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10.如图，AB为$\odot O$的直径，C为弦AD的中点，连接OC并延长交$\odot O$于点E.若$∠ BAD=20°$，则$∠ AEO$的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
（第10题）
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
（第10题）答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：C是AD中点，O是圆心，结合垂径定理的推论可得到OE与AD垂直，从而得到直角三角形OAC；再利用直角三角形两锐角互余求出圆心角∠AOE的度数；最后结合OA、OE都是半径，△AOE为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠AEO的度数。
【解析】
解：
∵C为弦AD的中点，O是⊙O的圆心，
∴根据垂径定理的推论可得：OE⊥AD，即∠ACO=90°。
在Rt△AOC中，∠OAC=∠BAD=20°，
∴∠AOC=90°-20°=70°。
∵OA、OE均为⊙O的半径，
∴OA=OE，△AOE是等腰三角形，∠AEO=∠OAE。
根据三角形内角和定理：
∠AEO=(180°-∠AOE)÷2=(180°-70°)÷2=55°。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，找到垂直关系，结合等腰三角形的性质求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：C是AD中点，O是圆心，结合垂径定理的推论可得到OE与AD垂直，从而得到直角三角形OAC；再利用直角三角形两锐角互余求出圆心角∠AOE的度数；最后结合OA、OE都是半径，△AOE为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠AEO的度数。
【解析】
解：
∵C为弦AD的中点，O是⊙O的圆心，
∴根据垂径定理的推论可得：OE⊥AD，即∠ACO=90°。
在Rt△AOC中，∠OAC=∠BAD=20°，
∴∠AOC=90°-20°=70°。
∵OA、OE均为⊙O的半径，
∴OA=OE，△AOE是等腰三角形，∠AEO=∠OAE。
根据三角形内角和定理：
∠AEO=(180°-∠AOE)÷2=(180°-70°)÷2=55°。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，找到垂直关系，结合等腰三角形的性质求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
11. 分类讨论思想 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径$OA=50\ \mathrm{cm}$，水面宽$AB=60\ \mathrm{cm}$，某天下雨后，水面宽度变为$80\ \mathrm{cm}$，则此时排水管水面上升了
10或70
$\mathrm{cm}.$答案
10或70
解析
【分析】
解题时先运用垂径定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合勾股定理分别求出原水面、雨后水面到圆心的距离；再分类讨论雨后水面和圆心的位置关系：一种是水面在圆心下方，一种是水面在圆心上方，分别计算两种情况下水面上升的高度即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，连接OC。
根据垂径定理，得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$OA=50\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\ \mathrm{cm}$。
降雨后水面宽$CD=80\ \mathrm{cm}$，同理可得$CF=\frac{1}{2}CD=40\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，$OC=50\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{50^2-40^2}=30\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当雨后水面CD在圆心O的下方时，水面上升高度为 $OE-OF=40-30=10\ \mathrm{cm}$；
② 当雨后水面CD在圆心O的上方时，水面上升高度为 $OE+OF=40+30=70\ \mathrm{cm}$。
综上，水面上升了10 cm或70 cm。
【答案】
10或70
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于圆的实际应用类问题，解题的核心是利用垂径定理将求弦的问题转化为直角三角形边长计算，需要注意水面位置的两种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先运用垂径定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合勾股定理分别求出原水面、雨后水面到圆心的距离；再分类讨论雨后水面和圆心的位置关系：一种是水面在圆心下方，一种是水面在圆心上方，分别计算两种情况下水面上升的高度即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，连接OC。
