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1. 体育课上，同学们进行投篮比赛. 如图，在小明投篮过程中，篮球从出手到未落地期间离地面的高度(h)与投球时间(t)的函数关系可用以下图象表示的是(
C
).答案
1. C
解析
【分析】
解题时可按照“初始状态-变化过程-终止状态”的顺序逐步分析：首先，投篮出手瞬间（$t=0$），篮球在人手中，离地面有一定高度，因此$t=0$时$h＞0$，可排除初始高度为0的选项；其次，篮球出手后，先向上运动到最高点，再向下运动，高度随时间先增后减，对应图象是开口向下的抛物线，可排除单调变化的错误选项；最后，题目明确是“未落地期间”，因此时间段终点处篮球高度仍大于0，可排除终点高度为0的选项，综合筛选即可得到正确答案。
【解析】
我们分三步判断符合要求的图象：
1. 看初始值：当投球时间$t=0$时，篮球还在出手位置，距离地面有一定高度，即$h＞0$，排除初始高度为0的选项；
2. 看变化趋势：篮球出手后，先向上运动，高度随时间增加而升高，到达最高点后开始下落，高度随时间增加而降低，因此$h$与$t$的函数图象为开口向下的抛物线，排除单调递增、单调递减或形状不符合的选项；
3. 看终止值：题目限定研究的是“从出手到未落地期间”，即该时间段结束时篮球还未落地，因此此时$h＞0$，排除图象末端$h=0$的选项。
综上，只有选项C符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象识别；函数的实际意义
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查函数图象的判断，解题时只需结合实际运动过程，从起点、变化趋势、终点三个角度逐一排除错误选项即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时可按照“初始状态-变化过程-终止状态”的顺序逐步分析：首先，投篮出手瞬间（$t=0$），篮球在人手中，离地面有一定高度，因此$t=0$时$h＞0$，可排除初始高度为0的选项；其次，篮球出手后，先向上运动到最高点，再向下运动，高度随时间先增后减，对应图象是开口向下的抛物线，可排除单调变化的错误选项；最后，题目明确是“未落地期间”，因此时间段终点处篮球高度仍大于0，可排除终点高度为0的选项，综合筛选即可得到正确答案。
【解析】
我们分三步判断符合要求的图象：
1. 看初始值：当投球时间$t=0$时，篮球还在出手位置，距离地面有一定高度，即$h＞0$，排除初始高度为0的选项；
2. 看变化趋势：篮球出手后，先向上运动，高度随时间增加而升高，到达最高点后开始下落，高度随时间增加而降低，因此$h$与$t$的函数图象为开口向下的抛物线，排除单调递增、单调递减或形状不符合的选项；
3. 看终止值：题目限定研究的是“从出手到未落地期间”，即该时间段结束时篮球还未落地，因此此时$h＞0$，排除图象末端$h=0$的选项。
综上，只有选项C符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象识别；函数的实际意义
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查函数图象的判断，解题时只需结合实际运动过程，从起点、变化趋势、终点三个角度逐一排除错误选项即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
2. 伞是生活中一种常见的工具，伞撑开后如图1所示，其轮廓可以近似抽象出抛物线模型. 如图2所示，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称. 已知抛物线的解析式为$y=-0.2x^2+1$，若点A到x轴的距离是0.6 dm，则A，B两点之间的距离是
$2\sqrt{2}$
dm.答案
2. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①点A到x轴的距离为0.6dm，且A在第一象限，可知点A的纵坐标为0.6；②已知抛物线解析式，可将纵坐标代入解析式求出点A的横坐标；③由OA、OB关于y轴对称，可知点B与点A关于y轴对称，纵坐标相同、横坐标互为相反数，最后根据纵坐标相同的两点距离等于横坐标差的绝对值即可求出AB的长度。
【解析】
∵点A到x轴的距离是0.6 dm，且点A位于第一象限，
∴点A的纵坐标$y=0.6$，
将$y=0.6$代入抛物线解析式$y=-0.2x^2+1$，得：
$0.6=-0.2x^2+1$
移项整理得：$0.2x^2=0.4$，即$x^2=2$，
解得$x=\sqrt{2}$（点A横坐标为正，舍去负根），
∴点A的坐标为$(\sqrt{2},0.6)$，
∵OA、OB关于y轴对称，
∴点B与点A关于y轴对称，点B的坐标为$(-\sqrt{2},0.6)$，
∴A、B两点的距离为$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$（dm）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征；两点间距离计算
【点评】
本题结合生活中的伞的模型考查二次函数的实际应用，解题关键是将点到坐标轴的距离转化为点的坐标特征，再结合对称性求解，是二次函数基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①点A到x轴的距离为0.6dm，且A在第一象限，可知点A的纵坐标为0.6；②已知抛物线解析式，可将纵坐标代入解析式求出点A的横坐标；③由OA、OB关于y轴对称，可知点B与点A关于y轴对称，纵坐标相同、横坐标互为相反数，最后根据纵坐标相同的两点距离等于横坐标差的绝对值即可求出AB的长度。
【解析】
∵点A到x轴的距离是0.6 dm，且点A位于第一象限，
∴点A的纵坐标$y=0.6$，
将$y=0.6$代入抛物线解析式$y=-0.2x^2+1$，得：
$0.6=-0.2x^2+1$
移项整理得：$0.2x^2=0.4$，即$x^2=2$，
解得$x=\sqrt{2}$（点A横坐标为正，舍去负根），
∴点A的坐标为$(\sqrt{2},0.6)$，
∵OA、OB关于y轴对称，
∴点B与点A关于y轴对称，点B的坐标为$(-\sqrt{2},0.6)$，
∴A、B两点的距离为$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$（dm）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征；两点间距离计算
【点评】
本题结合生活中的伞的模型考查二次函数的实际应用，解题关键是将点到坐标轴的距离转化为点的坐标特征，再结合对称性求解，是二次函数基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
