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下面每组数为一个三角形的三边长，据此完成后面的探究。
①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17。
探究1：这三组数都满足$a^2 + b^2 = c^2$吗？
探究2：分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？你能得出什么结论？
①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17。
探究1：这三组数都满足$a^2 + b^2 = c^2$吗？
探究2：分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？你能得出什么结论？
答案
探究1 满足。
探究2 解：作图略。它们都是直角三角形。结论：如果三角形的三边长a，b，c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
探究2 解：作图略。它们都是直角三角形。结论：如果三角形的三边长a，b，c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
解析
【分析】
解答本题可分两步思考：
1. 针对探究1：先找出每组三个数中的最大数作为c，剩余两个数作为a、b，分别计算a²+b²的和与c²的值，比较二者是否相等即可判断是否满足$a^2+b^2=c^2$。
2. 针对探究2：先按照尺规作图的方法，用刻度尺截取对应长度的线段首尾相接作出三个三角形，再用量角器测量每个三角形中最大角的度数，观察是否为90°，最后归纳三组数的共同特征总结出结论。
【解析】
探究1：分别计算每组数的平方和关系：
①组：三边长为3，4，5，最大边为5，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，因此$3^2+4^2=5^2$，满足条件；
②组：三边长为5，12，13，最大边为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，因此$5^2+12^2=13^2$，满足条件；
③组：三边长为8，15，17，最大边为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，因此$8^2+15^2=17^2$，满足条件；
综上，三组数都满足$a^2+b^2=c^2$。
探究2：按照尺规作图要求分别画出三个三角形（作图略），用量角器测量每个三角形的最大内角，可得三个角均为90°，因此它们都是直角三角形，由此归纳出对应结论。
【答案】
探究1 满足。
探究2 解：作图略。它们都是直角三角形。结论：如果三角形的三边长a，b，c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
【知识点】
1. 平方运算
2. 勾股定理逆定理
3. 直角三角形判定
【点评】
本题结合计算验证与动手操作两个环节，帮助学生直观理解直角三角形的判定定理，引导学生学会从特殊例子归纳通用结论的学习方法，解题时注意要先确定最长边再验证平方和关系，避免判断错误。
【难度系数】
0.9
解答本题可分两步思考：
1. 针对探究1：先找出每组三个数中的最大数作为c，剩余两个数作为a、b，分别计算a²+b²的和与c²的值，比较二者是否相等即可判断是否满足$a^2+b^2=c^2$。
2. 针对探究2：先按照尺规作图的方法，用刻度尺截取对应长度的线段首尾相接作出三个三角形，再用量角器测量每个三角形中最大角的度数，观察是否为90°，最后归纳三组数的共同特征总结出结论。
【解析】
探究1：分别计算每组数的平方和关系：
①组：三边长为3，4，5，最大边为5，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，因此$3^2+4^2=5^2$，满足条件；
②组：三边长为5，12，13，最大边为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，因此$5^2+12^2=13^2$，满足条件；
③组：三边长为8，15，17，最大边为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，因此$8^2+15^2=17^2$，满足条件；
综上，三组数都满足$a^2+b^2=c^2$。
探究2：按照尺规作图要求分别画出三个三角形（作图略），用量角器测量每个三角形的最大内角，可得三个角均为90°，因此它们都是直角三角形，由此归纳出对应结论。
【答案】
探究1 满足。
探究2 解：作图略。它们都是直角三角形。结论：如果三角形的三边长a，b，c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
【知识点】
1. 平方运算
2. 勾股定理逆定理
3. 直角三角形判定
【点评】
本题结合计算验证与动手操作两个环节，帮助学生直观理解直角三角形的判定定理，引导学生学会从特殊例子归纳通用结论的学习方法，解题时注意要先确定最长边再验证平方和关系，避免判断错误。
【难度系数】
0.9
探究3：你能尝试说明这个结论吗？补全下列推理过程。
如图，在$△ ABC$中，三边$CB$，$CA$，$AB$的长分别为$a$，$b$，$c$，且$a^2 + b^2 = c^2$。试说明：$△ ABC$是直角三角形。
解：作一个直角$∠ MC_1N$，在$C_1M$上截取$C_1B_1 = a = CB$，在$C_1N$上截取$C_1A_1 = b = CA$，连接$A_1B_1$。在$Rt△ A_1B_1C_1$中，由勾股定理，得……