根据垂径定理，得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$OA=50\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\ \mathrm{cm}$。
降雨后水面宽$CD=80\ \mathrm{cm}$，同理可得$CF=\frac{1}{2}CD=40\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，$OC=50\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{50^2-40^2}=30\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当雨后水面CD在圆心O的下方时，水面上升高度为 $OE-OF=40-30=10\ \mathrm{cm}$；
② 当雨后水面CD在圆心O的上方时，水面上升高度为 $OE+OF=40+30=70\ \mathrm{cm}$。
综上，水面上升了10 cm或70 cm。
【答案】
10或70
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于圆的实际应用类问题，解题的核心是利用垂径定理将求弦的问题转化为直角三角形边长计算，需要注意水面位置的两种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12. 新情境 一个圆形木制艺术品如图所示，记圆心为$O$. 已知$\odot O$的半径为$12\ \mathrm{cm}$，在距离点$O\ 8\ \mathrm{cm}$的点$A$处发生虫蛀，现需沿过点$A$的弦$PQ$将艺术品裁开，然后用美化材料沿$PQ$进行粘贴，则美化材料（即弦$PQ$的长）最少需要
$8\sqrt{5}$
$\mathrm{cm}$.答案
$8\sqrt{5}$
解析
【分析】
要计算过圆内点A的最短弦PQ的长度，首先回忆圆的弦长相关性质：过圆内任意一点的所有弦中，与该点和圆心的连线垂直的弦最短，弦长随弦心距的增大而减小。因此先确定最短弦PQ的位置为垂直于OA的弦，再通过垂径定理将弦长转化为直角三角形的边长问题，最后用勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OA、OQ，过点A作$PQ⊥ OA$，交$\odot O$于P、Q两点，此时PQ为过点A的最短弦。
根据垂径定理可得：$PQ=2AQ$。
在$\mathrm{Rt}△ OAQ$中，$OQ$是$\odot O$的半径，长度为$12\ \mathrm{cm}$，$OA=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AQ=\sqrt{OQ^2-OA^2}=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
因此$PQ=2AQ=2×4\sqrt{5}=8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$8\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆内最短弦性质
【点评】
本题考查圆的基础性质的应用，解题关键是明确过圆内定点的最短弦的位置特征，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.6
要计算过圆内点A的最短弦PQ的长度，首先回忆圆的弦长相关性质：过圆内任意一点的所有弦中，与该点和圆心的连线垂直的弦最短，弦长随弦心距的增大而减小。因此先确定最短弦PQ的位置为垂直于OA的弦，再通过垂径定理将弦长转化为直角三角形的边长问题，最后用勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OA、OQ，过点A作$PQ⊥ OA$，交$\odot O$于P、Q两点，此时PQ为过点A的最短弦。
根据垂径定理可得：$PQ=2AQ$。
在$\mathrm{Rt}△ OAQ$中，$OQ$是$\odot O$的半径，长度为$12\ \mathrm{cm}$，$OA=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AQ=\sqrt{OQ^2-OA^2}=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
因此$PQ=2AQ=2×4\sqrt{5}=8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$8\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆内最短弦性质
【点评】
本题考查圆的基础性质的应用，解题关键是明确过圆内定点的最短弦的位置特征，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.6
13. [2026马鞍山模拟]如图,在$\odot O$中,AB,AC为弦,CD为直径,$AB ⊥ CD$于点E,BF⊥AC于点F,BF与CD相交于点G,ED=EG.若$AB=2\sqrt{7},OG=2$,求$\odot O$的半径.
答案
$\dfrac{8}{3}$
解析
【分析】
要求圆的半径，我们可以用方程思想求解：首先设半径为$r$，先利用垂径定理得到$AE$的长度；再结合$ED=EG$的条件，推导$OE$和$r$的数量关系；最后在垂径定理构造的直角三角形$OAE$中，用勾股定理列方程，解出正根即为半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$。
1. 由垂径定理：$CD$是直径，$AB ⊥ CD$于$E$，因此$AE=EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{7}=\sqrt{7}$。
