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例2 现有一批螺丝帽,从中抽选6个测得它们的直径尺寸(单位:cm)依次是3.5,3.8,3.6,3.2,3.7,3.6,现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组,你认为应该如何分?
[点拨] 要将螺丝帽按直径合理分组,需先将数据从小到大排序,再计算所有连续分组的组内离差平方和之和,选择总和最小的分组方案,即可保证组内数据最集中、分组最合理。
[解] 现将这组数据从小到大进行排序:3.2,3.5,3.6,3.6,3.7,3.8,计算不同分组的组内离差平方和如下:
计算结果表明,第一种分组的组内离差平方和最小。因此把6个螺丝帽按直径大小分成的两组是{3.2},{3.5,3.6,3.6,3.7,3.8}。
[点拨] 要将螺丝帽按直径合理分组,需先将数据从小到大排序,再计算所有连续分组的组内离差平方和之和,选择总和最小的分组方案,即可保证组内数据最集中、分组最合理。
[解] 现将这组数据从小到大进行排序:3.2,3.5,3.6,3.6,3.7,3.8,计算不同分组的组内离差平方和如下:
计算结果表明,第一种分组的组内离差平方和最小。因此把6个螺丝帽按直径大小分成的两组是{3.2},{3.5,3.6,3.6,3.7,3.8}。
答案
解：
先将这6个螺丝帽的直径数据从小到大排序：3.2，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8。
计算所有连续二分分组的组内离差平方和，结果如下：
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个，第二组5个|0.052|
|第一组2个，第二组4个|0.0725|
|第一组3个，第二组3个|0.107|
|第一组4个，第二组2个|0.1125|
|第一组5个，第二组1个|0.159|
对比可知，组内离差平方和的最小值为0.052，对应第一组1个、第二组5个的分组方案，该方案下组内数据最集中，分组最合理。
答：将直径为3.2cm的螺丝帽分为一组，剩余直径为3.5cm、3.6cm、3.6cm、3.7cm、3.8cm的5个螺丝帽分为另一组，即两组为{3.2}，{3.5, 3.6, 3.6, 3.7, 3.8}。
先将这6个螺丝帽的直径数据从小到大排序：3.2，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8。
计算所有连续二分分组的组内离差平方和，结果如下：
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个，第二组5个|0.052|
|第一组2个，第二组4个|0.0725|
|第一组3个，第二组3个|0.107|
|第一组4个，第二组2个|0.1125|
|第一组5个，第二组1个|0.159|
对比可知，组内离差平方和的最小值为0.052，对应第一组1个、第二组5个的分组方案，该方案下组内数据最集中，分组最合理。
答：将直径为3.2cm的螺丝帽分为一组，剩余直径为3.5cm、3.6cm、3.6cm、3.7cm、3.8cm的5个螺丝帽分为另一组，即两组为{3.2}，{3.5, 3.6, 3.6, 3.7, 3.8}。
解析
【分析】
要将螺丝帽按直径大小合理分组，核心是让每组内的直径数据尽可能集中，也就是组内离散程度最小，组内离差平方和越小就代表组内数据离散程度越小，分组越合理。解题时首先要把6个直径数据从小到大排序，因为按大小分组必然是较小的连续数为一组、较大的连续数为另一组；其次列出所有可能的连续二分分组方案，对应每种方案的组内离差平方和；最后对比所有方案的离差平方和，选择数值最小的对应的分组即可。
【解析】
1. 先将6个螺丝帽的直径数据从小到大排序，得到：3.2，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8。
2. 统计所有连续二分分组的组内离差平方和，结果如下：
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个，第二组5个|0.052|
|第一组2个，第二组4个|0.0725|
|第一组3个，第二组3个|0.107|
|第一组4个，第二组2个|0.1125|
|第一组5个，第二组1个|0.159|
3. 对比上述数值可知，组内离差平方和的最小值为0.052，对应“第一组1个、第二组5个”的分组方案，该方案下组内数据集中程度最高，分组最合理。
【答案】
两组分别为{3.2}，{3.5, 3.6, 3.6, 3.7, 3.8}，即直径为3.2cm的螺丝帽单独为一组，剩余5个螺丝帽为另一组。
【知识点】
数据排序、离差平方和、统计分组
【点评】
本题是统计知识在实际生活中的应用，解题核心是理解“组内离差平方和越小，组内数据离散程度越低，分组越合理”的规律，解题过程逻辑清晰，能够锻炼学生用统计指标解决实际优化问题的能力。
【难度系数】
0.7
要将螺丝帽按直径大小合理分组，核心是让每组内的直径数据尽可能集中，也就是组内离散程度最小，组内离差平方和越小就代表组内数据离散程度越小，分组越合理。解题时首先要把6个直径数据从小到大排序，因为按大小分组必然是较小的连续数为一组、较大的连续数为另一组；其次列出所有可能的连续二分分组方案，对应每种方案的组内离差平方和；最后对比所有方案的离差平方和，选择数值最小的对应的分组即可。
【解析】
1. 先将6个螺丝帽的直径数据从小到大排序，得到：3.2，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8。
2. 统计所有连续二分分组的组内离差平方和，结果如下：
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个，第二组5个|0.052|
|第一组2个，第二组4个|0.0725|
|第一组3个，第二组3个|0.107|
|第一组4个，第二组2个|0.1125|