新知生成：如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足
如图，在$△ ABC$中，三边$CB$，$CA$，$AB$的长分别为$a$，$b$，$c$，且$a^2 + b^2 = c^2$。试说明：$△ ABC$是直角三角形。
解：作一个直角$∠ MC_1N$，在$C_1M$上截取$C_1B_1 = a = CB$，在$C_1N$上截取$C_1A_1 = b = CA$，连接$A_1B_1$。在$Rt△ A_1B_1C_1$中，由勾股定理，得……
新知生成：如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足
$a^2+b^2=c^2$
，那么这个三角形是直角三角形。答案
解：在$Rt△A_1B_1C_1$中，由勾股定理，得$A_1B_1^2=B_1C_1^2+C_1A_1^2=a^2+b^2$。
因为$a^2+b^2=c^2$，
所以$A_1B_1^2=AB^2$。
所以$A_1B_1=AB$。
所以$△ABC≌△A_1B_1C_1$(SSS)。
所以$∠C=∠C_1=90°$。
所以$△ABC$是直角三角形。
因为$a^2+b^2=c^2$，
所以$A_1B_1^2=AB^2$。
所以$A_1B_1=AB$。
所以$△ABC≌△A_1B_1C_1$(SSS)。
所以$∠C=∠C_1=90°$。
所以$△ABC$是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是直角三角形，核心是证明它有一个内角为90°。已知三边满足a²+b²=c²，我们采用构造全等的思路解题：首先作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于△ABC的两边a、b，利用勾股定理算出这个直角三角形的斜边，再结合已知的a²+b²=c²证明该斜边与△ABC的第三边c相等，进而用SSS证明两个三角形全等，就能得到△ABC的对应角为直角，完成证明。
【解析】
补全推理过程如下：
在$Rt△A_1B_1C_1$中，由勾股定理，得$A_1B_1^2=B_1C_1^2+C_1A_1^2=a^2+b^2$。
因为$a^2+b^2=c^2$，
所以$A_1B_1^2=AB^2$，
所以$A_1B_1=AB$（三角形边长为正数，故舍去负解）。
在$△ABC$和$△A_1B_1C_1$中：
$\begin{cases} CB=C_1B_1=a \\ CA=C_1A_1=b \\ AB=A_1B_1 \end{cases}$
所以$△ABC≌△A_1B_1C_1$(SSS)，
所以$∠C=∠C_1=90°$，
所以$△ABC$是直角三角形。
新知生成部分：根据推导过程，若三角形三边长a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，则这个三角形是直角三角形，因此空格处填对应表达式即可。
【答案】
推理过程补全：在$Rt△A_1B_1C_1$中，由勾股定理，得$A_1B_1^2=B_1C_1^2+C_1A_1^2=a^2+b^2$。因为$a^2+b^2=c^2$，所以$A_1B_1^2=AB^2$，所以$A_1B_1=AB$，所以$△ABC≌△A_1B_1C_1$(SSS)，所以$∠C=∠C_1=90°$，所以$△ABC$是直角三角形。
新知生成填空：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = c^2}$
【知识点】
勾股定理；全等三角形SSS判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的推导证明题，用到了几何证明中常用的构造法，通过构造全等的直角三角形实现角的转化，能帮助大家深刻理解勾股定理逆定理的来源，掌握构造法对解决同类几何证明题有很大帮助。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC是直角三角形，核心是证明它有一个内角为90°。已知三边满足a²+b²=c²，我们采用构造全等的思路解题：首先作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于△ABC的两边a、b，利用勾股定理算出这个直角三角形的斜边，再结合已知的a²+b²=c²证明该斜边与△ABC的第三边c相等，进而用SSS证明两个三角形全等，就能得到△ABC的对应角为直角，完成证明。
【解析】
补全推理过程如下：
在$Rt△A_1B_1C_1$中，由勾股定理，得$A_1B_1^2=B_1C_1^2+C_1A_1^2=a^2+b^2$。
因为$a^2+b^2=c^2$，
所以$A_1B_1^2=AB^2$，
所以$A_1B_1=AB$（三角形边长为正数，故舍去负解）。
在$△ABC$和$△A_1B_1C_1$中：
$\begin{cases} CB=C_1B_1=a \\ CA=C_1A_1=b \\ AB=A_1B_1 \end{cases}$
所以$△ABC≌△A_1B_1C_1$(SSS)，
所以$∠C=∠C_1=90°$，
所以$△ABC$是直角三角形。
新知生成部分：根据推导过程，若三角形三边长a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，则这个三角形是直角三角形，因此空格处填对应表达式即可。
【答案】
推理过程补全：在$Rt△A_1B_1C_1$中，由勾股定理，得$A_1B_1^2=B_1C_1^2+C_1A_1^2=a^2+b^2$。因为$a^2+b^2=c^2$，所以$A_1B_1^2=AB^2$，所以$A_1B_1=AB$，所以$△ABC≌△A_1B_1C_1$(SSS)，所以$∠C=∠C_1=90°$，所以$△ABC$是直角三角形。