2. 线段$CD$上点的顺序为$C、G、O、E、D$，因此$EG=OG+OE=2+OE$，$ED=OD-OE=r-OE$。已知$ED=EG$，则：
$r-OE=2+OE$
整理得$OE=\frac{r-2}{2}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理$OA^2=AE^2+OE^2$，代入对应长度：
$r^2=(\sqrt{7})^2+( \frac{r-2}{2} )^2$
展开计算：
$r^2=7+\frac{r^2-4r+4}{4}$
两边同乘4消分母：
$4r^2=28+r^2-4r+4$
移项合并同类项：
$3r^2+4r-32=0$
解一元二次方程，判别式$\Delta=4^2+4×3×32=400=20^2$，因此$r=\frac{-4\pm20}{6}$。
因为半径为正数，故取正根$r=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于圆的中等难度计算题，核心是通过线段相等关系得到$OE$和半径的表达式，再结合垂径定理构造直角三角形列方程求解，考察了方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.65
要求圆的半径，我们可以用方程思想求解：首先设半径为$r$，先利用垂径定理得到$AE$的长度；再结合$ED=EG$的条件，推导$OE$和$r$的数量关系；最后在垂径定理构造的直角三角形$OAE$中，用勾股定理列方程，解出正根即为半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$。
1. 由垂径定理：$CD$是直径，$AB ⊥ CD$于$E$，因此$AE=EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{7}=\sqrt{7}$。
2. 线段$CD$上点的顺序为$C、G、O、E、D$，因此$EG=OG+OE=2+OE$，$ED=OD-OE=r-OE$。已知$ED=EG$，则：
$r-OE=2+OE$
整理得$OE=\frac{r-2}{2}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理$OA^2=AE^2+OE^2$，代入对应长度：
$r^2=(\sqrt{7})^2+( \frac{r-2}{2} )^2$
展开计算：
$r^2=7+\frac{r^2-4r+4}{4}$
两边同乘4消分母：
$4r^2=28+r^2-4r+4$
移项合并同类项：
$3r^2+4r-32=0$
解一元二次方程，判别式$\Delta=4^2+4×3×32=400=20^2$，因此$r=\frac{-4\pm20}{6}$。
因为半径为正数，故取正根$r=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于圆的中等难度计算题，核心是通过线段相等关系得到$OE$和半径的表达式，再结合垂径定理构造直角三角形列方程求解，考察了方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.65
14. 能力训练点·探究建模 小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，直径AB被四等分，其四等分点分别记为$M_1,M_2,M_3$，如图①所示.（虚线为折痕）
(1)如图②，若$\overset{\frown}{CAD}$折叠后点A恰与点$M_1$重合，折痕为CD，顺次连接点$M_1,C,A,D$，得到四边形$M_1CAD$.请判断四边形$M_1CAD$的形状并证明.
(2)如图③，若$\overset{\frown}{CAD}$折叠后点A恰与点$M_2$重合，折痕仍记为CD，连接$M_2C,M_3C,BC$.
①求$∠ CM_2A$的度数；
②若直径$AB=16$，则$M_3C=$
(1)如图②，若$\overset{\frown}{CAD}$折叠后点A恰与点$M_1$重合，折痕为CD，顺次连接点$M_1,C,A,D$，得到四边形$M_1CAD$.请判断四边形$M_1CAD$的形状并证明.
(2)如图③，若$\overset{\frown}{CAD}$折叠后点A恰与点$M_2$重合，折痕仍记为CD，连接$M_2C,M_3C,BC$.
①求$∠ CM_2A$的度数；
②若直径$AB=16$，则$M_3C=$
$4\sqrt{7}$
，$BC=$$8\sqrt{3}$
.答案
(1)四边形$M_1CAD$为菱形.证明略.
(2)①$60°$. ②$4\sqrt{7}$；$8\sqrt{3}$
(2)①$60°$. ②$4\sqrt{7}$；$8\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先结合折叠的性质，可得折痕CD垂直平分对应点的连线AM₁；再根据圆的垂径定理，垂直于弦CD的直径AB平分CD，可推出四边形M₁CAD的两条对角线互相垂直平分，结合菱形的判定定理即可得出结论。
(2) 解决第二问首先明确AB的四等分点中M₂是圆的圆心：①结合折叠性质得CD垂直平分AM₂，连接OC构造直角三角形，利用三角函数即可求出∠CM₂A的度数；②已知AB的长度可确定圆的半径和各等分点的间距，结合勾股定理即可计算出M₃C和BC的长度。
【解析】
(1) 四边形$M_1CAD$是菱形，证明如下：
由折叠的性质可知，折痕$CD$垂直平分$AM_1$，即$CD ⊥ AB$，且$AM_1$与$CD$的交点为$AM_1$的中点。
$\because AB$是圆的直径，$CD ⊥ AB$，根据垂径定理可得$AB$平分$CD$，即$AM_1$与$CD$的交点也是$CD$的中点。
$\therefore$ 四边形$M_1CAD$的对角线$AM_1$和$CD$互相垂直平分，因此四边形$M_1CAD$是菱形。
