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5. 抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，当水面上升1.5 m时，求此时水面的宽度。
第5题
第5题答案
5. 由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2$。由题意可知，点$(2,-2)$在此抛物线上，则$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，$\therefore y=-\frac{1}{2}x^2$。当水面上升1.5 m时，$y=-0.5$，则$-\frac{1}{2}x^2=-0.5$，解得$x=\pm1$，此时水面的宽度为$1-(-1)=2(\mathrm{m})$。所以此时水面的宽度为2 m。
解析
【分析】
遇到抛物线类实际问题，我们首先通过建立平面直角坐标系将其转化为二次函数问题求解：第一步，选择拱顶为坐标原点、对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点且开口向下，设解析式为$y=ax^2$是最简便的形式；第二步，根据“拱顶离水面2m时水面宽4m”的条件，得到抛物线上的点$(2,-2)$，代入解析式即可求出参数$a$，得到完整的抛物线解析式；第三步，水面上升1.5m，说明此时水面的纵坐标为$-2+1.5=-0.5$，将该纵坐标代入解析式求出对应的横坐标，两个横坐标的差就是此时水面的宽度。
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2$。
由题意可知点$(2,-2)$在抛物线上，代入解析式得：
$-2=a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面上升1.5m时，此时水面的纵坐标$y=-2+1.5=-0.5$，代入解析式得：
$-\frac{1}{2}x^2=-0.5$
解得$x=\pm1$。
此时水面的宽度为$1-(-1)=2(\mathrm{m})$。
【答案】
此时水面的宽度为2 m。
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是建立合适的坐标系将实际问题转化为二次函数代数问题，掌握二次函数的基本性质和待定系数法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
遇到抛物线类实际问题，我们首先通过建立平面直角坐标系将其转化为二次函数问题求解：第一步，选择拱顶为坐标原点、对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点且开口向下，设解析式为$y=ax^2$是最简便的形式；第二步，根据“拱顶离水面2m时水面宽4m”的条件，得到抛物线上的点$(2,-2)$，代入解析式即可求出参数$a$，得到完整的抛物线解析式；第三步，水面上升1.5m，说明此时水面的纵坐标为$-2+1.5=-0.5$，将该纵坐标代入解析式求出对应的横坐标，两个横坐标的差就是此时水面的宽度。
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2$。
由题意可知点$(2,-2)$在抛物线上，代入解析式得：
$-2=a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面上升1.5m时，此时水面的纵坐标$y=-2+1.5=-0.5$，代入解析式得：
$-\frac{1}{2}x^2=-0.5$
解得$x=\pm1$。
此时水面的宽度为$1-(-1)=2(\mathrm{m})$。
【答案】
此时水面的宽度为2 m。
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是建立合适的坐标系将实际问题转化为二次函数代数问题，掌握二次函数的基本性质和待定系数法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线. 已知跳板AB长为2 m，跳板距水面CD的距离BC为3 m，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1 m时达到距水面最大高度4 m. 现以CD为横轴，CB为纵轴建立平面直角坐标系.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求运动员落水点与点C的距离.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求运动员落水点与点C的距离.
答案
(1)如图，建立平面直角坐标系。由题意可得抛物线的顶点坐标为$(3,4)$，点A坐标为$(2,3)$。设抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+4$，将$A(2,3)$代入，得$3=a(2-3)^2+4$，解得$a=-1$。$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-(x-3)^2+4$。
(2)$\because y=-(x-3)^2+4$，$\therefore$ 令$y=0$得$0=-(x-3)^2+4$，解得$x_1=1$，$x_2=5$。$\because$ 起跳点A坐标为$(2,3)$，$\therefore x=1$不符合题意，$\therefore x=5$。所以运动员落水点与点C的距离为5 m。
解析
【分析】
(1)求解抛物线解析式时，首先根据题意确定坐标：点C为坐标原点，起跳点A距离y轴水平距离2m、距离水面高度3m，因此A点坐标为$(2,3)$；已知跳水曲线在离起跳点水平距离1m时达到最大高度4m，可得抛物线顶点坐标为$(3,4)$。因为已知顶点坐标，所以选择顶点式设抛物线解析式，将A点坐标代入即可求出未知系数，得到抛物线解析式。
(2)求落水点与点C的距离时，落水点在水面上对应纵坐标$y=0$，将$y=0$代入抛物线解析式求解一元二次方程，得到两个根后结合实际运动场景，舍去起跳点左侧不符合实际的根，剩余的正根就是落水点的横坐标，也就是到原点C的距离。
【解析】
(1)根据题意建立平面直角坐标系，可得抛物线顶点坐标为$(3,4)$，起跳点A的坐标为$(2,3)$。
设抛物线的顶点式为$y=a(x-3)^2+4$，将$A(2,3)$代入解析式：
$3=a(2-3)^2+4$
解得$a=-1$，因此抛物线的解析式为$y=-(x-3)^2+4$。
(2)运动员落水时纵坐标为0，令$y=0$，代入解析式得：
