登录
例 如图，某沿海城市 A 接到台风预警，在该市正南方向 340 km 的 B 处有一台风中心，沿 BD 方向以 15 km/h 的速度移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD 为 160 km。
(1)台风中心经过多长时间从 B 处移到 D 处？
(2)如果在距台风中心 200 km 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么 A 市受到台风影响的时间将持续多少小时？
(1)台风中心经过多长时间从 B 处移到 D 处？
(2)如果在距台风中心 200 km 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么 A 市受到台风影响的时间将持续多少小时？
答案
解：(1)因为 $AD ⊥ BC$，$AB=340\ \mathrm{km}$，$AD=160\ \mathrm{km}$，
所以 $BD^2=AB^2-AD^2=340^2-160^2=90\ 000$。
所以 $BD=300\ \mathrm{km}$。
因为 $300÷ 15=20(\mathrm{h})$，
所以台风中心经过 20 h 从 B 处移到 D 处。
(2)如图，在射线 BC 上取点 E，F，使得 $AE=AF=200\ \mathrm{km}$。
由 $AD ⊥ BC$，得 $DE=DF$。
在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中，
$ED^2=AE^2-AD^2=200^2-160^2=14\ 400$，
所以 $ED=120\ \mathrm{km}$。
所以 $EF=2ED=240\ \mathrm{km}$。
$240÷ 15=16(\mathrm{h})$，
所以 A 市受到台风影响的时间将持续 16 h。
解析
【分析】
(1) 要求台风从B移动到D的时间，已知移动速度，需先求出路程BD的长度。由图可知AD垂直BC，△ABD是直角三角形，已知AB和AD的长度，可利用勾股定理算出BD，再根据“时间=路程÷速度”计算时间即可。
(2) 求A市受台风影响的时长，首先要确定影响的起止位置：在BC上找距离A点200km的两个点E、F，即AE=AF=200km，台风从E移动到F的时间段就是A市的受影响时间。因为AD垂直BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得DE=DF，先在Rt△AED中用勾股定理求出DE的长度，进而得到EF的总长度，除以台风移动速度就能得到受影响的持续时间。
【解析】
(1) 由题意得$AD ⊥ BC$，$△ ABD$为直角三角形。
已知$AB=340\ \mathrm{km}$，$AD=160\ \mathrm{km}$，根据勾股定理：
$BD^2=AB^2-AD^2=340^2-160^2=90000$
解得$BD=300\ \mathrm{km}$
台风移动速度为$15\ \mathrm{km/h}$，所需时间为$300÷15=20(\mathrm{h})$。
(2) 如图，在射线BC上取点E、F，使得$AE=AF=200\ \mathrm{km}$，即台风中心到达E时A市开始受影响，离开F时结束影响。
因为$AD ⊥ BC$，AD是等腰$△ AEF$底边EF上的高，因此$DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，根据勾股定理：
$ED^2=AE^2-AD^2=200^2-160^2=14400$
解得$ED=120\ \mathrm{km}$
因此受影响的路程长度$EF=2ED=240\ \mathrm{km}$
受影响持续时间为$240÷15=16(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 台风中心经过20 h从B处移到D处；
(2) A市受到台风影响的时间将持续16 h。
【知识点】
勾股定理；行程公式；等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际问题的典型应用，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是明确台风影响A市的路程区间，结合勾股定理求出对应线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要求台风从B移动到D的时间，已知移动速度，需先求出路程BD的长度。由图可知AD垂直BC，△ABD是直角三角形，已知AB和AD的长度，可利用勾股定理算出BD，再根据“时间=路程÷速度”计算时间即可。
(2) 求A市受台风影响的时长，首先要确定影响的起止位置：在BC上找距离A点200km的两个点E、F，即AE=AF=200km，台风从E移动到F的时间段就是A市的受影响时间。因为AD垂直BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得DE=DF，先在Rt△AED中用勾股定理求出DE的长度，进而得到EF的总长度，除以台风移动速度就能得到受影响的持续时间。
【解析】
(1) 由题意得$AD ⊥ BC$，$△ ABD$为直角三角形。
已知$AB=340\ \mathrm{km}$，$AD=160\ \mathrm{km}$，根据勾股定理：
$BD^2=AB^2-AD^2=340^2-160^2=90000$
解得$BD=300\ \mathrm{km}$
台风移动速度为$15\ \mathrm{km/h}$，所需时间为$300÷15=20(\mathrm{h})$。
(2) 如图，在射线BC上取点E、F，使得$AE=AF=200\ \mathrm{km}$，即台风中心到达E时A市开始受影响，离开F时结束影响。
因为$AD ⊥ BC$，AD是等腰$△ AEF$底边EF上的高，因此$DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，根据勾股定理：
$ED^2=AE^2-AD^2=200^2-160^2=14400$
解得$ED=120\ \mathrm{km}$
因此受影响的路程长度$EF=2ED=240\ \mathrm{km}$
受影响持续时间为$240÷15=16(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 台风中心经过20 h从B处移到D处；
(2) A市受到台风影响的时间将持续16 h。
【知识点】
勾股定理；行程公式；等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际问题的典型应用，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是明确台风影响A市的路程区间，结合勾股定理求出对应线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（
A.45 m
B.40 m
C.50 m
D.56 m
B
）A.45 m
B.40 m
C.50 m
D.56 m
答案
1.B
解析
【分析】
