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8.若代数式$ax^2yz - bx^2zy$合并同类项后结果为零，则$a$，$b$满足的关系式为（
A.$a + b = 1$
B.$a = b$
C.$a - b = 1$
D.$a + b = 0$
B
）。A.$a + b = 1$
B.$a = b$
C.$a - b = 1$
D.$a + b = 0$
答案
8.B
解析
【分析】
解决这道题可按三步思考：第一步先判断两个单项式是否为同类项，同类项的判定标准是所含字母相同、相同字母的指数也相同，和字母的排列顺序无关；第二步回忆合并同类项的法则：合并同类项时，仅把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变；第三步根据合并后结果为0的条件，可知合并后的系数必须为0，由此列出a和b的关系式即可得到答案。
【解析】
1. 识别同类项：单项式$ax^2yz$和$bx^2zy$所含字母均为x、y、z，且x的指数都是2，y、z的指数都是1，与字母排列顺序无关，因此二者是同类项。
2. 合并同类项：根据合并同类项法则，对代数式进行合并：
$ax^2yz - bx^2zy = (a - b)x^2yz$
3. 结合条件推导关系：合并后结果为0，由于x、y、z可取任意非零值，因此只有系数为0时式子恒为0，即$a - b = 0$，整理得$a = b$。
综上对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的判定；合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础应用题型，核心是掌握同类项的判断标准和合并时系数的运算规则，需注意字母的排列顺序不影响同类项的判定。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按三步思考：第一步先判断两个单项式是否为同类项，同类项的判定标准是所含字母相同、相同字母的指数也相同，和字母的排列顺序无关；第二步回忆合并同类项的法则：合并同类项时，仅把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变；第三步根据合并后结果为0的条件，可知合并后的系数必须为0，由此列出a和b的关系式即可得到答案。
【解析】
1. 识别同类项：单项式$ax^2yz$和$bx^2zy$所含字母均为x、y、z，且x的指数都是2，y、z的指数都是1，与字母排列顺序无关，因此二者是同类项。
2. 合并同类项：根据合并同类项法则，对代数式进行合并：
$ax^2yz - bx^2zy = (a - b)x^2yz$
3. 结合条件推导关系：合并后结果为0，由于x、y、z可取任意非零值，因此只有系数为0时式子恒为0，即$a - b = 0$，整理得$a = b$。
综上对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的判定；合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础应用题型，核心是掌握同类项的判断标准和合并时系数的运算规则，需注意字母的排列顺序不影响同类项的判定。
【难度系数】
0.8
9.如果关于$x,y$的单项式$2nx^c y$与单项式$3myx^3$是同类项，当$3m$的倒数是1，$n$的相反数是$\frac{1}{2}$时，求$(2n + 3m)^{100} + (-3m)^c - n^c$的值。
答案
9.$-\frac{7}{8}$
解析
【分析】
解题时按照从已知到未知的思路逐步推导：第一步先根据同类项的定义，确定x的指数c的值；第二步再根据倒数、相反数的定义分别求出3m和n的值；最后将所有求得的参数值代入待求代数式，按照有理数的运算规则计算就能得到结果。
【解析】
1. 求参数$c$的值：
因为单项式$2nx^c y$与$3myx^3$是同类项，根据同类项“相同字母的指数相等”的性质，两个单项式中$x$的指数对应相等，可得$c=3$。
2. 求$3m$和$n$的值：
已知$3m$的倒数是1，倒数为1的数是1本身，因此$3m=1$；
已知$n$的相反数是$\frac{1}{2}$，互为相反数的两数和为0，因此$n=-\frac{1}{2}$。
3. 代入代数式计算：