(2) ①设圆的半径为$r$，由AB被四等分可知$M_2$为圆心，即$OA = OC = r$。
$\because$ 折叠后点$A$与$M_2$重合，$\therefore$ 折痕$CD$垂直平分$AM_2$，则圆心$M_2$到$CD$的距离为$\frac{1}{2}AM_2 = \frac{1}{2}r$。
连接$OC$，在$Rt△ COM_2$中，$\cos∠ CM_2A = \frac{OM_2}{OC} = \frac{\frac{1}{2}r}{r} = \frac{1}{2}$，$\therefore ∠ CM_2A = 60°$。
②已知$AB=16$，则圆的半径$r=8$，AB四等分后每段长度为$4$，即$M_1M_2=M_2M_3=4$。
在$Rt△ COM_2$中，由勾股定理可得$C$到$AB$的水平距离为$\sqrt{OC^2 - OM_2^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$，$C$在$M_2$下方，竖直距离为$4$。
计算$M_3C$：$M_3$在$M_2$上方$4$处，$M_3$与$C$的竖直距离为$4+4=8$，由勾股定理得$M_3C = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 8^2} = 4\sqrt{7}$。
计算$BC$：$B$在$M_2$上方$8$处，$B$与$C$的竖直距离为$8+4=12$，由勾股定理得$BC = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 12^2} = 8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形$M_1CAD$为菱形；
(2) ①$60°$；②$4\sqrt{7}$；$8\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；菱形的判定；折叠的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查圆的性质与几何图形的计算，核心是抓住折叠的对称性，结合垂径定理、勾股定理逐步推导，注重数形结合思想的应用，能有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问首先结合折叠的性质，可得折痕CD垂直平分对应点的连线AM₁；再根据圆的垂径定理，垂直于弦CD的直径AB平分CD，可推出四边形M₁CAD的两条对角线互相垂直平分，结合菱形的判定定理即可得出结论。
(2) 解决第二问首先明确AB的四等分点中M₂是圆的圆心：①结合折叠性质得CD垂直平分AM₂，连接OC构造直角三角形，利用三角函数即可求出∠CM₂A的度数；②已知AB的长度可确定圆的半径和各等分点的间距，结合勾股定理即可计算出M₃C和BC的长度。
【解析】
(1) 四边形$M_1CAD$是菱形，证明如下：
由折叠的性质可知，折痕$CD$垂直平分$AM_1$，即$CD ⊥ AB$，且$AM_1$与$CD$的交点为$AM_1$的中点。
$\because AB$是圆的直径，$CD ⊥ AB$，根据垂径定理可得$AB$平分$CD$，即$AM_1$与$CD$的交点也是$CD$的中点。
$\therefore$ 四边形$M_1CAD$的对角线$AM_1$和$CD$互相垂直平分，因此四边形$M_1CAD$是菱形。
(2) ①设圆的半径为$r$，由AB被四等分可知$M_2$为圆心，即$OA = OC = r$。
$\because$ 折叠后点$A$与$M_2$重合，$\therefore$ 折痕$CD$垂直平分$AM_2$，则圆心$M_2$到$CD$的距离为$\frac{1}{2}AM_2 = \frac{1}{2}r$。
连接$OC$，在$Rt△ COM_2$中，$\cos∠ CM_2A = \frac{OM_2}{OC} = \frac{\frac{1}{2}r}{r} = \frac{1}{2}$，$\therefore ∠ CM_2A = 60°$。
②已知$AB=16$，则圆的半径$r=8$，AB四等分后每段长度为$4$，即$M_1M_2=M_2M_3=4$。
在$Rt△ COM_2$中，由勾股定理可得$C$到$AB$的水平距离为$\sqrt{OC^2 - OM_2^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$，$C$在$M_2$下方，竖直距离为$4$。
计算$M_3C$：$M_3$在$M_2$上方$4$处，$M_3$与$C$的竖直距离为$4+4=8$，由勾股定理得$M_3C = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 8^2} = 4\sqrt{7}$。
计算$BC$：$B$在$M_2$上方$8$处，$B$与$C$的竖直距离为$8+4=12$，由勾股定理得$BC = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 12^2} = 8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形$M_1CAD$为菱形；
(2) ①$60°$；②$4\sqrt{7}$；$8\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；菱形的判定；折叠的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查圆的性质与几何图形的计算，核心是抓住折叠的对称性，结合垂径定理、勾股定理逐步推导，注重数形结合思想的应用，能有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
