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例1 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5 cm，3.5 cm，24 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是
归纳总结
运用勾股定理求最短距离，通常是将立体图形的表面展开为平面图形，把问题转化为求平面上两点间的距离。
25
cm。归纳总结
运用勾股定理求最短距离，通常是将立体图形的表面展开为平面图形，把问题转化为求平面上两点间的距离。
答案
25
解析
【分析】
要解决蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程问题，核心思路是将立体图形的表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理，把问题转化为求平面内两点间的线段长度，再借助勾股定理计算结果即可。本题中长方体的长、宽均为3.5cm，高为24cm，将点A和点B所在的相邻两个面展开到同一平面后，会形成一个直角三角形，求出两条直角边的长度后，就能用勾股定理算出斜边，也就是蚂蚁爬行的最短路程。
【解析】
将长方体的侧面展开，使点A、B处于同一平面内，此时线段AB的长度即为爬行的最短路程。
展开后得到的直角三角形的两条直角边长度分别为：
1. 竖直边：等于长方体的高，为24 cm；
2. 水平边：等于长方体的长与宽的和，即$3.5 + 3.5 = 7$ cm。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得：
$AB=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$（cm）
【答案】
25
【知识点】
勾股定理；最短路径问题；立体图形表面展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，解题的关键是掌握将立体图形表面转化为平面图形的方法，把空间问题转化为熟悉的平面几何问题求解。若遇到底面为非正方形的长方体时，需要对比所有可能的展开方式，选择路径最短的情况计算。
【难度系数】
0.7
要解决蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程问题，核心思路是将立体图形的表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理，把问题转化为求平面内两点间的线段长度，再借助勾股定理计算结果即可。本题中长方体的长、宽均为3.5cm，高为24cm，将点A和点B所在的相邻两个面展开到同一平面后，会形成一个直角三角形，求出两条直角边的长度后，就能用勾股定理算出斜边，也就是蚂蚁爬行的最短路程。
【解析】
将长方体的侧面展开，使点A、B处于同一平面内，此时线段AB的长度即为爬行的最短路程。
展开后得到的直角三角形的两条直角边长度分别为：
1. 竖直边：等于长方体的高，为24 cm；
2. 水平边：等于长方体的长与宽的和，即$3.5 + 3.5 = 7$ cm。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得：
$AB=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$（cm）
【答案】
25
【知识点】
勾股定理；最短路径问题；立体图形表面展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，解题的关键是掌握将立体图形表面转化为平面图形的方法，把空间问题转化为熟悉的平面几何问题求解。若遇到底面为非正方形的长方体时，需要对比所有可能的展开方式，选择路径最短的情况计算。
【难度系数】
0.7
如图，有一个圆柱，底面圆周长为16 cm，高BC=12 cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬到点P的最短距离为
10 cm
。答案
10 cm
解析
【分析】
要计算圆柱表面从A到P的最短距离，首先需将立体问题转化为平面问题：把圆柱侧面展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，最短路径就是展开图中A、P两点间的线段长度。接下来先确定展开图中两条直角边的长度：一是A、B对应的水平距离，等于底面周长的一半；二是P到B的竖直距离，等于圆柱高的一半，最后用勾股定理计算线段AP的长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿BC展开，得到长方形：
1. 计算水平方向AB的长度：底面圆周长为16cm，展开后A、B两点的水平距离为底面周长的一半，即$ AB = 16÷2 = 8\ \mathrm{cm} $
2. 计算竖直方向BP的长度：已知BC=12cm，P是BC中点，因此$ BP = 12÷2 = 6\ \mathrm{cm} $
3. 展开后△ABP为直角三角形，∠ABP=90°，根据勾股定理：
$ AP^2 = AB^2 + BP^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 $
因此$ AP = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm} $（长度为正数，舍去负根）
【答案】
10 cm
【知识点】
勾股定理；圆柱侧面展开；最短路径计算
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类基础题，核心解题思路是将立体图形侧面转化为平面图形，明确最短路径对应的线段，再结合已知条件计算对应边长后代入勾股定理求解即可，解题时需注意不要误将底面周长直接作为水平直角边的长度。
【难度系数】
0.7
要计算圆柱表面从A到P的最短距离，首先需将立体问题转化为平面问题：把圆柱侧面展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，最短路径就是展开图中A、P两点间的线段长度。接下来先确定展开图中两条直角边的长度：一是A、B对应的水平距离，等于底面周长的一半；二是P到B的竖直距离，等于圆柱高的一半，最后用勾股定理计算线段AP的长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿BC展开，得到长方形：
1. 计算水平方向AB的长度：底面圆周长为16cm，展开后A、B两点的水平距离为底面周长的一半，即$ AB = 16÷2 = 8\ \mathrm{cm} $
2. 计算竖直方向BP的长度：已知BC=12cm，P是BC中点，因此$ BP = 12÷2 = 6\ \mathrm{cm} $
3. 展开后△ABP为直角三角形，∠ABP=90°，根据勾股定理：
$ AP^2 = AB^2 + BP^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 $
