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15. (★★★)某兴趣小组成员选取了两个完全相同的含$30°$角的三角尺如图①摆放,其中$∠ ACB = ∠ A'CB' = 90°$, $∠ B = ∠ B' = 30°$, $AC=A'C=2$.保持$△ ABC$不动,将$△ A'B'C$绕着直角顶点$C$顺时针旋转一个角度$α(0°＜α≤120°)$.
(1)如图②,边$A'B'$与边$BC$交于点$D$.
①当$α=30°$时,判断此时$△ A'CD$的形状并证明;
②当$0°＜α＜90°$时,若$△ B'CD$是等腰三角形,则$α=$.
(2)如图③,当$△ A'B'C$继续旋转至点$B'$, $A'$, $B$在同一条直线上时,连接$AB'$,直接写出$AB'$的长.
(1)如图②,边$A'B'$与边$BC$交于点$D$.
①当$α=30°$时,判断此时$△ A'CD$的形状并证明;
②当$0°＜α＜90°$时,若$△ B'CD$是等腰三角形,则$α=$.
(2)如图③,当$△ A'B'C$继续旋转至点$B'$, $A'$, $B$在同一条直线上时,连接$AB'$,直接写出$AB'$的长.
答案
解：
(1)① $△ A'CD$是等边三角形，证明如下：
由旋转性质得$∠ ACA'=α=30°$，
$\because ∠ A'CB'=90°$，
$\therefore ∠ A'CD = ∠ A'CB' - ∠ ACA' = 90° - 30° = 60°$，
又$\because ∠ CA'D = ∠ A = 90° - ∠ B = 60°$，
$\therefore ∠ CA'D = ∠ A'CD = 60°$，
$\therefore ∠ A'DC = 180° - 60° - 60° = 60°$，
即$∠ CA'D = ∠ A'CD = ∠ A'DC$，
$\therefore △ A'CD$是等边三角形。
② 设旋转角为$α$，则$∠ ACA'=α$，$∠ B'CD=90°-α$，$∠ B'=30°$，
$\therefore ∠ B'DC = 180° - 30° -(90°-α) = 60°+α$。
分三种等腰情况讨论：
1. 若$B'C=CD$，则$∠ B'=∠ B'DC$，即$30°=60°+α$，无解；
2. 若$B'C=B'D$，则$∠ B'DC=∠ B'CD$，即$60°+α=90°-α$，解得$α=15°$；
3. 若$CD=B'D$，则$∠ B'=∠ B'CD$，即$30°=90°-α$，解得$α=60°$。
综上，$α=15°$或$60°$。
(2) $AB'=2\sqrt{7}$。
(1)① $△ A'CD$是等边三角形，证明如下：
由旋转性质得$∠ ACA'=α=30°$，
$\because ∠ A'CB'=90°$，
$\therefore ∠ A'CD = ∠ A'CB' - ∠ ACA' = 90° - 30° = 60°$，
又$\because ∠ CA'D = ∠ A = 90° - ∠ B = 60°$，
$\therefore ∠ CA'D = ∠ A'CD = 60°$，
$\therefore ∠ A'DC = 180° - 60° - 60° = 60°$，
即$∠ CA'D = ∠ A'CD = ∠ A'DC$，
$\therefore △ A'CD$是等边三角形。
② 设旋转角为$α$，则$∠ ACA'=α$，$∠ B'CD=90°-α$，$∠ B'=30°$，
$\therefore ∠ B'DC = 180° - 30° -(90°-α) = 60°+α$。
分三种等腰情况讨论：
1. 若$B'C=CD$，则$∠ B'=∠ B'DC$，即$30°=60°+α$，无解；
2. 若$B'C=B'D$，则$∠ B'DC=∠ B'CD$，即$60°+α=90°-α$，解得$α=15°$；
3. 若$CD=B'D$，则$∠ B'=∠ B'CD$，即$30°=90°-α$，解得$α=60°$。
综上，$α=15°$或$60°$。
(2) $AB'=2\sqrt{7}$。
解析
【分析】
本题围绕三角尺的旋转场景，考查几何变换中特殊三角形的判定与线段长度计算，解题思路如下：
(1)①判断△A'CD的形状时，先利用旋转的性质得到旋转角的度数，再计算△A'CD的各个内角，结合等边三角形的判定条件推导即可；
(1)②△B'CD为等腰三角形时需分三类讨论：分别以B'C=CD、B'C=B'D、CD=B'D为等量关系，结合三角形内角和列方程求解，注意结合0°＜α＜90°的范围舍去不符合条件的解；
(2)先根据旋转性质得到对应边相等，结合B'、A'、B三点共线的条件求出相关角度，通过构造直角三角形，利用勾股定理计算AB'的长度即可。
【解析】
(1)① $△ A'CD$是等边三角形，证明如下：
由旋转性质得$∠ ACA'=α=30°$，
$\because ∠ A'CB'=90°$，
$\therefore ∠ A'CD = ∠ A'CB' - ∠ ACA' = 90° - 30° = 60°$，
又$\because ∠ CA'D = ∠ A = 90° - ∠ B = 60°$，
$\therefore ∠ CA'D = ∠ A'CD = 60°$，
$\therefore ∠ A'DC = 180° - 60° - 60° = 60°$，
即$∠ CA'D = ∠ A'CD = ∠ A'DC$，
$\therefore △ A'CD$是等边三角形。
② 设旋转角为$α$，则$∠ ACA'=α$，$∠ B'CD=90°-α$，已知$∠ B'=30°$，
$\therefore ∠ B'DC = 180° - 30° -(90°-α) = 60°+α$。
分三种等腰情况讨论：
1. 若$B'C=CD$，则$∠ B'=∠ B'DC$，即$30°=60°+α$，解得$α$为负，不符合题意，舍去；
