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2. 一条单向车道的抛物线形隧道如图所示. 隧道中公路的宽度AB为8 m，隧道最高点C到公路的距离为6 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式.
(2)现有一辆货车的高度是4.4 m，货车的宽度是2 m. 为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5 m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式.
(2)现有一辆货车的高度是4.4 m，货车的宽度是2 m. 为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5 m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.
答案
2. (1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，$\therefore A(-4,0)$，$B(4,0)$，$C(0,6)$。设这条抛物线的解析式为$y=a(x-4)(x+4)$。$\because$ 抛物线经过点C，$\therefore -16a=6$。$\therefore a=-\frac{3}{8}$。$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{8}x^2+6(-4≤ x≤4)$。
(2)当$x=1$时，$y=\frac{45}{8}$。$\because 4.4+0.5=4.9＜\frac{45}{8}$，$\therefore$ 这辆货车能安全通过这条隧道。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式首先要合理建立平面直角坐标系，该抛物线为轴对称图形，选择AB所在直线为x轴、抛物线对称轴为y轴建立坐标系，可使各点坐标更简洁，大幅简化计算。已知抛物线与x轴交于A、B两点，可设交点式解析式，再代入顶点C的坐标求出参数a即可得到解析式。
(2) 判断货车能否安全通过时，货车沿隧道中心线行驶最容易通过，此时货车宽度2m对应横坐标范围为-1到1，取x=1求出对应位置的隧道高度，结合安全距离要求，将“货车高度+安全距离”与该位置隧道高度比较即可得出结论。
【解析】
(1) 以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，由题意得$A(-4,0)$，$B(4,0)$，最高点$C(0,6)$。
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴设抛物线解析式为$y=a(x-4)(x+4)$。
将$C(0,6)$代入解析式得：$a×(0-4)×(0+4)=6$，即$-16a=6$，解得$a=-\frac{3}{8}$。
整理得抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{8}x^2+6$，其中x的取值范围是$-4≤ x≤4$。
(2) 货车沿隧道中心线行驶时，2m的宽度对应横坐标范围为$-1≤x≤1$，将$x=1$代入解析式：
$y=-\frac{3}{8}×1^2+6=\frac{45}{8}$
根据安全要求，货车通行需要的最小高度为$4.4+0.5=4.9$m。
∵$4.9＜\frac{45}{8}$，
∴该货车可以安全通过隧道。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{8}x^2+6(-4≤ x≤4)$；
(2) 这辆货车能安全通过这条隧道。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；抛物线对称性
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题核心是通过建立合适的坐标系简化运算，同时能结合实际场景提取有效条件转化为数学问题进行判断，考查了数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式首先要合理建立平面直角坐标系，该抛物线为轴对称图形，选择AB所在直线为x轴、抛物线对称轴为y轴建立坐标系，可使各点坐标更简洁，大幅简化计算。已知抛物线与x轴交于A、B两点，可设交点式解析式，再代入顶点C的坐标求出参数a即可得到解析式。
(2) 判断货车能否安全通过时，货车沿隧道中心线行驶最容易通过，此时货车宽度2m对应横坐标范围为-1到1，取x=1求出对应位置的隧道高度，结合安全距离要求，将“货车高度+安全距离”与该位置隧道高度比较即可得出结论。
【解析】
(1) 以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，由题意得$A(-4,0)$，$B(4,0)$，最高点$C(0,6)$。
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴设抛物线解析式为$y=a(x-4)(x+4)$。
将$C(0,6)$代入解析式得：$a×(0-4)×(0+4)=6$，即$-16a=6$，解得$a=-\frac{3}{8}$。
整理得抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{8}x^2+6$，其中x的取值范围是$-4≤ x≤4$。
(2) 货车沿隧道中心线行驶时，2m的宽度对应横坐标范围为$-1≤x≤1$，将$x=1$代入解析式：
$y=-\frac{3}{8}×1^2+6=\frac{45}{8}$
根据安全要求，货车通行需要的最小高度为$4.4+0.5=4.9$m。
∵$4.9＜\frac{45}{8}$，
∴该货车可以安全通过隧道。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{8}x^2+6(-4≤ x≤4)$；
(2) 这辆货车能安全通过这条隧道。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；抛物线对称性
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题核心是通过建立合适的坐标系简化运算，同时能结合实际场景提取有效条件转化为数学问题进行判断，考查了数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线是抛物线. 当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m. 已知球门高OB为2.4 m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则小明应该带球向正后方移动多少米再射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处?