|第一组5个，第二组1个|0.159|
3. 对比上述数值可知，组内离差平方和的最小值为0.052，对应“第一组1个、第二组5个”的分组方案，该方案下组内数据集中程度最高，分组最合理。
【答案】
两组分别为{3.2}，{3.5, 3.6, 3.6, 3.7, 3.8}，即直径为3.2cm的螺丝帽单独为一组，剩余5个螺丝帽为另一组。
【知识点】
数据排序、离差平方和、统计分组
【点评】
本题是统计知识在实际生活中的应用，解题核心是理解“组内离差平方和越小，组内数据离散程度越低，分组越合理”的规律，解题过程逻辑清晰，能够锻炼学生用统计指标解决实际优化问题的能力。
【难度系数】
0.7
变式训练2 为了考察玉米的生长情况，抽取了10株幼苗，测得苗高(单位:cm)如下:8,12,8,10,13,7,12,11,10,9。
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个数据分成两组。
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个数据分成两组。
答案
解:现将这组数据从小到大进行排序:7,8,8,9,10,10,11,12,12,13。计算不同分组的组内离差平方和如下：
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个,第二组9个|26|
|第一组2个,第二组8个|20.375|
|第一组3个,第二组7个|12.667|
|第一组4个,第二组6个|9.333|
|第一组5个,第二组5个|10.4|
|第一组6个,第二组4个|9.333|
|第一组7个,第二组3个|12.667|
|第一组8个,第二组2个|20.375|
|第一组9个,第二组1个|26|
其中组内离差平方和最小的是9.333。
所以组内离差平方和最小的分组是{7,8,8,9},{10,10,11,12,12,13}和{7,8,8,9,10,10},{11,12,12,13}。
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个,第二组9个|26|
|第一组2个,第二组8个|20.375|
|第一组3个,第二组7个|12.667|
|第一组4个,第二组6个|9.333|
|第一组5个,第二组5个|10.4|
|第一组6个,第二组4个|9.333|
|第一组7个,第二组3个|12.667|
|第一组8个,第二组2个|20.375|
|第一组9个,第二组1个|26|
其中组内离差平方和最小的是9.333。
所以组内离差平方和最小的分组是{7,8,8,9},{10,10,11,12,12,13}和{7,8,8,9,10,10},{11,12,12,13}。
解析
【分析】
要解决组内离差平方和最小的分组问题，首先明确：组内离差平方和是组内每个数据与组内平均数的差的平方之和，数值越小说明组内数据越接近。要让两组的总离差平方和最小，需要把数值相近的数据放在同一组，因此第一步先把所有数据从小到大排序，此时只需在相邻两个数据之间切分分组即可，无需考虑打乱顺序的分组（乱序分组会让组内数据差异变大，离差平方和必然更大）。接下来依次尝试在第1和第2个、第2和第3个……第9和第10个数据之间切分，分别计算每种切分方式下两组的离差平方和，再相加得到总离差平方和，最后对比所有结果，找到总离差平方和最小对应的分组即可。
【解析】
第一步，先将10个苗高数据从小到大排序：7，8，8，9，10，10，11，12，12，13。
第二步，依次计算不同有序分组的总组内离差平方和，结果如下：
|分组情况|总组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个，第二组9个|26|
|第一组2个，第二组8个|20.375|
|第一组3个，第二组7个|12.667|
|第一组4个，第二组6个|9.333|
|第一组5个，第二组5个|10.4|
|第一组6个，第二组4个|9.333|
|第一组7个，第二组3个|12.667|
|第一组8个，第二组2个|20.375|
|第一组9个，第二组1个|26|
第三步，对比可知总离差平方和最小为9.333，对应两种分组情况。
【答案】
分组为{7,8,8,9}和{10,10,11,12,12,13}，或{7,8,8,9,10,10}和{11,12,12,13}。
【知识点】
数据排序；离差平方和；最优分组
【点评】
这道题核心是理解组内离差平方和越小、组内数据越接近的特点，解题时先排序再依次计算不同相邻切分的离差平方和即可，避免了无意义的乱序分组计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
要解决组内离差平方和最小的分组问题，首先明确：组内离差平方和是组内每个数据与组内平均数的差的平方之和，数值越小说明组内数据越接近。要让两组的总离差平方和最小，需要把数值相近的数据放在同一组，因此第一步先把所有数据从小到大排序，此时只需在相邻两个数据之间切分分组即可，无需考虑打乱顺序的分组（乱序分组会让组内数据差异变大，离差平方和必然更大）。接下来依次尝试在第1和第2个、第2和第3个……第9和第10个数据之间切分，分别计算每种切分方式下两组的离差平方和，再相加得到总离差平方和，最后对比所有结果，找到总离差平方和最小对应的分组即可。
【解析】
第一步，先将10个苗高数据从小到大排序：7，8，8，9，10，10，11，12，12，13。
第二步，依次计算不同有序分组的总组内离差平方和，结果如下：
|分组情况|总组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个，第二组9个|26|
|第一组2个，第二组8个|20.375|
|第一组3个，第二组7个|12.667|
|第一组4个，第二组6个|9.333|
|第一组5个，第二组5个|10.4|
|第一组6个，第二组4个|9.333|
|第一组7个，第二组3个|12.667|
|第一组8个，第二组2个|20.375|