3. 某地一座抛物线形拱桥如图所示，拱桥在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB=36 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE//AB. 已知点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为
48
m.答案
3. 48
解析
【分析】
这是二次函数在实际拱桥问题中的应用，解题关键是建立合适的平面直角坐标系，将几何问题转化为二次函数代数问题求解。由于抛物线为轴对称图形，我们选择AB的垂直平分线为y轴、AB所在直线为x轴建立坐标系，可使抛物线解析式不含一次项，简化计算：首先根据已知条件确定A、B、C三点坐标，用待定系数法求出抛物线解析式；再根据DE的位置确定其对应的纵坐标，代入解析式求出D、E两点的横坐标，横坐标的差即为DE的长度。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴。
由题意得：AB=36m，最高点C到AB的距离为9m，因此A(-18,0)，B(18,0)，C(0,9)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$，
将C(0,9)代入解析式，得$c=9$；
将A(-18,0)代入$y=ax^2+9$，得：
$0=a×(-18)^2+9$
$324a=-9$
解得$a=-\frac{1}{36}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{36}x^2+9$。
∵DE//AB，点E到AB的距离为7m，且DE在AB下方，
∴DE所在直线的纵坐标为$y=-7$，
将$y=-7$代入解析式得：
$-7=-\frac{1}{36}x^2+9$
$\frac{1}{36}x^2=16$
$x^2=576$
解得$x=\pm24$
即D(-24,-7)，E(24,-7)，
∴DE的长度为$24-(-24)=48$（m）。
【答案】
48
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，核心考查数学建模能力，通过建立合适的坐标系可大幅降低计算难度，解题时要注意结合图形确定各点的坐标符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际拱桥问题中的应用，解题关键是建立合适的平面直角坐标系，将几何问题转化为二次函数代数问题求解。由于抛物线为轴对称图形，我们选择AB的垂直平分线为y轴、AB所在直线为x轴建立坐标系，可使抛物线解析式不含一次项，简化计算：首先根据已知条件确定A、B、C三点坐标，用待定系数法求出抛物线解析式；再根据DE的位置确定其对应的纵坐标，代入解析式求出D、E两点的横坐标，横坐标的差即为DE的长度。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴。
由题意得：AB=36m，最高点C到AB的距离为9m，因此A(-18,0)，B(18,0)，C(0,9)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$，
将C(0,9)代入解析式，得$c=9$；
将A(-18,0)代入$y=ax^2+9$，得：
$0=a×(-18)^2+9$
$324a=-9$
解得$a=-\frac{1}{36}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{36}x^2+9$。
∵DE//AB，点E到AB的距离为7m，且DE在AB下方，
∴DE所在直线的纵坐标为$y=-7$，
将$y=-7$代入解析式得：
$-7=-\frac{1}{36}x^2+9$
$\frac{1}{36}x^2=16$
$x^2=576$
解得$x=\pm24$
即D(-24,-7)，E(24,-7)，
∴DE的长度为$24-(-24)=48$（m）。
【答案】
48
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，核心考查数学建模能力，通过建立合适的坐标系可大幅降低计算难度，解题时要注意结合图形确定各点的坐标符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，一辆宽为2 m的货车要通过跨度为10 m，拱高为5 m的单行抛物线形隧道(从正中通过)，抛物线满足解析式 $y=-\frac{1}{5}x^2 +5$。为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.8 m的距离，则货车应限高
4
m.答案
4. 4
解析
【分析】
要解决货车限高问题，首先明确货车从隧道正中通过，宽度为2m，因此货车边缘对应的横坐标为$x=\pm1$；接下来将$x=1$代入抛物线解析式，求出该位置处隧道的高度；最后用该高度减去车顶需要预留的0.8m安全距离，即可得到货车的限高。
【解析】
解：
∵货车宽为2m，从隧道正中通过，
∴货车边缘对应的横坐标为$x=\pm1$。
将$x=1$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{5}x^2 +5$，得：
$y=-\frac{1}{5}×1^2 +5=4.8$（m）
∵车顶离隧道顶部至少要有0.8m的距离，
∴货车限高为$4.8 - 0.8=4$（m）
【答案】
4
【知识点】
1.二次函数实际应用
2.二次函数求值
【点评】
本题结合生活场景考察二次函数的实际应用，解题的关键是根据货车的宽度和通行位置确定对应横坐标，代入解析式求得对应高度后结合安全距离计算限高，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决货车限高问题，首先明确货车从隧道正中通过，宽度为2m，因此货车边缘对应的横坐标为$x=\pm1$；接下来将$x=1$代入抛物线解析式，求出该位置处隧道的高度；最后用该高度减去车顶需要预留的0.8m安全距离，即可得到货车的限高。
【解析】
解：
∵货车宽为2m，从隧道正中通过，
∴货车边缘对应的横坐标为$x=\pm1$。
将$x=1$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{5}x^2 +5$，得：
$y=-\frac{1}{5}×1^2 +5=4.8$（m）
∵车顶离隧道顶部至少要有0.8m的距离，
∴货车限高为$4.8 - 0.8=4$（m）
【答案】
4
【知识点】
1.二次函数实际应用
2.二次函数求值
【点评】
本题结合生活场景考察二次函数的实际应用，解题的关键是根据货车的宽度和通行位置确定对应横坐标，代入解析式求得对应高度后结合安全距离计算限高，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.7