2. 若$B'C=B'D$，则$∠ B'DC=∠ B'CD$，即$60°+α=90°-α$，解得$α=15°$，符合$0°＜α＜90°$；
3. 若$CD=B'D$，则$∠ B'=∠ B'CD$，即$30°=90°-α$，解得$α=60°$，符合$0°＜α＜90°$。
综上，$α=15°$或$60°$。
(2) 过点A作$AE⊥ B'C$，交$B'C$的延长线于点E，
由旋转性质可得：$BC=B'C$，$∠ BCB'$为旋转角，
$\because$ 点B、$A'$、$B'$在同一直线上，$CB=CB'$，$∠ A'B'C=∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ CBB'=∠ CB'B=30°$，$\therefore ∠ BCB'=180°-30°-30°=120°$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACB'=360°-90°-120°=150°$，$\therefore ∠ ACE=180°-150°=30°$，
在$Rt△ ACE$中，$AC=2$，$∠ ACE=30°$，$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=1$，$CE=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{3}$，
由题意得$BC=B'C=\frac{AC}{tan30°}=2\sqrt{3}$，$\therefore B'E=CE + B'C=\sqrt{3} + 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
在$Rt△ AEB'$中，$AB'=\sqrt{AE^2 + B'E^2}=\sqrt{1^2 + (3\sqrt{3})^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
(1)①$△ A'CD$是等边三角形，证明见解析；②$\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{60°}$；(2)$\boldsymbol{2\sqrt{7}}$
【知识点】
1. 旋转的性质 2. 等腰三角形的性质 3. 勾股定理
【点评】
本题属于旋转综合题，将三角尺旋转与特殊三角形的判定、等腰三角形分类讨论相结合，既考查了几何变换中边角不变的性质，也要求学生熟练掌握分类讨论思想，解题时需注意角度范围对解的限制，最后一问对综合分析边角关系、构造辅助线的能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题围绕三角尺的旋转场景，考查几何变换中特殊三角形的判定与线段长度计算，解题思路如下：
(1)①判断△A'CD的形状时，先利用旋转的性质得到旋转角的度数，再计算△A'CD的各个内角，结合等边三角形的判定条件推导即可；
(1)②△B'CD为等腰三角形时需分三类讨论：分别以B'C=CD、B'C=B'D、CD=B'D为等量关系，结合三角形内角和列方程求解，注意结合0°＜α＜90°的范围舍去不符合条件的解；
(2)先根据旋转性质得到对应边相等，结合B'、A'、B三点共线的条件求出相关角度，通过构造直角三角形，利用勾股定理计算AB'的长度即可。
【解析】
(1)① $△ A'CD$是等边三角形，证明如下：
由旋转性质得$∠ ACA'=α=30°$，
$\because ∠ A'CB'=90°$，
$\therefore ∠ A'CD = ∠ A'CB' - ∠ ACA' = 90° - 30° = 60°$，
又$\because ∠ CA'D = ∠ A = 90° - ∠ B = 60°$，
$\therefore ∠ CA'D = ∠ A'CD = 60°$，
$\therefore ∠ A'DC = 180° - 60° - 60° = 60°$，
即$∠ CA'D = ∠ A'CD = ∠ A'DC$，
$\therefore △ A'CD$是等边三角形。
② 设旋转角为$α$，则$∠ ACA'=α$，$∠ B'CD=90°-α$，已知$∠ B'=30°$，
$\therefore ∠ B'DC = 180° - 30° -(90°-α) = 60°+α$。
分三种等腰情况讨论：
1. 若$B'C=CD$，则$∠ B'=∠ B'DC$，即$30°=60°+α$，解得$α$为负，不符合题意，舍去；
2. 若$B'C=B'D$，则$∠ B'DC=∠ B'CD$，即$60°+α=90°-α$，解得$α=15°$，符合$0°＜α＜90°$；
3. 若$CD=B'D$，则$∠ B'=∠ B'CD$，即$30°=90°-α$，解得$α=60°$，符合$0°＜α＜90°$。
综上，$α=15°$或$60°$。
(2) 过点A作$AE⊥ B'C$，交$B'C$的延长线于点E，
由旋转性质可得：$BC=B'C$，$∠ BCB'$为旋转角，
$\because$ 点B、$A'$、$B'$在同一直线上，$CB=CB'$，$∠ A'B'C=∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ CBB'=∠ CB'B=30°$，$\therefore ∠ BCB'=180°-30°-30°=120°$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACB'=360°-90°-120°=150°$，$\therefore ∠ ACE=180°-150°=30°$，
在$Rt△ ACE$中，$AC=2$，$∠ ACE=30°$，$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=1$，$CE=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{3}$，