因此$ AP = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm} $（长度为正数，舍去负根）
【答案】
10 cm
【知识点】
勾股定理；圆柱侧面展开；最短路径计算
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类基础题，核心解题思路是将立体图形侧面转化为平面图形，明确最短路径对应的线段，再结合已知条件计算对应边长后代入勾股定理求解即可，解题时需注意不要误将底面周长直接作为水平直角边的长度。
【难度系数】
0.7
例2 如图为某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架$AC=8\ \mathrm{dm}$，$AB=6\ \mathrm{dm}$，两滚轮中心的距离$BC=10\ \mathrm{dm}$，滚轮半径$r=1\ \mathrm{dm}$。
(1)判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)若购物车上篮子的左边缘$D$与点$A$的距离$AD=13\ \mathrm{dm}$，$AE=5\ \mathrm{dm}$，且$AE ⊥ DE$，$AE$和$BC$都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘$D$到地面的距离。
(1)判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)若购物车上篮子的左边缘$D$与点$A$的距离$AD=13\ \mathrm{dm}$，$AE=5\ \mathrm{dm}$，且$AE ⊥ DE$，$AE$和$BC$都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘$D$到地面的距离。
答案
解：(1)△ABC 是直角三角形。理由如下：
由题意，得 $AC=8\ \mathrm{dm}$，$AB=6\ \mathrm{dm}$，$BC=10\ \mathrm{dm}$。
所以 $AC^2+AB^2=BC^2$。
所以△ABC 是直角三角形。
(2)因为 $AE⊥DE$，所以$∠E=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$ 中，由勾股定理，得
$DE^2=AD^2-AE^2=13^2-5^2=144$，
所以 $DE=12\ \mathrm{dm}$。
如图，过点 $A$ 作 $AG⊥BC$ 于点 $G$。
由(1)，得△ABC 是直角三角形，
所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AG$。
所以 $AG=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8(\mathrm{dm})$。
所以购物车上篮子的左边缘 $D$ 到地面的距离为
$DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(\mathrm{dm})$。
解析
【分析】
(1) 判断三角形形状的思路：已知△ABC的三边长度，可利用勾股定理的逆定理验证，只需计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则该三角形为直角三角形。
(2) 求D到地面距离的思路：首先AE、BC都与地面平行，因此垂直于这两条线段的方向为竖直方向，D到地面的竖直距离可分为三段计算：①先在Rt△ADE中用勾股定理求出DE的长度；②再利用直角三角形面积的两种计算方法（等面积法）求出点A到BC的竖直距离AG；③最后加上滚轮半径r（滚轮中心B、C到地面的距离等于半径），三段长度之和就是所求距离。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
由题意得$AC=8\ \mathrm{dm}$，$AB=6\ \mathrm{dm}$，$BC=10\ \mathrm{dm}$，
计算得$AC^2+AB^2=8^2+6^2=64+36=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$AC^2+AB^2=BC^2$，故△ABC是直角三角形。
(2) 因为$AE⊥DE$，所以$∠ E=90°$，△ADE为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$DE^2=AD^2-AE^2=13^2-5^2=144$，因此$DE=12\ \mathrm{dm}$。
如图，过点$A$作$AG⊥BC$于点$G$。
由(1)知△ABC是直角三角形，其面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AG$，
代入数值计算AG：
$AG=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8(\mathrm{dm})$。
因此D到地面的距离为$DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(\mathrm{dm})$。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形；
(2) 购物车上篮子的左边缘$D$到地面的距离为$\boxed{17.8\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，需要学生将实际问题转化为几何计算问题，理清竖直方向各段距离的关系，解题时注意不要遗漏滚轮半径的长度，能有效锻炼学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断三角形形状的思路：已知△ABC的三边长度，可利用勾股定理的逆定理验证，只需计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则该三角形为直角三角形。
(2) 求D到地面距离的思路：首先AE、BC都与地面平行，因此垂直于这两条线段的方向为竖直方向，D到地面的竖直距离可分为三段计算：①先在Rt△ADE中用勾股定理求出DE的长度；②再利用直角三角形面积的两种计算方法（等面积法）求出点A到BC的竖直距离AG；③最后加上滚轮半径r（滚轮中心B、C到地面的距离等于半径），三段长度之和就是所求距离。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
由题意得$AC=8\ \mathrm{dm}$，$AB=6\ \mathrm{dm}$，$BC=10\ \mathrm{dm}$，
计算得$AC^2+AB^2=8^2+6^2=64+36=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$AC^2+AB^2=BC^2$，故△ABC是直角三角形。