|第一组9个，第二组1个|26|
第三步，对比可知总离差平方和最小为9.333，对应两种分组情况。
【答案】
分组为{7,8,8,9}和{10,10,11,12,12,13}，或{7,8,8,9,10,10}和{11,12,12,13}。
【知识点】
数据排序；离差平方和；最优分组
【点评】
这道题核心是理解组内离差平方和越小、组内数据越接近的特点，解题时先排序再依次计算不同相邻切分的离差平方和即可，避免了无意义的乱序分组计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
1. 下列关于组内离差平方和说法正确的是
（
A.等于各组离差平方和之差
B.等于各组离差平方和之和
C.与分组方式无关
D.数值一定大于组间离差平方和
（
B
）A.等于各组离差平方和之差
B.等于各组离差平方和之和
C.与分组方式无关
D.数值一定大于组间离差平方和
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先明确组内离差平方和的定义，再逐个验证选项对错：首先从定义出发判断A、B选项的正误；再思考分组方式变化对每组数据构成的影响，判断C选项；最后通过举反例验证D选项的说法是否绝对成立。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 判断A、B选项：组内离差平方和的定义为，数据分组后，先计算每个组内各数据与本组平均数的差的平方和，再将所有组的上述平方和相加得到总组内离差平方和，因此组内离差平方和等于各组离差平方和之和，A错误，B正确。
2. 判断C选项：若分组方式改变，每组包含的数据会发生变化，对应的组平均数、组内离差平方和也会随之改变，因此组内离差平方和与分组方式有关，C错误。
3. 判断D选项：组内离差平方和与组间离差平方和的大小关系不固定，当各组数据间差异很大、每组内部数据非常集中时，组间离差平方和会大于组内离差平方和，因此“数值一定大于组间离差平方和”的说法不成立，D错误。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和的概念；数据分组的特征
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对组内离差平方和定义和性质的理解，只要牢记相关概念，即可快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时先明确组内离差平方和的定义，再逐个验证选项对错：首先从定义出发判断A、B选项的正误；再思考分组方式变化对每组数据构成的影响，判断C选项；最后通过举反例验证D选项的说法是否绝对成立。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 判断A、B选项：组内离差平方和的定义为，数据分组后，先计算每个组内各数据与本组平均数的差的平方和，再将所有组的上述平方和相加得到总组内离差平方和，因此组内离差平方和等于各组离差平方和之和，A错误，B正确。
2. 判断C选项：若分组方式改变，每组包含的数据会发生变化，对应的组平均数、组内离差平方和也会随之改变，因此组内离差平方和与分组方式有关，C错误。
3. 判断D选项：组内离差平方和与组间离差平方和的大小关系不固定，当各组数据间差异很大、每组内部数据非常集中时，组间离差平方和会大于组内离差平方和，因此“数值一定大于组间离差平方和”的说法不成立，D错误。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和的概念；数据分组的特征
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对组内离差平方和定义和性质的理解，只要牢记相关概念，即可快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.8
2.数据2,4,6,8,10的离差平方和为 （
A.20
B.30
C.40
D.50
C
）A.20
B.30
C.40
D.50
答案
2.C
解析
【分析】
要计算一组数据的离差平方和，需遵循固定的计算逻辑：首先先求出这组数据的平均数；接着分别计算每个数据和平均数的差值，再对每个差值求平方；最后把所有平方结果相加，所得总和就是离差平方和，再对应选项选出答案即可。
【解析】
步骤1：计算该组数据的平均数
这组数据共有5个，平均数$\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$
步骤2：计算离差平方和
离差平方和为每个数据与平均数的差的平方之和，代入计算：
$\begin{aligned}&(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2\\=&(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2\\=&16+4+0+4+16\\=&40\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握离差平方和的计算流程，计算时注意平方运算的符号规则，避免出现计算失误即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的离差平方和，需遵循固定的计算逻辑：首先先求出这组数据的平均数；接着分别计算每个数据和平均数的差值，再对每个差值求平方；最后把所有平方结果相加，所得总和就是离差平方和，再对应选项选出答案即可。
【解析】
步骤1：计算该组数据的平均数
这组数据共有5个，平均数$\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$
步骤2：计算离差平方和
离差平方和为每个数据与平均数的差的平方之和，代入计算：
