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1. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（
A.16
B.25
C.144
D.169
B
）A.16
B.25
C.144
D.169
答案
1.B
解析
【分析】
解题时我们按照从右到左的顺序观察图形：首先右侧是直角三角形，已知斜边和一条直角边，我们可以先用勾股定理求出另一条直角边的平方，这条边正好是中间正方形的边长，因此它的平方就是中间正方形的面积；再看左侧的直角三角形，两个阴影正方形的边长恰好是这个直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，也就是两个阴影正方形的面积和等于中间正方形的面积，这样就可以直接得到阴影部分的总面积，不需要单独计算每个阴影正方形的面积。
【解析】
1. 先计算右侧直角三角形未知直角边的平方：
根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，设未知直角边长度为$a$，则：
$a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
这个$a$就是中间正方形的边长，因此中间正方形的面积为$a^2=25$。
2. 设两个阴影正方形的边长分别为$m$、$n$，它们是左侧直角三角形的两条直角边，左侧直角三角形的斜边就是中间正方形的边长$a$。
根据勾股定理可得：$m^2 + n^2 = a^2 = 25$
而$m^2$、$n^2$分别是两个阴影正方形的面积，因此阴影部分总面积就是$m^2 +n^2=25$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理在组合图形面积计算中的典型应用，解题的核心是将正方形面积和边长的平方对应起来，通过勾股定理转化面积关系，避免了单独求解每个阴影正方形边长的繁琐步骤，锻炼了图形观察和等量代换的能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们按照从右到左的顺序观察图形：首先右侧是直角三角形，已知斜边和一条直角边，我们可以先用勾股定理求出另一条直角边的平方，这条边正好是中间正方形的边长，因此它的平方就是中间正方形的面积；再看左侧的直角三角形，两个阴影正方形的边长恰好是这个直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，也就是两个阴影正方形的面积和等于中间正方形的面积，这样就可以直接得到阴影部分的总面积，不需要单独计算每个阴影正方形的面积。
【解析】
1. 先计算右侧直角三角形未知直角边的平方：
根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，设未知直角边长度为$a$，则：
$a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
这个$a$就是中间正方形的边长，因此中间正方形的面积为$a^2=25$。
2. 设两个阴影正方形的边长分别为$m$、$n$，它们是左侧直角三角形的两条直角边，左侧直角三角形的斜边就是中间正方形的边长$a$。
根据勾股定理可得：$m^2 + n^2 = a^2 = 25$
而$m^2$、$n^2$分别是两个阴影正方形的面积，因此阴影部分总面积就是$m^2 +n^2=25$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理在组合图形面积计算中的典型应用，解题的核心是将正方形面积和边长的平方对应起来，通过勾股定理转化面积关系，避免了单独求解每个阴影正方形边长的繁琐步骤，锻炼了图形观察和等量代换的能力。
【难度系数】
0.7
2. 勾股定理的验证方法多样，体现了数学的精妙。下面四幅图中，不能验证勾股定理的是（
C
）答案
2.C
解析
【分析】
要判断各图能否验证勾股定理，需采用等面积法：对每个图形用两种不同方式计算总面积，再将两个面积表达式联立化简，若最终能推导出$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：图形为直角梯形
方法1：按梯形面积公式计算：$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2}$
方法2：按3个三角形面积和计算：$S=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{c^2}{2}$
联立得$\frac{a^2+2ab+b^2}{2}=ab+\frac{c^2}{2}$，化简后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
2. 选项B：图形为边长是$a+b$的大正方形
方法1：按正方形面积公式计算：$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
方法2：按中间正方形+4个直角三角形面积和计算：$S=c^2+4×\frac{1}{2}ab=c^2+2ab$
联立得$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，化简后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
3. 选项C：图形为边长是$a+b$的大正方形
方法1：按正方形面积公式计算：$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
方法2：按4个小矩形面积和计算：$S=a^2+b^2+2ab$
联立后得到的是完全平方和公式，整个推导过程没有出现$c$，无法得到$a^2+b^2=c^2$，不能验证勾股定理。
4. 选项D：图形为边长是$c$的大正方形
方法1：按正方形面积公式计算：$S=c^2$
方法2：按中间小正方形+4个直角三角形面积和计算：$S=(b-a)^2+4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$
联立得$c^2=a^2+b^2$，可以验证勾股定理。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的验证，等面积法，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的验证思路，解题核心是利用等面积法建立不同的面积表达式，通过化简判断是否符合勾股定理的形式，掌握各类图形的面积计算方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要判断各图能否验证勾股定理，需采用等面积法：对每个图形用两种不同方式计算总面积，再将两个面积表达式联立化简，若最终能推导出$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：图形为直角梯形
方法1：按梯形面积公式计算：$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2}$
方法2：按3个三角形面积和计算：$S=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{c^2}{2}$
联立得$\frac{a^2+2ab+b^2}{2}=ab+\frac{c^2}{2}$，化简后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
2. 选项B：图形为边长是$a+b$的大正方形
方法1：按正方形面积公式计算：$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
方法2：按中间正方形+4个直角三角形面积和计算：$S=c^2+4×\frac{1}{2}ab=c^2+2ab$
