将四块全等的直角三角形纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定直角三角形三边长a，b，c之间的数量关系吗？试试看。

(1)大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，从而可得到。
(2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法验证勾股定理吗？

(1)$(a+b)^2$；$4×\frac{1}{2}ab+c^2$；$a^2+b^2=c^2$
(2)图2中大正方形的面积为$(a+b)^2$，两个小正方形的面积之和为$(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$，图1中小正方形的面积为$(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2=c^2$，所以图2中两个小正方形的面积之和等于图1中小正方形的面积，用关系式可表示为$a^2+b^2=c^2$。

【分析】
这道题我们采用面积法推导直角三角形三边的关系，核心思路是：同一个图形的面积可以用两种不同方式表示，两个表达式相等，化简后就能得到三边的数量关系。
对于第(1)问：先观察图1的大正方形，它的边长是直角三角形两条直角边的和$a+b$，可以直接用正方形面积公式写出第一种面积表达式；另外大正方形的面积也等于中间边长为$c$的小正方形面积加上周围4个全等直角三角形的面积和，把两个表达式联立整理即可得到$a、b、c$的关系。
对于第(2)问：对比图1和图2，两个大正方形的边长都是$a+b$，总面积相等，且两个图中阴影部分都是4个全等的直角三角形，面积也相等，因此两个图的空白部分面积也相等，分别求出两个图空白部分的面积，联立即可验证勾股定理。
【解析】
(1) 图1中大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，面积可表示为$(a+b)^2$；
大正方形的面积也等于4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，中间小正方形边长为$c$、面积为$c^2$，因此面积又可表示为$4×\frac{1}{2}ab + c^2$；
两个表达式均为大正方形的面积，因此相等：
$(a+b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$
展开左边得$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，两边同时减去$2ab$，可得$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 图2中大正方形的边长也为$a+b$，总面积和图1大正方形面积相等，为$(a+b)^2$；
图2中阴影部分是4个和图1全等的直角三角形，总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
因此图2空白部分（两个边长分别为$a、b$的小正方形）的面积为$(a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$；
图1空白部分是边长为$c$的小正方形，面积为$c^2$；
由于两个大正方形总面积相等、阴影面积相等，因此空白部分面积相等，可得$a^2 + b^2 = c^2$，成功验证勾股定理。
【答案】
(1)$(a+b)^2$；$4×\frac{1}{2}ab+c^2$；$a^2+b^2=c^2$
(2)图2中大正方形的面积为$(a+b)^2$，两个小正方形的面积之和为$(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$，图1中小正方形的面积为$(a+b)^2-4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2=c^2$，所以图2中两个小正方形的面积之和等于图1中小正方形的面积，用关系式可表示为$a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
勾股定理的验证，面积法，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，利用“同一图形面积的两种表示方法相等”的原理，结合拼图直观推导三边关系，很好地体现了数形结合的数学思想，能帮助我们更深刻地理解勾股定理的来源。
【难度系数】
0.7

例 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，大意为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长度。

归纳总结
把实际问题抽象为数学问题，利用勾股定理解决。
即时测评

秋千绳索的长度为14.5尺。

【分析】
首先将秋千实际问题转化为直角三角形的数学问题，解题思路如下：1. 秋千绳索OA和OB长度相等，可直接设绳索长度为未知数x；2. 观察图形可知四边形EBDC是矩形，可先求出踏板升高的高度AE，进而得到直角边OE的长度表达式；3. 确定Rt△OEB的两条直角边分别为OE和已知长度的EB，斜边为OB，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设秋千绳索$OA=OB=x$尺。
∵ 四边形EBDC是矩形，
∴ $EC=BD=5$尺，
已知$AC=1$尺，
∴ $AE=EC-AC=5-1=4$尺，
∴ $OE=OA-AE=(x-4)$尺。
在$Rt△ OEB$中，$∠ OEB=90°$，根据勾股定理可得：
$OE^2+EB^2=OB^2$
代入对应数值：
$(x-4)^2+10^2=x^2$
展开计算：
$x^2-8x+16+100=x^2$
移项化简得：
$8x=116$
解得：$x=14.5$
【答案】
秋千绳索的长度为14.5尺。
【知识点】
勾股定理的应用，列一元一次方程解应用题，矩形的性质
【点评】
本题源自我国古代数学经典问题，将生活场景转化为几何模型求解，核心是找准直角三角形的边长关系，通过设未知数结合勾股定理列方程，考查学生的数学建模能力和勾股定理的实际运用能力。
【难度系数】
0.7

如图，小明计划周末从家去正东方向800 m的书店买书，再去书店正北方向600 m处的体育中心打篮球，求小明家距离体育中心有多远。

小明家距离体育中心1 000 m。

【分析】
首先梳理三个地点的位置关系：小明家A到书店B是正东方向，距离800m，书店B到体育中心C是正北方向，距离600m；正东和正北方向互相垂直，因此△ABC是直角三角形，∠B为直角，要求的小明家到体育中心的距离就是直角三角形的斜边AC的长度，我们可以用勾股定理计算斜边长度。
【解析】
解：由题意得，AB为正东方向，BC为正北方向，故∠B=90°，△ABC是直角三角形。
已知AB=800m，BC=600m，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC^2=AB^2+BC^2$
代入数值计算：
$AC^2=800^2+600^2=640000+360000=1000000$
因此$AC=\sqrt{1000000}=1000\mathrm{m}$
【答案】
小明家距离体育中心1000 m。
【知识点】
勾股定理，方向与位置
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题关键是根据方向的垂直性确定直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算的数学问题，有助于培养学生的数学建模意识。
【难度系数】
0.8

课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
验证并
应用勾
股定理
勾股定理的验证
勾股定理是揭示三角形三边关系的定理，应用于求直角三角形的

直角；边长

【分析】
这道题考查勾股定理的基础概念，解题时先回忆勾股定理的适用前提：勾股定理只适用于直角三角形，是对直角三角形三边数量关系的总结，因此第一个空应填对应的三角形类型；再思考勾股定理的作用：通过三边的平方和关系，可在已知两边的前提下求出未知边的长度，因此第二个空对应边长。
【解析】
根据勾股定理的定义：勾股定理是仅适用于直角三角形的定理，描述的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以它揭示的是直角三角形的三边关系；借助该三边的数量关系，当已知直角三角形任意两条边的长度时，即可求出第三条边的长度，因此它可应用于求直角三角形的边长。
【答案】
直角；边长
【知识点】
勾股定理的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重对勾股定理基本定义和用途的考查，熟练记忆核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9