$\begin{aligned}&(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2\\=&(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2\\=&16+4+0+4+16\\=&40\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握离差平方和的计算流程，计算时注意平方运算的符号规则，避免出现计算失误即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
3.将数据1,2,3,4,5分成两组{1,2,3}和{4,5},则组内离差平方和为 （
A.2
B.2.5
C.3
D.4
B
）A.2
B.2.5
C.3
D.4
答案
3.B
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，首先明确计算规则：先分别求出每组数据的平均数，再计算每组内每个数据与本组平均数的差的平方之和，最后将两个组的离差平方和相加，得到总的组内离差平方和，按这个步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 计算第一组$\{1,2,3\}$的离差平方和
① 第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{1+2+3}{3}=2$
② 第一组离差平方和：$(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=1+0+1=2$
2. 计算第二组$\{4,5\}$的离差平方和
① 第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{4+5}{2}=4.5$
② 第二组离差平方和：$(4-4.5)^2+(5-4.5)^2=0.25+0.25=0.5$
3. 总组内离差平方和：$2+0.5=2.5$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，核心是理解离差平方和的含义，按“求组平均数→计算组内平方和→求和”的步骤计算即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
要计算组内离差平方和，首先明确计算规则：先分别求出每组数据的平均数，再计算每组内每个数据与本组平均数的差的平方之和，最后将两个组的离差平方和相加，得到总的组内离差平方和，按这个步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 计算第一组$\{1,2,3\}$的离差平方和
① 第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{1+2+3}{3}=2$
② 第一组离差平方和：$(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=1+0+1=2$
2. 计算第二组$\{4,5\}$的离差平方和
① 第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{4+5}{2}=4.5$
② 第二组离差平方和：$(4-4.5)^2+(5-4.5)^2=0.25+0.25=0.5$
3. 总组内离差平方和：$2+0.5=2.5$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算，核心是理解离差平方和的含义，按“求组平均数→计算组内平方和→求和”的步骤计算即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
4. 下列说法正确的是 （
A.方差越大，数据越稳定
B.离差平方和越小，数据波动越小
C.离差平方和=方差×组数
D.方差与离差平方和无关
B
）A.方差越大，数据越稳定
B.离差平方和越小，数据波动越小
C.离差平方和=方差×组数
D.方差与离差平方和无关
答案
4.B
解析
【分析】
解题时需先回忆方差、离差平方和的定义与相关性质，再逐一判断每个选项的正误：首先明确方差是衡量数据稳定程度的统计量，方差越小，数据波动越小、越稳定；再结合方差的计算公式理清离差平方和与方差的数量关系，排查选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方差是反映数据波动大小的统计量，方差越大，数据波动越大，稳定性越差，因此A错误；
B. 离差平方和是所有数据与平均数的差的平方之和，离差平方和越小，说明各数据偏离平均数的程度越小，数据的波动就越小，因此B正确；
C. 根据方差的计算公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，其中$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$为离差平方和，$n$是数据的总个数，可得离差平方和=方差×数据总个数，而非组数，因此C错误；
D. 由方差的计算公式可知，方差是离差平方和除以数据总个数得到的，二者存在明确的数量关系，并非无关，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
方差的性质，离差平方和的概念，方差的计算公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕反映数据波动程度的两个统计量设置考点，解题的关键是准确记忆方差、离差平方和的意义及二者的数量关系，做题时注意区分数据总个数和组数的差异，避免误选C。
【难度系数】
0.8
解题时需先回忆方差、离差平方和的定义与相关性质，再逐一判断每个选项的正误：首先明确方差是衡量数据稳定程度的统计量，方差越小，数据波动越小、越稳定；再结合方差的计算公式理清离差平方和与方差的数量关系，排查选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方差是反映数据波动大小的统计量，方差越大，数据波动越大，稳定性越差，因此A错误；