首先根据方向角的含义判断角度关系：东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，因此可得∠AOB为90°，△AOB是直角三角形，OA、OB是两条直角边，AB是待求的斜边，已知两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边长度即可得到水管的长度。
【解析】
解：
∵点A在水塔O的东北方向，点B在水塔O的东南方向
∴∠AOB=45°+45°=90°，即△AOB是直角三角形
由题意得OA=32m，OB=24m
根据勾股定理可得：
$AB^2=OA^2+OB^2$
代入数值计算：
$AB^2=32^2+24^2=1024+576=1600$
∴$AB=\sqrt{1600}=40\ \mathrm{m}$
即水管的长为40m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方向角识别；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是通过方向角判断出直角三角形，再代入勾股定理计算边长，难度较低，需要熟练掌握方向角的含义和勾股定理的计算方法。
【难度系数】
0.8
首先根据方向角的含义判断角度关系：东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，因此可得∠AOB为90°，△AOB是直角三角形，OA、OB是两条直角边，AB是待求的斜边，已知两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边长度即可得到水管的长度。
【解析】
解：
∵点A在水塔O的东北方向，点B在水塔O的东南方向
∴∠AOB=45°+45°=90°，即△AOB是直角三角形
由题意得OA=32m，OB=24m
根据勾股定理可得：
$AB^2=OA^2+OB^2$
代入数值计算：
$AB^2=32^2+24^2=1024+576=1600$
∴$AB=\sqrt{1600}=40\ \mathrm{m}$
即水管的长为40m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方向角识别；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是通过方向角判断出直角三角形，再代入勾股定理计算边长，难度较低，需要熟练掌握方向角的含义和勾股定理的计算方法。
【难度系数】
0.8
2. 小林在海滩上发现了一个三角形标记，如图，在$△ ABC$中，$AC = 4\ \mathrm{cm}$，$BC = 3\ \mathrm{cm}$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$BD = \frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$，小林想知道这个三角形标记上$AD$的长度是多少，请帮他算出来。
答案
解：因为 $CD ⊥ AB$ 于点 D，$BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，
所以 $CD^2=BC^2-BD^2=AC^2-AD^2$，
即 $9-(\frac{9}{5})^2=16-AD^2$。
所以 $AD^2=\frac{256}{25}$。
所以 $AD=\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}$。
所以 $CD^2=BC^2-BD^2=AC^2-AD^2$，
即 $9-(\frac{9}{5})^2=16-AD^2$。
所以 $AD^2=\frac{256}{25}$。
所以 $AD=\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
首先观察图形可得CD是Rt△ACD和Rt△BCD的公共直角边，我们可以先利用勾股定理分别在两个直角三角形中表示出$CD^2$，根据$CD^2$相等建立关于AD的等式，代入已知数值求解即可，注意AD是线段长度，结果取正数。
【解析】
解：
∵ $CD⊥AB$于点D，
∴ △ACD和△BCD均为直角三角形。
根据勾股定理，在Rt△BCD中：$CD^2=BC^2-BD^2$；
在Rt△ACD中：$CD^2=AC^2-AD^2$。
因此可得等量关系：$BC^2-BD^2=AC^2-AD^2$。
代入已知$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$：
$3^2 - (\frac{9}{5})^2 = 4^2 - AD^2$
计算得：$9 - \frac{81}{25} = 16 - AD^2$
移项整理：$AD^2 = 16 - 9 + \frac{81}{25} = \frac{256}{25}$
∵ AD为线段长度，是正数，
∴ $AD = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AD=\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；等量代换；方程思想
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边CD作为桥梁建立等量关系，不需要构造辅助线，只要熟练掌握勾股定理的内容即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可得CD是Rt△ACD和Rt△BCD的公共直角边，我们可以先利用勾股定理分别在两个直角三角形中表示出$CD^2$，根据$CD^2$相等建立关于AD的等式，代入已知数值求解即可，注意AD是线段长度，结果取正数。
【解析】
解：
∵ $CD⊥AB$于点D，
∴ △ACD和△BCD均为直角三角形。
根据勾股定理，在Rt△BCD中：$CD^2=BC^2-BD^2$；
在Rt△ACD中：$CD^2=AC^2-AD^2$。
因此可得等量关系：$BC^2-BD^2=AC^2-AD^2$。
代入已知$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$BD=\frac{9}{5}\ \mathrm{cm}$：
$3^2 - (\frac{9}{5})^2 = 4^2 - AD^2$
计算得：$9 - \frac{81}{25} = 16 - AD^2$
移项整理：$AD^2 = 16 - 9 + \frac{81}{25} = \frac{256}{25}$
∵ AD为线段长度，是正数，
∴ $AD = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AD=\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；等量代换；方程思想
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边CD作为桥梁建立等量关系，不需要构造辅助线，只要熟练掌握勾股定理的内容即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