(2) 因为$AE⊥DE$，所以$∠ E=90°$，△ADE为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$DE^2=AD^2-AE^2=13^2-5^2=144$，因此$DE=12\ \mathrm{dm}$。
如图，过点$A$作$AG⊥BC$于点$G$。
由(1)知△ABC是直角三角形，其面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AG$，
代入数值计算AG：
$AG=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8(\mathrm{dm})$。
因此D到地面的距离为$DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(\mathrm{dm})$。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形；
(2) 购物车上篮子的左边缘$D$到地面的距离为$\boxed{17.8\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，需要学生将实际问题转化为几何计算问题，理清竖直方向各段距离的关系，解题时注意不要遗漏滚轮半径的长度，能有效锻炼学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
即时测评
志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD(如图)进行绿化，经测量，$∠ ABC=90°$，$AB=7\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$CD=20\ \mathrm{m}$，$AD=15\ \mathrm{m}$，求空地的面积。
志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD(如图)进行绿化，经测量，$∠ ABC=90°$，$AB=7\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$CD=20\ \mathrm{m}$，$AD=15\ \mathrm{m}$，求空地的面积。
答案
解：如图，连接 $AC$。
因为$∠ABC=90°$，$AB=7\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，
所以 $AC^2=AB^2+BC^2=7^2+24^2=625$。
又因为 $AD^2+CD^2=15^2+20^2=625$，
所以 $AD^2+CD^2=AC^2$。
所以△ACD 是直角三角形，且$∠D=90°$。
所以 $S_{四边形ABCD}=S_{△ ACD}+S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}AD· CD+\frac{1}{2}AB· BC$
$=\frac{1}{2}×15×20+\frac{1}{2}×7×24$
$=150+84$
$=234(\mathrm{m}^2)$。
所以空地的面积为 $234\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题求解不规则四边形的面积，可通过分割法转化为两个三角形的面积和计算。首先观察到$△ ABC$为直角三角形，因此连接辅助线$AC$，先利用勾股定理求出$AC$的长度；再根据$AC$、$AD$、$CD$的长度关系，用勾股定理的逆定理判断$△ ACD$是否为直角三角形；若$△ ACD$为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，相加即可得到四边形$ABCD$的总面积。
【解析】
解：如图，连接 $AC$。
因为$∠ABC=90°$，$AB=7\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，
所以 $AC^2=AB^2+BC^2=7^2+24^2=625$。
又因为 $AD^2+CD^2=15^2+20^2=625$，
所以 $AD^2+CD^2=AC^2$。
所以$△ ACD$ 是直角三角形，且$∠D=90°$。
所以 $S_{四边形ABCD}=S_{△ ACD}+S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}AD· CD+\frac{1}{2}AB· BC$
$=\frac{1}{2}×15×20+\frac{1}{2}×7×24$
$=150+84$
$=234(\mathrm{m}^2)$
【答案】
空地的面积为 $234\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题属于勾股定理应用的基础题型，解题的核心是通过添加辅助线将不规则四边形分割为两个直角三角形，分别计算面积后求和。需要注意区分勾股定理和其逆定理的使用场景：勾股定理用于直角三角形求边长，逆定理用于通过边长关系判定直角三角形。
【难度系数】
0.7
本题求解不规则四边形的面积，可通过分割法转化为两个三角形的面积和计算。首先观察到$△ ABC$为直角三角形，因此连接辅助线$AC$，先利用勾股定理求出$AC$的长度；再根据$AC$、$AD$、$CD$的长度关系，用勾股定理的逆定理判断$△ ACD$是否为直角三角形；若$△ ACD$为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，相加即可得到四边形$ABCD$的总面积。
【解析】
解：如图，连接 $AC$。
因为$∠ABC=90°$，$AB=7\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，
所以 $AC^2=AB^2+BC^2=7^2+24^2=625$。
又因为 $AD^2+CD^2=15^2+20^2=625$，
所以 $AD^2+CD^2=AC^2$。
所以$△ ACD$ 是直角三角形，且$∠D=90°$。
所以 $S_{四边形ABCD}=S_{△ ACD}+S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}AD· CD+\frac{1}{2}AB· BC$
$=\frac{1}{2}×15×20+\frac{1}{2}×7×24$
$=150+84$
$=234(\mathrm{m}^2)$
【答案】
空地的面积为 $234\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题属于勾股定理应用的基础题型，解题的核心是通过添加辅助线将不规则四边形分割为两个直角三角形，分别计算面积后求和。需要注意区分勾股定理和其逆定理的使用场景：勾股定理用于直角三角形求边长，逆定理用于通过边长关系判定直角三角形。
【难度系数】
0.7