B. 离差平方和是所有数据与平均数的差的平方之和，离差平方和越小，说明各数据偏离平均数的程度越小，数据的波动就越小，因此B正确；
C. 根据方差的计算公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，其中$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$为离差平方和，$n$是数据的总个数，可得离差平方和=方差×数据总个数，而非组数，因此C错误；
D. 由方差的计算公式可知，方差是离差平方和除以数据总个数得到的，二者存在明确的数量关系，并非无关，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
方差的性质，离差平方和的概念，方差的计算公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕反映数据波动程度的两个统计量设置考点，解题的关键是准确记忆方差、离差平方和的意义及二者的数量关系，做题时注意区分数据总个数和组数的差异，避免误选C。
【难度系数】
0.8
5.数据1,1,2,2,4的离差平方和为
6
，方差为1.2
。答案
5.6 1.2
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照固定的统计计算逻辑逐步推导：首先先计算这组数据的平均数，其次计算每个数据与平均数的差的平方，将这些平方值相加就能得到离差平方和；最后用离差平方和除以数据的总个数，即可得到方差。整个过程要注意计算准确，避免平方、加法运算出错。
【解析】
1. 计算平均数：
这组数据为1,1,2,2,4，总共有5个数据。
数据总和 = $1+1+2+2+4=10$
平均数$\bar{x}=\frac{\mathrm{数据总和}}{\mathrm{数据个数}}=\frac{10}{5}=2$
2. 计算离差平方和：
离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，公式为$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$
代入数据计算：
$(1-2)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2 + (2-2)^2 + (4-2)^2$
$=(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2$
$=1+1+0+0+4=6$
3. 计算方差：
方差是离差平方和除以数据总个数，公式为$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}$
代入数据得：$s^2=\frac{6}{5}=1.2$
【答案】
6；1.2
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；方差计算
【点评】
这道题属于统计模块的基础计算题，核心是牢记离差平方和、方差的计算顺序和公式，只要掌握先求平均数、再求离差平方和、最后求方差的步骤，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按照固定的统计计算逻辑逐步推导：首先先计算这组数据的平均数，其次计算每个数据与平均数的差的平方，将这些平方值相加就能得到离差平方和；最后用离差平方和除以数据的总个数，即可得到方差。整个过程要注意计算准确，避免平方、加法运算出错。
【解析】
1. 计算平均数：
这组数据为1,1,2,2,4，总共有5个数据。
数据总和 = $1+1+2+2+4=10$
平均数$\bar{x}=\frac{\mathrm{数据总和}}{\mathrm{数据个数}}=\frac{10}{5}=2$
2. 计算离差平方和：
离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，公式为$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$
代入数据计算：
$(1-2)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2 + (2-2)^2 + (4-2)^2$
$=(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2$
$=1+1+0+0+4=6$
3. 计算方差：
方差是离差平方和除以数据总个数，公式为$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}$
代入数据得：$s^2=\frac{6}{5}=1.2$
【答案】
6；1.2
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；方差计算
【点评】
这道题属于统计模块的基础计算题，核心是牢记离差平方和、方差的计算顺序和公式，只要掌握先求平均数、再求离差平方和、最后求方差的步骤，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
6.一组数据离差平方和为40，共5个数据，则方差为
8
。答案
6.8
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的计算公式：方差等于离差平方和除以数据的总个数。题目已经直接给出离差平方和为40、数据总个数为5，只需将已知条件代入公式即可求出方差。
【解析】
根据方差的定义，方差的计算公式为：
$ s^2=\frac{\mathrm{离差平方和}}{n} $（其中$n$为数据的总个数）
已知离差平方和为40，数据个数$n=5$，代入公式得：
$s^2=40÷5=8$
【答案】
8
【知识点】
方差的计算
