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知识点一 组内离差平方和的定义
多组数据的
多组数据的
组内离差平方和
是指每组数据的离差平方和的总和
。答案
组内离差平方和 总和
解析
【分析】
本题属于基础概念识记类题目，解题核心是回忆组内离差平方和的定义。我们学习该概念时明确：组内离差平方和是描述多组数据的一个统计量，它的计算逻辑是先分别算出每组数据各自的离差平方和，再把这些离差平方和加总，最终得到的结果就是组内离差平方和。对应题干的表述逻辑，第一个空应填该统计量的名称，第二个空填计算方式的核心描述。
【解析】
根据组内离差平方和的定义：多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的总和，因此两个空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
组内离差平方和 总和
【知识点】
组内离差平方和的定义
【点评】
本题是基础定义考察题，难度较低，主要考查对统计相关基础概念的记忆掌握程度，牢记教材中的基础概念是解答这类题的关键，该概念也是后续学习组间差异分析的基础。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念识记类题目，解题核心是回忆组内离差平方和的定义。我们学习该概念时明确：组内离差平方和是描述多组数据的一个统计量，它的计算逻辑是先分别算出每组数据各自的离差平方和，再把这些离差平方和加总，最终得到的结果就是组内离差平方和。对应题干的表述逻辑，第一个空应填该统计量的名称，第二个空填计算方式的核心描述。
【解析】
根据组内离差平方和的定义：多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的总和，因此两个空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
组内离差平方和 总和
【知识点】
组内离差平方和的定义
【点评】
本题是基础定义考察题，难度较低，主要考查对统计相关基础概念的记忆掌握程度，牢记教材中的基础概念是解答这类题的关键，该概念也是后续学习组间差异分析的基础。
【难度系数】
0.9
知识点二 数据分组原则
按照
可使每组组内的数据差距不大，且组与组之
间的数据差别明显。
按照
组内离差平方和最小
的原则分组，可使每组组内的数据差距不大，且组与组之
间的数据差别明显。
答案
组内离差平方和最小
解析
【分析】
拿到这道题首先明确题干核心要求：分组要实现“组内数据差距小、组间数据差别明显”的效果。我们可以从分组的目的出发思考：要让组内数据差距小，就需要衡量组内数据离散程度的指标尽可能小，离差平方和正是反映一组数据内部差距大小的量，组内离差平方和越小，组内数据越集中、差距越小，恰好符合题干的分组要求，由此就能确定对应的分组原则。
【解析】
数据分组的核心目的是区分不同特征的数据，若要实现组内数据差距不大、组间数据差别明显的效果，需遵循组内离差平方和最小的原则：离差平方和可以反映一组数据的离散程度，组内离差平方和越小，说明组内数据的波动越小、相互之间的差距越小，对应的不同组之间的数据差异就会更加突出。
【答案】
组内离差平方和最小
【知识点】
1.数据分组原则
2.离差平方和的意义
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对数据分组核心原则的理解与识记，理解数据分组的目的后就能快速作答。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先明确题干核心要求：分组要实现“组内数据差距小、组间数据差别明显”的效果。我们可以从分组的目的出发思考：要让组内数据差距小，就需要衡量组内数据离散程度的指标尽可能小，离差平方和正是反映一组数据内部差距大小的量，组内离差平方和越小，组内数据越集中、差距越小，恰好符合题干的分组要求，由此就能确定对应的分组原则。
【解析】
数据分组的核心目的是区分不同特征的数据，若要实现组内数据差距不大、组间数据差别明显的效果，需遵循组内离差平方和最小的原则：离差平方和可以反映一组数据的离散程度，组内离差平方和越小，说明组内数据的波动越小、相互之间的差距越小，对应的不同组之间的数据差异就会更加突出。
【答案】
组内离差平方和最小
【知识点】
1.数据分组原则
2.离差平方和的意义
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对数据分组核心原则的理解与识记，理解数据分组的目的后就能快速作答。
【难度系数】
0.8
例1 为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲、乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩(单位:分)如下:
甲:98,84,88,90;
乙:90,85,95,90。
通过计算可知甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26。若学校想从甲、乙两位同学中选择成绩稳定的一位参加比赛，
你认为选谁参加更合适？请说明理由。