联立得$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，化简后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
3. 选项C：图形为边长是$a+b$的大正方形
方法1：按正方形面积公式计算：$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
方法2：按4个小矩形面积和计算：$S=a^2+b^2+2ab$
联立后得到的是完全平方和公式，整个推导过程没有出现$c$，无法得到$a^2+b^2=c^2$，不能验证勾股定理。
4. 选项D：图形为边长是$c$的大正方形
方法1：按正方形面积公式计算：$S=c^2$
方法2：按中间小正方形+4个直角三角形面积和计算：$S=(b-a)^2+4×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2$
联立得$c^2=a^2+b^2$，可以验证勾股定理。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的验证，等面积法，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的验证思路，解题核心是利用等面积法建立不同的面积表达式，通过化简判断是否符合勾股定理的形式，掌握各类图形的面积计算方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°。
(1)试说明：△ACD为直角三角形；
(2)求四边形ABCD的面积。
(1)试说明：△ACD为直角三角形；
(2)求四边形ABCD的面积。
答案
3. 解：(1)因为AB=4，BC=3，∠B=90°，
所以AC=5。
因为CD=12，AD=13，
所以AC²+CD²=AD²。
所以△ACD为直角三角形。
(2)由题图可得，S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=$\frac{AB· BC}{2}+\frac{AC· CD}{2}$
=$\frac{4×3}{2}+\frac{5×12}{2}$
=6+30
=36。
所以AC=5。
因为CD=12，AD=13，
所以AC²+CD²=AD²。
所以△ACD为直角三角形。
(2)由题图可得，S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=$\frac{AB· BC}{2}+\frac{AC· CD}{2}$
=$\frac{4×3}{2}+\frac{5×12}{2}$
=6+30
=36。
解析
【分析】
(1)要证明△ACD是直角三角形，首先观察已知条件：△ABC中∠B为直角，且AB、BC长度已知，可先用勾股定理求出AC的长度；再结合给出的CD、AD的长度，验证AC²+CD²是否等于AD²，若相等就可以根据勾股定理的逆定理判定△ACD为直角三角形。
(2)四边形ABCD是不规则图形，可将其分割为△ABC和△ACD两个三角形，两个三角形均为直角三角形，分别计算面积后相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$AB=4$，$BC=3$，$∠ B=90°$，
根据勾股定理可得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
已知$CD=12$，$AD=13$，
计算得：$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
因此$AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ACD$为直角三角形。
(2) 四边形$ABCD$的面积等于$△ ABC$和$△ ACD$的面积之和，即：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC + \frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×5×12$
$=6+30=36$
【答案】
(1) $△ ACD$为直角三角形，理由见解析；
(2) 四边形$ABCD$的面积为$\boxed{36}$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的综合应用题型，解题核心是先利用直角三角形求出公共边AC的长度，再通过逆定理判定△ACD为直角三角形，将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形的面积和，是几何中勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ACD是直角三角形，首先观察已知条件：△ABC中∠B为直角，且AB、BC长度已知，可先用勾股定理求出AC的长度；再结合给出的CD、AD的长度，验证AC²+CD²是否等于AD²，若相等就可以根据勾股定理的逆定理判定△ACD为直角三角形。
(2)四边形ABCD是不规则图形，可将其分割为△ABC和△ACD两个三角形，两个三角形均为直角三角形，分别计算面积后相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$AB=4$，$BC=3$，$∠ B=90°$，
根据勾股定理可得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
已知$CD=12$，$AD=13$，
计算得：$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
因此$AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ACD$为直角三角形。
(2) 四边形$ABCD$的面积等于$△ ABC$和$△ ACD$的面积之和，即：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC + \frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×5×12$
$=6+30=36$
【答案】
(1) $△ ACD$为直角三角形，理由见解析；
(2) 四边形$ABCD$的面积为$\boxed{36}$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的综合应用题型，解题核心是先利用直角三角形求出公共边AC的长度，再通过逆定理判定△ACD为直角三角形，将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形的面积和，是几何中勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4. 下列各组数中是勾股数的是 （
A.0.3，0.4，0.5
B.10，15，18
C.$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$
D.6，8，10
D
）A.0.3，0.4，0.5
B.10，15，18
C.$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$
D.6，8，10
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确勾股数的两个判定标准：第一，三个数必须都是正整数；第二，三个数满足勾股定理，即两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时我们可以先通过“正整数”这个要求快速排除不符合的选项，再对剩余选项验证勾股定理是否成立，就能高效得到正确答案。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，叫做勾股数。接下来逐个分析选项：
选项A：0.3、0.4、0.5都是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项B：三个数都是正整数，计算得$10^2+15^2=100+225=325$，$18^2=324$，$325≠324$，不满足勾股定理，排除；
