仍为$90°$）。我们设1时x分时两针垂直，根据两种情况的角度等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设1时x分时，钟表的时针与分针互相垂直。
分针x分钟转过的角度为$6° x$，时针x分钟转过的角度为$0.5° x$，1时整时针领先分针$30°$，分两种情况列方程：
情况1：分针超过时针$90°$
$6° x = 0.5° x + 30° + 90°$
整理得$5.5x=120$
解得$x=\frac{240}{11}=21\frac{9}{11}$
情况2：两针反向垂直，夹角为$270°$
$6° x = 0.5° x + 30° + 270°$
整理得$5.5x=300$
解得$x=\frac{600}{11}=54\frac{6}{11}$
两种情况均在1时到2时之间，符合题意。
【答案】
1时$21\frac{9}{11}$分或1时$54\frac{6}{11}$分
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用；垂直的定义
【点评】
本题是钟面角的典型应用题，解题核心是掌握时针、分针的转动速度，同时要注意垂直包含两种不同的位置关系，避免漏解，重点考察分类讨论思想和方程建模能力。
【难度系数】
0.6