将$c=3$、$3m=1$、$n=-\frac{1}{2}$代入$(2n + 3m)^{100} + (-3m)^c - n^c$：
先分别计算每一项：
$2n+3m=2×(-\frac{1}{2})+1=-1+1=0$，故$(2n+3m)^{100}=0^{100}=0$；
$(-3m)^c=(-1)^3=-1$；
$n^c=(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$；
因此原式$=0+(-1)-(-\frac{1}{8})=-1+\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$。
【答案】
$-\frac{7}{8}$
【知识点】
同类项的定义；倒数与相反数；代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，核心是准确掌握同类项、倒数、相反数的定义求出对应参数，计算时要注意负数乘方的符号规则，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
解题时按照从已知到未知的思路逐步推导：第一步先根据同类项的定义，确定x的指数c的值；第二步再根据倒数、相反数的定义分别求出3m和n的值；最后将所有求得的参数值代入待求代数式，按照有理数的运算规则计算就能得到结果。
【解析】
1. 求参数$c$的值：
因为单项式$2nx^c y$与$3myx^3$是同类项，根据同类项“相同字母的指数相等”的性质，两个单项式中$x$的指数对应相等，可得$c=3$。
2. 求$3m$和$n$的值：
已知$3m$的倒数是1，倒数为1的数是1本身，因此$3m=1$；
已知$n$的相反数是$\frac{1}{2}$，互为相反数的两数和为0，因此$n=-\frac{1}{2}$。
3. 代入代数式计算：
将$c=3$、$3m=1$、$n=-\frac{1}{2}$代入$(2n + 3m)^{100} + (-3m)^c - n^c$：
先分别计算每一项：
$2n+3m=2×(-\frac{1}{2})+1=-1+1=0$，故$(2n+3m)^{100}=0^{100}=0$；
$(-3m)^c=(-1)^3=-1$；
$n^c=(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$；
因此原式$=0+(-1)-(-\frac{1}{8})=-1+\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$。
【答案】
$-\frac{7}{8}$
【知识点】
同类项的定义；倒数与相反数；代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，核心是准确掌握同类项、倒数、相反数的定义求出对应参数，计算时要注意负数乘方的符号规则，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
10.在如图所示的长方形中,摆放三个边长分别为$a$ cm,$2a$ cm,$4a$ cm的正方形$S_1,S_2,S_3$(彼此之间不留空隙,也不重叠)。
(1)求长方形的长和宽(用含$a$的代数式表示)。
(2)按照摆放要求,继续用边长为$a$ cm或$2a$ cm的小正方形在剩余阴影部分中摆放,是否可以把长方形完全覆盖(忽略长方形的边)?若可以,请写出摆放方案;若不可以,请说明理由。
(1)求长方形的长和宽(用含$a$的代数式表示)。
(2)按照摆放要求,继续用边长为$a$ cm或$2a$ cm的小正方形在剩余阴影部分中摆放,是否可以把长方形完全覆盖(忽略长方形的边)?若可以,请写出摆放方案;若不可以,请说明理由。
答案
10.解:(1)由题意知,长方形的长为$a+2a+4a=7a$ cm,宽为$4a$ cm。
(2)方案一:在$S_2$的上方摆放1个边长为$2a$ cm的小正方形;在$S_1$的上方摆放3个边长为$a$ cm的小正方形。
方案二:在$S_1,S_2$的上方摆放7个边长为$a$ cm的小正方形。
(2)方案一:在$S_2$的上方摆放1个边长为$2a$ cm的小正方形;在$S_1$的上方摆放3个边长为$a$ cm的小正方形。
方案二:在$S_1,S_2$的上方摆放7个边长为$a$ cm的小正方形。
解析
【分析】
