4. 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：m)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O. 已知AB=8 m，设抛物线解析式为$y=ax^2 -4$.
(1)求a的值；
(2)点C(-1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为D，连接CD，BC，BD，求$△ DCB$的面积.

(1)$\because AB=8\ \mathrm{m}$，由抛物线的对称性可知$OB=4\ \mathrm{m}$，$\therefore B(4,0)$。$\therefore 0=16a-4$，$\therefore a=\frac{1}{4}$。
(2)$\because a=\frac{1}{4}$，$\therefore y=\frac{1}{4}x^2-4$。令$x=-1$，$\therefore m=\frac{1}{4}×(-1)^2-4=-\frac{15}{4}$。$\therefore C(-1,\ -\frac{15}{4})$。$\because$ 点C关于原点的对称点为D，$\therefore D(1,\ \frac{15}{4})$。$\therefore CE=DF=\frac{15}{4}\mathrm{m}$。$S_{△ DCB}=S_{△ BOD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· DF+\frac{1}{2}OB· CE=\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}+\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}=15$，所以以$△ DCB$的面积为$15\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
(1) 要求a的值，已知抛物线解析式，只需代入抛物线上一个已知点的坐标即可求解。由AB=8m，结合抛物线关于y轴对称的性质，可得点B的横坐标为4，且点B在x轴上，因此B点坐标为(4,0)，将其代入解析式列方程即可求出a。
(2) 求△DCB的面积，首先将(1)中求出的a代入解析式得到完整的二次函数表达式，把点C的横坐标x=-1代入求出m，得到C点坐标；再根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，得到点D的坐标。观察图形可知△DCB的面积可拆分为△BOC和△BOD的面积之和，两个三角形共底OB=4m，高分别为点C、点D到x轴的距离，分别计算两个三角形面积相加即可得到结果。
【解析】
(1) 已知AB=8m，抛物线对称轴为y轴，由抛物线对称性可得$OB=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{m}$，因此点B的坐标为$(4,0)$。
将$B(4,0)$代入抛物线解析式$y=ax^2-4$，得：
$0=a×4^2-4$
$16a=4$
解得$a=\frac{1}{4}$。
(2) 把$a=\frac{1}{4}$代入解析式，得抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}x^2-4$。
将点$C(-1,m)$代入表达式，得：
$m=\frac{1}{4}×(-1)^2-4=-\frac{15}{4}$
因此点C的坐标为$(-1,-\frac{15}{4})$。
因为点D是点C关于原点O的对称点，所以点D的坐标为$(1,\frac{15}{4})$。
$△ DCB$的面积可拆分为$△ BOD$和$△ BOC$的面积之和：
$S_{△ DCB}=S_{△ BOD}+S_{△ BOC}$
其中$OB=4\mathrm{m}$，$△ BOD$的高为点D到x轴的距离$\frac{15}{4}\mathrm{m}$，$△ BOC$的高为点C到x轴的距离$\frac{15}{4}\mathrm{m}$，代入面积公式：
$S_{△ DCB}=\frac{1}{2}× OB×\frac{15}{4}+\frac{1}{2}× OB×\frac{15}{4}$
$=\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}+\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}$
$=\frac{15}{2}+\frac{15}{2}=15(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $a=\frac{1}{4}$；
(2) $△ DCB$的面积为$15\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数解析式求解；关于原点对称的点的坐标；割补法求图形面积
【点评】
本题以实际场景为背景，考查二次函数的基础应用，解题核心是利用抛物线的对称性确定点坐标，再结合坐标特点选择简便的面积计算方法，能够有效考查学生对二次函数性质和坐标与图形关系的掌握程度。
【难度系数】
0.7

1. 如图1，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，令△ABC向右移动，最后点A与点N重合。
(1)写出两图形重叠部分的面积y(单位：cm²)关于线段MA的长度x(单位：cm)的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请在如图2所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值。

(1)由题意，可知$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ AMQ=90°$，$\therefore$ 重叠部分是等腰直角三角形。又$\because$ 线段$AM=x$，$\therefore y=\frac{1}{2}x^2$。$\because$ 开始时点A与点M重合，令$△ ABC$向右移动，最后点A与点N重合，$\therefore 0≤ AM≤4$，即$0≤ x≤4$，故自变量x的取值范围是$0≤ x≤4$。
(2)图象如图所示，当$x=4\ \mathrm{cm}$时，重叠部分面积的最大值为$8\ \mathrm{cm}^2$。

【分析】
解决本题首先要结合平移过程分析重叠部分的形状：等腰直角三角形ABC向右平移时，∠BAC=45°，正方形MNPQ的∠QMN=90°，因此重叠部分始终是等腰直角三角形，直角边长等于MA的长度x。接着利用等腰直角三角形的面积公式即可推导y与x的函数关系，再结合平移的起点和终点确定自变量的取值范围。第二问根据得到的二次函数解析式，画出0≤x≤4范围内的图象，结合二次函数的增减性即可求出面积的最大值。
【解析】
(1) 由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=45°，正方形MNPQ中∠QMN=90°，因此两图形的重叠部分为等腰直角三角形，且该等腰直角三角形的直角边长与MA的长度x相等。
根据等腰直角三角形的面积公式可得：
$y=\frac{1}{2} × x × x=\frac{1}{2}x^2$
已知平移的起点为点A与点M重合，终点为点A与点N重合，正方形边长为4cm，因此自变量x的取值范围是$0≤ x≤4$。
(2) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$在$0≤ x≤4$范围内是开口向上的二次函数的一部分，顶点在原点，当x=4时，$y=\frac{1}{2}×4^2=8$，据此描点连线即可画出函数图象。
由于该函数在$0≤ x≤4$范围内y随x的增大而增大，因此当x=4cm时，重叠部分的面积取得最大值。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤4$；
(2) 图象如图所示，重叠部分面积的最大值为$8\ \mathrm{cm}^2$。

【知识点】
二次函数的实际应用，等腰直角三角形的性质，函数图象绘制
【点评】
本题将图形动态平移与二次函数知识相结合，解题核心是准确判断平移过程中重叠部分的图形形状，再结合几何面积公式推导函数关系，有效考查了数形结合思想和分析动态问题的能力。
【难度系数】
0.7