新知生成填空：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = c^2}$
【知识点】
勾股定理；全等三角形SSS判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的推导证明题，用到了几何证明中常用的构造法，通过构造全等的直角三角形实现角的转化，能帮助大家深刻理解勾股定理逆定理的来源，掌握构造法对解决同类几何证明题有很大帮助。
【难度系数】
0.7
有一块薄铁皮ABCD，$∠ B = 90°$，各边的尺寸如图所示。若沿对角线AC剪开，得到的两块铁皮的形状都是直角三角形吗？为什么？
答案
都是直角三角形。理由如下：
如图，连接AC。
在$△ABC$中，因为$∠B=90°$，
所以$△ABC$是直角三角形。
所以$AC^2=AB^2+BC^2=8$。
又因为$AC^2+AD^2=8+1=9$，而$DC^2=9$，
所以$AC^2+AD^2=DC^2$。
所以$△ACD$也是直角三角形。
解析
【分析】
要判断剪开得到的两块铁皮是否都是直角三角形，可分两步思考：第一步，先看△ABC，已知∠B=90°，可直接判定它是直角三角形；第二步，判断△ACD是否为直角三角形，需要用到勾股定理的逆定理，因此要先求出公共边AC的长度：在Rt△ABC中用勾股定理算出AC²，再验证△ACD的三边是否满足“两边平方和等于第三边平方”的关系，若满足则△ACD为直角三角形。
【解析】
解：连接AC，
1. 判定△ABC的形状：
在△ABC中，
∵∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形。
根据勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$。
2. 判定△ACD的形状：
在△ACD中，AD=1，DC=3，
∵$AC^2+AD^2=8+1^2=9$，$DC^2=3^2=9$，
∴$AC^2+AD^2=DC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ACD是直角三角形。
综上，沿对角线AC剪开得到的两块铁皮都是直角三角形。
【答案】
都是直角三角形。理由如下：
如图，连接AC。
在$△ABC$中，因为$∠B=90°$，
所以$△ABC$是直角三角形。
所以$AC^2=AB^2+BC^2=8$。
又因为$AC^2+AD^2=8+1=9$，而$DC^2=9$，
所以$AC^2+AD^2=DC^2$。
所以$△ACD$也是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础应用题，解题核心是明确勾股定理适用于直角三角形求边长，勾股定理的逆定理用于通过三边关系判定三角形是否为直角三角形，解题时要注意区分两个定理的适用场景。
【难度系数】
0.8
要判断剪开得到的两块铁皮是否都是直角三角形，可分两步思考：第一步，先看△ABC，已知∠B=90°，可直接判定它是直角三角形；第二步，判断△ACD是否为直角三角形，需要用到勾股定理的逆定理，因此要先求出公共边AC的长度：在Rt△ABC中用勾股定理算出AC²，再验证△ACD的三边是否满足“两边平方和等于第三边平方”的关系，若满足则△ACD为直角三角形。
【解析】
解：连接AC，
1. 判定△ABC的形状：
在△ABC中，
∵∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形。
根据勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$。
2. 判定△ACD的形状：
在△ACD中，AD=1，DC=3，
∵$AC^2+AD^2=8+1^2=9$，$DC^2=3^2=9$，
∴$AC^2+AD^2=DC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ACD是直角三角形。
综上，沿对角线AC剪开得到的两块铁皮都是直角三角形。
【答案】
都是直角三角形。理由如下：
如图，连接AC。
在$△ABC$中，因为$∠B=90°$，
所以$△ABC$是直角三角形。
所以$AC^2=AB^2+BC^2=8$。
又因为$AC^2+AD^2=8+1=9$，而$DC^2=9$，
所以$AC^2+AD^2=DC^2$。
所以$△ACD$也是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础应用题，解题核心是明确勾股定理适用于直角三角形求边长，勾股定理的逆定理用于通过三边关系判定三角形是否为直角三角形，解题时要注意区分两个定理的适用场景。
【难度系数】
0.8
探究：任务一中给出的三组数，有什么共同特点？
新知生成：满足
新知生成：满足
$a^2+b^2=c^2$
的三个正整数
，称为勾股数。答案
解：都满足$a^2+b^2=c^2$，都是正整数。
解析
【分析】
解题时可从两个维度分析三组数的共同特点：一是观察数的属性，二是探究三个数之间的数量关系。首先看每组数的取值，均为大于0的整数即正整数；其次结合直角三角形三边的数量规律，计算每组中两个较小数的平方和、最大数的平方，可发现二者相等，即满足$a^2+b^2=c^2$（c为三个数中的最大值）。结合这两个共同特征，就能推导得出勾股数的定义，对应完成填空即可。
【解析】
观察任务一给出的三组数：
1. 数的属性：三组数的所有数值均为正整数；