$0=-(x-3)^2+4$
整理得$(x-3)^2=4$，解得$x_1=1$，$x_2=5$。
由于跳水轨迹在起跳点$A(2,3)$右侧，$x=1$不符合实际意义，故舍去，取$x=5$，即落水点与点C的距离为5m。
【答案】
(1)抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-(x-3)^2+4}$；
(2)运动员落水点与点C的距离为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，抛物线与x轴交点
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是准确提取题干中的坐标信息，优先选择顶点式简化解析式求解过程，同时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解，侧重考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)求解抛物线解析式时，首先根据题意确定坐标：点C为坐标原点，起跳点A距离y轴水平距离2m、距离水面高度3m，因此A点坐标为$(2,3)$；已知跳水曲线在离起跳点水平距离1m时达到最大高度4m，可得抛物线顶点坐标为$(3,4)$。因为已知顶点坐标，所以选择顶点式设抛物线解析式，将A点坐标代入即可求出未知系数，得到抛物线解析式。
(2)求落水点与点C的距离时，落水点在水面上对应纵坐标$y=0$，将$y=0$代入抛物线解析式求解一元二次方程，得到两个根后结合实际运动场景，舍去起跳点左侧不符合实际的根，剩余的正根就是落水点的横坐标，也就是到原点C的距离。
【解析】
(1)根据题意建立平面直角坐标系，可得抛物线顶点坐标为$(3,4)$，起跳点A的坐标为$(2,3)$。
设抛物线的顶点式为$y=a(x-3)^2+4$，将$A(2,3)$代入解析式：
$3=a(2-3)^2+4$
解得$a=-1$，因此抛物线的解析式为$y=-(x-3)^2+4$。
(2)运动员落水时纵坐标为0，令$y=0$，代入解析式得：
$0=-(x-3)^2+4$
整理得$(x-3)^2=4$，解得$x_1=1$，$x_2=5$。
由于跳水轨迹在起跳点$A(2,3)$右侧，$x=1$不符合实际意义，故舍去，取$x=5$，即落水点与点C的距离为5m。
【答案】
(1)抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-(x-3)^2+4}$；
(2)运动员落水点与点C的距离为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，抛物线与x轴交点
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是准确提取题干中的坐标信息，优先选择顶点式简化解析式求解过程，同时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解，侧重考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状. 数学小组想了解拱门最高处的高度，先测量拱门底部两端点距离AB=8 m，再用两根长度为2 m的标杆CE，DF垂直于地面且保持标杆端点C，D在拱门上，然后测量出两标杆间的距离EF=6 m，则此拱门最高处(不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
.答案
1. $\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，我们可以通过建立平面直角坐标系求解：首先利用抛物线的轴对称性，将拱门底部AB放在x轴上，以AB中点为原点建立坐标系，可简化计算；接下来设出抛物线的交点式解析式，再根据标杆的长度和两标杆的距离确定抛物线上点C的坐标，代入解析式求出未知系数；最后求抛物线顶点的纵坐标，即为拱门最高处的高度。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
由AB=8m，可得A(-4,0)，B(4,0)，设抛物线的解析式为$y=a(x+4)(x-4)\ (a≠0)$。
已知EF=6m，CE=DF=2m，且CE、DF均垂直于x轴，抛物线关于y轴对称，因此点C的坐标为$(-3,2)$。
将C(-3,2)代入解析式得：
$2=a×(-3+4)×(-3-4)$
$2=-7a$
解得$a=-\frac{2}{7}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{2}{7}(x+4)(x-4)=-\frac{2}{7}x^2+\frac{32}{7}$
抛物线顶点在y轴上，当$x=0$时，$y=\frac{32}{7}$，即拱门最高处高度为$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，核心是合理建立坐标系，利用抛物线的对称性降低计算难度，再通过待定系数法求出解析式后即可得到对应最值，解题时要注意实际量和坐标的对应关系。
【难度系数】
0.7
这是二次函数的实际应用问题，我们可以通过建立平面直角坐标系求解：首先利用抛物线的轴对称性，将拱门底部AB放在x轴上，以AB中点为原点建立坐标系，可简化计算；接下来设出抛物线的交点式解析式，再根据标杆的长度和两标杆的距离确定抛物线上点C的坐标，代入解析式求出未知系数；最后求抛物线顶点的纵坐标，即为拱门最高处的高度。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
由AB=8m，可得A(-4,0)，B(4,0)，设抛物线的解析式为$y=a(x+4)(x-4)\ (a≠0)$。
已知EF=6m，CE=DF=2m，且CE、DF均垂直于x轴，抛物线关于y轴对称，因此点C的坐标为$(-3,2)$。
将C(-3,2)代入解析式得：
$2=a×(-3+4)×(-3-4)$
$2=-7a$
解得$a=-\frac{2}{7}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{2}{7}(x+4)(x-4)=-\frac{2}{7}x^2+\frac{32}{7}$
抛物线顶点在y轴上，当$x=0$时，$y=\frac{32}{7}$，即拱门最高处高度为$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，核心是合理建立坐标系，利用抛物线的对称性降低计算难度，再通过待定系数法求出解析式后即可得到对应最值，解题时要注意实际量和坐标的对应关系。
【难度系数】
0.7