由题意得$BC=B'C=\frac{AC}{tan30°}=2\sqrt{3}$，$\therefore B'E=CE + B'C=\sqrt{3} + 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
在$Rt△ AEB'$中，$AB'=\sqrt{AE^2 + B'E^2}=\sqrt{1^2 + (3\sqrt{3})^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
(1)①$△ A'CD$是等边三角形，证明见解析；②$\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{60°}$；(2)$\boldsymbol{2\sqrt{7}}$
【知识点】
1. 旋转的性质 2. 等腰三角形的性质 3. 勾股定理
【点评】
本题属于旋转综合题，将三角尺旋转与特殊三角形的判定、等腰三角形分类讨论相结合，既考查了几何变换中边角不变的性质，也要求学生熟练掌握分类讨论思想，解题时需注意角度范围对解的限制，最后一问对综合分析边角关系、构造辅助线的能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
16. (★★★)如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形$OA_1B_1C_1$,依此方式,绕点O连续旋转2026次得到正方形$OA_{2026}B_{2026}C_{2026}$,如果点A的坐标为$A(1,0)$,那么点$B_{2026}$的坐标为
【 】
A.$(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$
B.$(0,\sqrt{2})$
C.$(-1,-1)$
D.$(-1,1)$
【 】
A.$(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$
B.$(0,\sqrt{2})$
C.$(-1,-1)$
D.$(-1,1)$
答案
D
解析
【分析】
要解决旋转多次后点的坐标问题，可按以下思路思考：首先先确定初始点B的坐标，再结合旋转角度找循环周期，因为每次旋转角度固定，旋转一周后会回到原位置，所以存在周期规律；最后用总次数除以周期得到余数，将旋转2026次转化为旋转余数对应的次数，即可快速求出对应点坐标。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知点A坐标为$(1,0)$，四边形OABC是正方形，因此$OA=AB=1$，$∠ OAB=90°$，可得点B的坐标为$(1,1)$，$OB$的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 确定旋转周期：
每次绕点O逆时针旋转$45°$，旋转一周为$360°$，因此旋转周期为$360°÷45°=8$，即每旋转8次，点B会回到初始位置。
3. 计算余数：
$2026÷8=253······2$，余数为2，说明旋转2026次后点B的位置和旋转2次后的位置完全相同。
4. 求旋转2次后的坐标：
旋转2次共旋转了$2×45°=90°$，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90°$后的坐标为$(-y,x)$，将初始B点$(1,1)$代入，可得旋转后坐标为$(-1,1)$，即$B_{2026}$的坐标为$(-1,1)$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，周期规律探究
【点评】
本题属于图形旋转结合规律探究的典型题型，解题核心是找到旋转的循环周期，将多次旋转转化为少量次数的旋转求解，能有效考查学生的逻辑推理和图形变换应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决旋转多次后点的坐标问题，可按以下思路思考：首先先确定初始点B的坐标，再结合旋转角度找循环周期，因为每次旋转角度固定，旋转一周后会回到原位置，所以存在周期规律；最后用总次数除以周期得到余数，将旋转2026次转化为旋转余数对应的次数，即可快速求出对应点坐标。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知点A坐标为$(1,0)$，四边形OABC是正方形，因此$OA=AB=1$，$∠ OAB=90°$，可得点B的坐标为$(1,1)$，$OB$的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 确定旋转周期：
每次绕点O逆时针旋转$45°$，旋转一周为$360°$，因此旋转周期为$360°÷45°=8$，即每旋转8次，点B会回到初始位置。
3. 计算余数：
$2026÷8=253······2$，余数为2，说明旋转2026次后点B的位置和旋转2次后的位置完全相同。
4. 求旋转2次后的坐标：
旋转2次共旋转了$2×45°=90°$，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90°$后的坐标为$(-y,x)$，将初始B点$(1,1)$代入，可得旋转后坐标为$(-1,1)$，即$B_{2026}$的坐标为$(-1,1)$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，周期规律探究
【点评】
本题属于图形旋转结合规律探究的典型题型，解题核心是找到旋转的循环周期，将多次旋转转化为少量次数的旋转求解，能有效考查学生的逻辑推理和图形变换应用能力。
【难度系数】
0.6