2. 数量关系：每组数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，满足关系式$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为三个数里最大的数）。
结合上述共同特点，可得勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。
【答案】
共同特点：都满足$a^2 + b^2 = c^2$，都是正整数；
新知生成依次填：$a^2 + b^2 = c^2$；正整数
【知识点】
1. 勾股数的概念
2. 勾股定理的逆应用
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查勾股数的判定条件，需注意勾股数必须同时满足“都是正整数”和“两小边平方和等于最大边平方”两个要求，二者缺一不可，掌握该概念可帮助快速判断直角三角形的三边组合。
【难度系数】
0.9
解题时可从两个维度分析三组数的共同特点：一是观察数的属性，二是探究三个数之间的数量关系。首先看每组数的取值，均为大于0的整数即正整数；其次结合直角三角形三边的数量规律，计算每组中两个较小数的平方和、最大数的平方，可发现二者相等，即满足$a^2+b^2=c^2$（c为三个数中的最大值）。结合这两个共同特征，就能推导得出勾股数的定义，对应完成填空即可。
【解析】
观察任务一给出的三组数：
1. 数的属性：三组数的所有数值均为正整数；
2. 数量关系：每组数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，满足关系式$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为三个数里最大的数）。
结合上述共同特点，可得勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。
【答案】
共同特点：都满足$a^2 + b^2 = c^2$，都是正整数；
新知生成依次填：$a^2 + b^2 = c^2$；正整数
【知识点】
1. 勾股数的概念
2. 勾股定理的逆应用
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查勾股数的判定条件，需注意勾股数必须同时满足“都是正整数”和“两小边平方和等于最大边平方”两个要求，二者缺一不可，掌握该概念可帮助快速判断直角三角形的三边组合。
【难度系数】
0.9
下列各组数中是勾股数的是 （
A.1，2，3
B.0.3，0.4，0.5
C.13，14，15
D.7，24，25
D
）A.1，2，3
B.0.3，0.4，0.5
C.13，14，15
D.7，24，25
答案
D
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先筛选掉不符合正整数要求的选项，再对剩余选项逐一计算验证平方关系即可得到答案。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，叫做勾股数。
我们逐个分析选项：
A. 1、2、3都是正整数，但$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不满足平方关系，不是勾股数；
B. 0.3、0.4、0.5虽然满足$0.3^2+0.4^2=0.5^2$，但三个数都是小数，不是正整数，因此不是勾股数；
C. 13、14、15都是正整数，$13^2+14^2=169+196=365$，$15^2=225$，$365≠225$，不满足平方关系，不是勾股数；
D.7、24、25都是正整数，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足平方关系，是勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆应用
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题的关键是牢记勾股数的两个判定条件，不要忽略“正整数”这个要求，避免误选小数的选项，先排除非正整数选项再验证平方关系可以提升解题速度。
【难度系数】
0.7
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先筛选掉不符合正整数要求的选项，再对剩余选项逐一计算验证平方关系即可得到答案。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，叫做勾股数。
我们逐个分析选项：
A. 1、2、3都是正整数，但$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不满足平方关系，不是勾股数；
B. 0.3、0.4、0.5虽然满足$0.3^2+0.4^2=0.5^2$，但三个数都是小数，不是正整数，因此不是勾股数；
C. 13、14、15都是正整数，$13^2+14^2=169+196=365$，$15^2=225$，$365≠225$，不满足平方关系，不是勾股数；
D.7、24、25都是正整数，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足平方关系，是勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆应用
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题的关键是牢记勾股数的两个判定条件，不要忽略“正整数”这个要求，避免误选小数的选项，先排除非正整数选项再验证平方关系可以提升解题速度。
【难度系数】
0.7