（1）求长方形的长和宽时，观察图形可得：水平方向上，长方形的长等于三个正方形$S_1$、$S_2$、$S_3$的边长之和；竖直方向上，长方形的宽等于最大正方形$S_3$的边长，分别代入三个正方形的边长计算即可。
（2）要判断能否完全覆盖，先计算出阴影部分的总面积，再看总面积能否用若干个边长为$a$或$2a$的正方形面积之和表示，若可以则能完全覆盖，再结合阴影部分的形状设计对应的摆放方案即可。
【解析】
解：(1) 观察图形可知：
长方形的长为三个正方形的边长之和：$a + 2a + 4a = 7a$（cm）
长方形的宽等于最大正方形$S_3$的边长：$4a$（cm）
(2) 可以把长方形完全覆盖，具体方案如下：
先验证面积可行性：
长方形总面积为$7a × 4a = 28a^2$，
三个正方形的面积和为$a^2 + (2a)^2 + (4a)^2 = a^2 + 4a^2 + 16a^2 = 21a^2$，
剩余阴影部分面积为$28a^2 - 21a^2 = 7a^2$，
边长为$a$的正方形面积为$a^2$，边长为$2a$的正方形面积为$4a^2$，$7a^2$可拆分为$4a^2+3a^2$或$7a^2$，因此存在可行方案：
方案一：在$S_2$的上方摆放1个边长为$2a$ cm的小正方形；在$S_1$的上方摆放3个边长为$a$ cm的小正方形。
方案二：在$S_1,S_2$的上方摆放7个边长为$a$ cm的小正方形。
【答案】
(1) 长方形的长为$7a$ cm，宽为$4a$ cm；
(2) 可以，摆放方案如下：
方案一：在$S_2$的上方摆放1个边长为$2a$ cm的小正方形，在$S_1$的上方摆放3个边长为$a$ cm的小正方形；
方案二：在$S_1,S_2$的上方摆放7个边长为$a$ cm的小正方形。
【知识点】
列代数式；图形面积计算；方案设计
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的实际应用，需要通过观察图形梳理边长的数量关系，同时结合面积的和差关系验证方案的合理性，能有效锻炼图形观察能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）求长方形的长和宽时，观察图形可得：水平方向上，长方形的长等于三个正方形$S_1$、$S_2$、$S_3$的边长之和；竖直方向上，长方形的宽等于最大正方形$S_3$的边长，分别代入三个正方形的边长计算即可。
（2）要判断能否完全覆盖，先计算出阴影部分的总面积，再看总面积能否用若干个边长为$a$或$2a$的正方形面积之和表示，若可以则能完全覆盖，再结合阴影部分的形状设计对应的摆放方案即可。
【解析】
解：(1) 观察图形可知：
长方形的长为三个正方形的边长之和：$a + 2a + 4a = 7a$（cm）
长方形的宽等于最大正方形$S_3$的边长：$4a$（cm）
(2) 可以把长方形完全覆盖，具体方案如下：
先验证面积可行性：
长方形总面积为$7a × 4a = 28a^2$，
三个正方形的面积和为$a^2 + (2a)^2 + (4a)^2 = a^2 + 4a^2 + 16a^2 = 21a^2$，
剩余阴影部分面积为$28a^2 - 21a^2 = 7a^2$，
边长为$a$的正方形面积为$a^2$，边长为$2a$的正方形面积为$4a^2$，$7a^2$可拆分为$4a^2+3a^2$或$7a^2$，因此存在可行方案：
方案一：在$S_2$的上方摆放1个边长为$2a$ cm的小正方形；在$S_1$的上方摆放3个边长为$a$ cm的小正方形。
方案二：在$S_1,S_2$的上方摆放7个边长为$a$ cm的小正方形。
【答案】
(1) 长方形的长为$7a$ cm，宽为$4a$ cm；
(2) 可以，摆放方案如下：
方案一：在$S_2$的上方摆放1个边长为$2a$ cm的小正方形，在$S_1$的上方摆放3个边长为$a$ cm的小正方形；
方案二：在$S_1,S_2$的上方摆放7个边长为$a$ cm的小正方形。
【知识点】
列代数式；图形面积计算；方案设计
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的实际应用，需要通过观察图形梳理边长的数量关系，同时结合面积的和差关系验证方案的合理性，能有效锻炼图形观察能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