[点拨] 先求乙的平均数，与甲对比判断平均水平相当；再计算乙方差，比较两人方差，方差越小成绩越稳定，据此确定参赛人选。
[解] 选择甲参加比赛更合适。理由:
乙同学测试成绩的平均数为$(90+85+95+90)÷4=90$(分),
方差为$\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]=12.5$。
∵甲和乙成绩的平均数都为90分，且乙的方差小于甲的方差，
∴乙同学成绩稳定，
∴选择乙参加比赛更合适。
甲:98,84,88,90;
乙:90,85,95,90。
通过计算可知甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26。若学校想从甲、乙两位同学中选择成绩稳定的一位参加比赛，
你认为选谁参加更合适？请说明理由。
[点拨] 先求乙的平均数，与甲对比判断平均水平相当；再计算乙方差，比较两人方差，方差越小成绩越稳定，据此确定参赛人选。
[解] 选择甲参加比赛更合适。理由:
乙同学测试成绩的平均数为$(90+85+95+90)÷4=90$(分),
方差为$\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]=12.5$。
∵甲和乙成绩的平均数都为90分，且乙的方差小于甲的方差，
∴乙同学成绩稳定，
∴选择乙参加比赛更合适。
答案
解：计算乙同学四次测试成绩的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{4}×(90+85+95+90)=90$（分）
计算乙同学测试成绩的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]$
$=\frac{1}{4}×(0+25+25+0)$
$=12.5$
已知甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26。
$\because \overline{x}_甲=\overline{x}_乙=90$，两人平均水平相当，且$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，
$\therefore$ 乙同学的成绩更稳定。
答：选择乙参加比赛更合适。
$\overline{x}_乙=\frac{1}{4}×(90+85+95+90)=90$（分）
计算乙同学测试成绩的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]$
$=\frac{1}{4}×(0+25+25+0)$
$=12.5$
已知甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26。
$\because \overline{x}_甲=\overline{x}_乙=90$，两人平均水平相当，且$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，
$\therefore$ 乙同学的成绩更稳定。
答：选择乙参加比赛更合适。
解析
【分析】
要选拔成绩稳定的同学参赛，首先需判断两人的平均成绩是否相当：若平均成绩差距大，优先选择平均成绩更高的；若平均成绩相近，再通过比较方差判断稳定性，方差越小代表成绩波动越小、越稳定。本题已知甲的平均数和方差，因此我们先计算乙的平均成绩，和甲对比确定平均水平相当后，再计算乙的方差，对比两人方差大小即可确定人选。
【解析】
首先计算乙同学四次测试成绩的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{4}×(90+85+95+90)=90$（分）
再计算乙同学测试成绩的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]$
$=\frac{1}{4}×(0+25+25+0)$
$=12.5$
已知甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26。
$\because \overline{x}_甲=\overline{x}_乙=90$，两人平均水平相当，且$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，
$\therefore$ 乙同学的成绩更稳定。
【答案】
选择乙参加比赛更合适。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际决策中的应用，解题核心是明确方差是衡量数据波动程度的统计量，在平均水平相近的前提下，方差越小数据越稳定。计算过程中要注意准确代入方差公式，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
要选拔成绩稳定的同学参赛，首先需判断两人的平均成绩是否相当：若平均成绩差距大，优先选择平均成绩更高的；若平均成绩相近，再通过比较方差判断稳定性，方差越小代表成绩波动越小、越稳定。本题已知甲的平均数和方差，因此我们先计算乙的平均成绩，和甲对比确定平均水平相当后，再计算乙的方差，对比两人方差大小即可确定人选。
【解析】
