2. 某养鸡场用篱笆及一面墙(该墙可用最大长度为36 m)围成一个矩形场地ABCD来供鸡在室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆EF，如图所示. BE，EF上各留有1 m宽的门(门不需要篱笆)，该养鸡场共用篱笆58 m. 设该矩形的一边AB长为x(单位: m)，AD＞AB，矩形ABCD的面积为S(单位: m²).
(1)求出S关于x的函数解析式，直接写出自变量x的取值范围.
(2)若矩形ABCD的面积为252 m²，求AB的长.
(3)若规定AB≥12 m，则矩形ABCD的面积的最大值是多少？

(1)由题意，得$BC=58+2-3x=60-3x$，$\therefore S=x(60-3x)=-3x^2+60x$。$\because AD＞AB$，$AD≤36$，$\therefore 60-3x＞x$，$60-3x≤36$。$\therefore 8≤ x＜15$。
(2)由题意，得$S=-3x^2+60x=252$，解得$x_1=14$，$x_2=6$(不合题意，舍去)，故AB的长为14 m。
(3)由题意，得$S=-3x^2+60x=-3(x-10)^2+300$。$\because -3＜0$，$x≥12$，$\therefore$ 函数图象开口向下，S有最大值。当$x=12$时，S取最大值288。所以矩形ABCD面积的最大值为$288\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
(1) 先梳理篱笆的构成：与AB平行的篱笆共3段（AB、EF、CD），长度均为x；与BC平行的篱笆仅BC段，因BE、EF各有1m宽的门无需篱笆，总篱笆长度加2m（两门的总宽度）等于3段AB长度加1段BC长度，据此求出BC的表达式。再结合AD=BC＞AB、AD≤墙的最大长度36m的限制条件，求出自变量x的取值范围，最后根据矩形面积公式得到S与x的函数解析式。
(2) 将S=252代入第一问的函数解析式得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合题意的根，即可得到AB的长度。
(3) 先将二次函数配方为顶点式，结合抛物线开口方向、x≥12的取值范围，判断函数在该区间的增减性，进而求出面积的最大值。
【解析】
(1) 根据题意，总篱笆长58m，两处门共宽2m，因此：
$3x + BC = 58 + 2$
解得$BC=60-3x$
矩形面积$S=AB· BC=x(60-3x)=-3x^2+60x$
根据限制条件列不等式：
$\begin{cases}60-3x ＞ x \\ 60-3x ≤ 36\end{cases}$
解得$8≤x＜15$，即自变量x的取值范围是$8≤x＜15$。
(2) 当$S=252$时，代入解析式得：
$-3x^2+60x=252$
整理为$x^2-20x+84=0$
因式分解得$(x-14)(x-6)=0$
解得$x_1=14$，$x_2=6$
因$8≤x＜15$，故$x=6$不符合题意舍去，即AB的长为14m。
(3) 将函数解析式配方：
$S=-3x^2+60x=-3(x-10)^2+300$
$\because a=-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=10$
$\therefore$ 当$x≥12$时，S随x的增大而减小
因此当$x=12$时，S取得最大值：
$S=-3×(12-10)^2+300=288$
即矩形ABCD面积的最大值为$288\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-3x^2+60x$（$8≤x＜15$）
(2) $14\ \mathrm{m}$
(3) $288\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的综合应用，解题时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求解后需验证结果是否符合题意，求最值时要结合自变量范围判断函数增减性，不能直接套用顶点值。
【难度系数】
0.7