(1)求抛物线的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则小明应该带球向正后方移动多少米再射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处?
答案
3. (1)由题意，可知抛物线的顶点坐标为$(2,3)$。设抛物线的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$，把$A(8,0)$代入，得$36a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{12}$，$\therefore$ 抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。当$x=0$时，$y=\frac{8}{3}＞2.4$，$\therefore$ 球不能射进球门。
(2)设小明带球向正后方移动$b\ \mathrm{m}$再射门，则移动后的抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-b)^2+3$，把$(0,2.25)$代入，得$2.25=-\frac{1}{12}(-2-b)^2+3$，解得$b_1=1$或$b_2=-5$(不合题意，舍去)。所以当小明带球向正后方移动1 m再射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处。
(2)设小明带球向正后方移动$b\ \mathrm{m}$再射门，则移动后的抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-b)^2+3$，把$(0,2.25)$代入，得$2.25=-\frac{1}{12}(-2-b)^2+3$，解得$b_1=1$或$b_2=-5$(不合题意，舍去)。所以当小明带球向正后方移动1 m再射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，先结合题意确定顶点坐标：球从A(8,0)出发，水平飞行6m到达最高点，因此顶点横坐标为8-6=2，纵坐标为3，即顶点为(2,3)，选择顶点式设解析式，再代入A点坐标求出参数a即可得到解析式。判断能否进球门，只需计算x=0处的函数值，和球门高度2.4m比较，若大于2.4则不能进球，反之可以。
(2) 射门路线形状和最大高度不变，说明二次项系数和顶点纵坐标不变，设向后移动b m，则新抛物线顶点横坐标变为2+b，写出新的顶点式解析式，将点(0,2.25)代入求解b，舍去不符合实际意义的负值即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$。
把$A(8,0)$代入解析式得：
$0=a(8-2)^2+3$，即$36a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
球门位于$x=0$处，将$x=0$代入解析式：
$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}$。
因为$\frac{8}{3}＞2.4$，所以球不能射进球门。
(2) 设小明带球向正后方移动$b\ \mathrm{m}$再射门，由于抛物线形状、最大高度不变，因此新抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-b)^2+3$。
将点$(0,2.25)$代入解析式得：
$2.25=-\frac{1}{12}(-2-b)^2+3$
整理得$(b+2)^2=9$，解得$b_1=1$，$b_2=-5$。
$b=-5$不符合实际移动的意义，故舍去。
【答案】
(1) 抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$，球不能射进球门；
(2) 小明应该带球向正后方移动1 m再射门。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数顶点式
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确提取抛物线上的已知点坐标，合理选择解析式形式求解，同时要注意结合实际意义舍去不合理解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式时，先结合题意确定顶点坐标：球从A(8,0)出发，水平飞行6m到达最高点，因此顶点横坐标为8-6=2，纵坐标为3，即顶点为(2,3)，选择顶点式设解析式，再代入A点坐标求出参数a即可得到解析式。判断能否进球门，只需计算x=0处的函数值，和球门高度2.4m比较，若大于2.4则不能进球，反之可以。
(2) 射门路线形状和最大高度不变，说明二次项系数和顶点纵坐标不变，设向后移动b m，则新抛物线顶点横坐标变为2+b，写出新的顶点式解析式，将点(0,2.25)代入求解b，舍去不符合实际意义的负值即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$。
把$A(8,0)$代入解析式得：
$0=a(8-2)^2+3$，即$36a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
球门位于$x=0$处，将$x=0$代入解析式：
$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}$。
因为$\frac{8}{3}＞2.4$，所以球不能射进球门。
(2) 设小明带球向正后方移动$b\ \mathrm{m}$再射门，由于抛物线形状、最大高度不变，因此新抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-b)^2+3$。
将点$(0,2.25)$代入解析式得：
$2.25=-\frac{1}{12}(-2-b)^2+3$
整理得$(b+2)^2=9$，解得$b_1=1$，$b_2=-5$。
$b=-5$不符合实际移动的意义，故舍去。
【答案】
(1) 抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$，球不能射进球门；
(2) 小明应该带球向正后方移动1 m再射门。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数顶点式
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确提取抛物线上的已知点坐标，合理选择解析式形式求解，同时要注意结合实际意义舍去不合理解。
【难度系数】
0.7