首先计算乙同学四次测试成绩的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{4}×(90+85+95+90)=90$（分）
再计算乙同学测试成绩的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]$
$=\frac{1}{4}×(0+25+25+0)$
$=12.5$
已知甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26。
$\because \overline{x}_甲=\overline{x}_乙=90$，两人平均水平相当，且$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，
$\therefore$ 乙同学的成绩更稳定。
【答案】
选择乙参加比赛更合适。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际决策中的应用，解题核心是明确方差是衡量数据波动程度的统计量，在平均水平相近的前提下，方差越小数据越稳定。计算过程中要注意准确代入方差公式，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
变式训练1 现要从甲、乙两名同学中选出一名代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图。
(1)已求得甲的平均成绩为8环，则乙的平均成绩为
(2)观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差$s^2_甲$
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选
(1)已求得甲的平均成绩为8环，则乙的平均成绩为
8环
；(2)观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差$s^2_甲$
＞
$s^2_乙$；(填“＞”“＜”或“=”)(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选
乙
参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲
参赛更合适。答案
(1)8环 (2)＞ (3)乙 甲
解析
【分析】
(1) 求乙的平均成绩，首先从折线统计图中提取乙10次射击的所有成绩，再根据“平均成绩=总成绩÷射击总次数”的公式计算即可；
(2) 方差的意义是反映数据的波动程度，数据波动越大方差越大，观察两人成绩折线的起伏幅度，就能比较方差的大小；
(3) 选参赛选手要结合比赛需求：若对手成绩在7环左右，优先选成绩稳定、很少发挥失常的选手；若对手成绩在9环左右，优先选更容易打出高分的选手，结合两人的成绩特点判断即可。
【解析】
(1) 从折线图中提取乙10次射击成绩依次为：8、9、8、8、7、8、9、8、8、7。
乙的总成绩为：$7×2 + 8×6 +9×2=14+48+18=80$（环）
乙的平均成绩为：$80÷10=8$（环）
(2) 观察折线可知，甲的成绩起伏更大（最低5环，最高10环），乙的成绩更平稳，波动更小，根据“波动越大方差越大”的规律，可得$s^2_甲＞s^2_乙$。
(3) 若其他班级选手成绩在7环左右：乙的成绩稳定，多数为8环，很少低于7环，发挥更稳妥，选乙参赛更合适；
若其他班级选手成绩在9环左右：甲有多次打出9环、10环的记录，冲击高分的可能性更高，选甲参赛更合适。
【答案】
(1)8环 (2)＞ (3)乙 甲
【知识点】
平均数计算，方差的意义，折线统计图应用
【点评】
本题结合折线统计图考查统计知识的实际应用，解题的关键是掌握平均数的计算方法，理解方差反映数据波动程度的意义，能结合实际需求选择合适的统计对象。
【难度系数】
0.8
(1) 求乙的平均成绩，首先从折线统计图中提取乙10次射击的所有成绩，再根据“平均成绩=总成绩÷射击总次数”的公式计算即可；
(2) 方差的意义是反映数据的波动程度，数据波动越大方差越大，观察两人成绩折线的起伏幅度，就能比较方差的大小；
(3) 选参赛选手要结合比赛需求：若对手成绩在7环左右，优先选成绩稳定、很少发挥失常的选手；若对手成绩在9环左右，优先选更容易打出高分的选手，结合两人的成绩特点判断即可。
【解析】
(1) 从折线图中提取乙10次射击成绩依次为：8、9、8、8、7、8、9、8、8、7。
乙的总成绩为：$7×2 + 8×6 +9×2=14+48+18=80$（环）
乙的平均成绩为：$80÷10=8$（环）
(2) 观察折线可知，甲的成绩起伏更大（最低5环，最高10环），乙的成绩更平稳，波动更小，根据“波动越大方差越大”的规律，可得$s^2_甲＞s^2_乙$。
(3) 若其他班级选手成绩在7环左右：乙的成绩稳定，多数为8环，很少低于7环，发挥更稳妥，选乙参赛更合适；
若其他班级选手成绩在9环左右：甲有多次打出9环、10环的记录，冲击高分的可能性更高，选甲参赛更合适。
【答案】
(1)8环 (2)＞ (3)乙 甲
【知识点】
平均数计算，方差的意义，折线统计图应用
【点评】
本题结合折线统计图考查统计知识的实际应用，解题的关键是掌握平均数的计算方法，理解方差反映数据波动程度的意义，能结合实际需求选择合适的统计对象。
【难度系数】
0.8