选项C：$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$都是分数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项D：6、8、10都是正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，同时满足勾股数的两个要求，是勾股数。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，判定时要注意勾股数需同时满足“均为正整数”和“两小边平方和等于最大边平方”两个条件，缺一不可，不要忽略正整数的前提误选含小数、分数的选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确勾股数的两个判定标准：第一，三个数必须都是正整数；第二，三个数满足勾股定理，即两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时我们可以先通过“正整数”这个要求快速排除不符合的选项，再对剩余选项验证勾股定理是否成立，就能高效得到正确答案。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，叫做勾股数。接下来逐个分析选项：
选项A：0.3、0.4、0.5都是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项B：三个数都是正整数，计算得$10^2+15^2=100+225=325$，$18^2=324$，$325≠324$，不满足勾股定理，排除；
选项C：$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$都是分数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项D：6、8、10都是正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，同时满足勾股数的两个要求，是勾股数。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，判定时要注意勾股数需同时满足“均为正整数”和“两小边平方和等于最大边平方”两个条件，缺一不可，不要忽略正整数的前提误选含小数、分数的选项。
【难度系数】
0.8
5.【综合与实践】小明同学在项目式学习实践探究中，绘制了如下表格。
请根据表格信息，解答下列问题：
(1)求线段AD的长；
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12 m，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米风筝线？
请根据表格信息，解答下列问题：
(1)求线段AD的长；
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12 m，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米风筝线？
答案
5.(1)线段AD的长为9.6 m。
(2)小明同学应该再放出8 m风筝线。
(2)小明同学应该再放出8 m风筝线。
解析
【分析】
(1) 要求AD的长度，可过点B作BC⊥AD于点C，构造直角三角形ABC。由BE、AD均垂直于地面可知四边形BEDC是矩形，可得BC=ED=15m、CD=BE=1.6m，再结合已知的风筝线AB的长度，用勾股定理求出AC的长度，最后用AC加CD即可得到AD的长。
(2) 风筝沿DA方向上升12m后，水平距离BC仍为15m，竖直方向的直角边变为原来的AC长度加12m，再次用勾股定理求出上升后风筝线的总长度，减去原来的风筝线长度，就是需要再放出的风筝线长度。
【解析】
(1) 过点B作$BC⊥ AD$，垂足为C。
$\because BE⊥ ED$，$AD⊥ ED$，$BC⊥ AD$，
$\therefore$ 四边形BEDC是矩形，
$\therefore BC=ED=15\ \mathrm{m}$，$CD=BE=1.6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=17\ \mathrm{m}$，$BC=15\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AC^2+BC^2=AB^2$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿DA方向上升12m后，竖直方向的直角边长度变为$8+12=20\ \mathrm{m}$，水平边$BC=15\ \mathrm{m}$不变。
设此时风筝线长度为$A'B$，在$\mathrm{Rt}△ A'BC$中，根据勾股定理：
$A'B=\sqrt{A'C^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{m}$
$\therefore$ 需要再放出的风筝线长度为$25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 线段AD的长为9.6 m；
(2) 小明同学应该再放出8 m风筝线。
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合放风筝的实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，解题思路清晰，和生活结合紧密。
【难度系数】
0.75
(1) 要求AD的长度，可过点B作BC⊥AD于点C，构造直角三角形ABC。由BE、AD均垂直于地面可知四边形BEDC是矩形，可得BC=ED=15m、CD=BE=1.6m，再结合已知的风筝线AB的长度，用勾股定理求出AC的长度，最后用AC加CD即可得到AD的长。
(2) 风筝沿DA方向上升12m后，水平距离BC仍为15m，竖直方向的直角边变为原来的AC长度加12m，再次用勾股定理求出上升后风筝线的总长度，减去原来的风筝线长度，就是需要再放出的风筝线长度。
【解析】
(1) 过点B作$BC⊥ AD$，垂足为C。
$\because BE⊥ ED$，$AD⊥ ED$，$BC⊥ AD$，
$\therefore$ 四边形BEDC是矩形，
$\therefore BC=ED=15\ \mathrm{m}$，$CD=BE=1.6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=17\ \mathrm{m}$，$BC=15\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AC^2+BC^2=AB^2$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿DA方向上升12m后，竖直方向的直角边长度变为$8+12=20\ \mathrm{m}$，水平边$BC=15\ \mathrm{m}$不变。
设此时风筝线长度为$A'B$，在$\mathrm{Rt}△ A'BC$中，根据勾股定理：
$A'B=\sqrt{A'C^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{m}$
$\therefore$ 需要再放出的风筝线长度为$25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 线段AD的长为9.6 m；
(2) 小明同学应该再放出8 m风筝线。
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合放风筝的实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，解题思路清晰，和生活结合紧密。
【难度系数】
0.75