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记方差的计算公式，只要掌握公式对应代入已知条件即可求解，没有计算难度。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆方差的计算公式：方差等于离差平方和除以数据的总个数。题目已经直接给出离差平方和为40、数据总个数为5，只需将已知条件代入公式即可求出方差。
【解析】
根据方差的定义，方差的计算公式为：
$ s^2=\frac{\mathrm{离差平方和}}{n} $（其中$n$为数据的总个数）
已知离差平方和为40，数据个数$n=5$，代入公式得：
$s^2=40÷5=8$
【答案】
8
【知识点】
方差的计算
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记方差的计算公式，只要掌握公式对应代入已知条件即可求解，没有计算难度。
【难度系数】
0.9
7.将数据87,88,90,91,92,92,96,98分成两组{87,88,90,91,92,92}和{96,98},则组内离差平方和为
24
。答案
7.24
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，首先需要分别求出两组数据各自的平均数，再依次计算每组中每个数据与本组平均数的差的平方的和，最后将两个组的离差平方和相加，就能得到最终的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组$\{87,88,90,91,92,92\}$的离差平方和：
先求第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$
第一组离差平方和：
$\begin{aligned} S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\ &=9+4+0+1+4+4\\ &=22 \end{aligned}$
2. 计算第二组$\{96,98\}$的离差平方和：
先求第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{96+98}{2}=97$
第二组离差平方和：
$\begin{aligned} S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\ &=1+1\\ &=2 \end{aligned}$
3. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数的计算、离差平方和计算
【点评】
本题核心是理解离差平方和的含义，计算过程难度较低，只需按照先求每组平均数、再算每组离差平方和、最后求和的步骤计算即可，计算时注意仔细核对求和结果，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要计算组内离差平方和，首先需要分别求出两组数据各自的平均数，再依次计算每组中每个数据与本组平均数的差的平方的和，最后将两个组的离差平方和相加，就能得到最终的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组$\{87,88,90,91,92,92\}$的离差平方和：
先求第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$
第一组离差平方和：
$\begin{aligned} S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\ &=9+4+0+1+4+4\\ &=22 \end{aligned}$
2. 计算第二组$\{96,98\}$的离差平方和：
先求第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{96+98}{2}=97$
第二组离差平方和：
$\begin{aligned} S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\ &=1+1\\ &=2 \end{aligned}$
3. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数的计算、离差平方和计算
【点评】
本题核心是理解离差平方和的含义，计算过程难度较低，只需按照先求每组平均数、再算每组离差平方和、最后求和的步骤计算即可，计算时注意仔细核对求和结果，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
8.某班5名学生的数学成绩(单位:分)为70，75,80,85,90。
（1）计算这组数据的离差平方和；
（2）若分为两组(前2个为一组，后3个为一组)，分别计算两组数据的离差平方和，并求这种分法的组内离差平方和。
（1）计算这组数据的离差平方和；
（2）若分为两组(前2个为一组，后3个为一组)，分别计算两组数据的离差平方和，并求这种分法的组内离差平方和。
答案
8.解:(1)平均数：$\overline{x}=\frac{70+75+80+85+90}{5}=\frac{400}{5}=80$(分)，
离差平方和:$(70-80)^2+(75-80)^2+(80-80)^2+(85-80)^2+(90-80)^2=100+25+0+25+100=250$。
所以,这组数据的离差平方和为250。
(2)①第一组(数据:70,75):$\overline{x}_1=\frac{70+75}{2}=72.5$(分)；
离差平方和:$(70-72.5)^2+(75-72.5)^2=6.25+6.25=12.5$。
②第二组(数据:80,85,90):$\overline{x}_2=\frac{80+85+90}{3}=85$(分)；
离差平方和:$(80-85)^2+(85-85)^2+(90-85)^2=25+0+25=50$。
③组内离差平方和:12.5+50=62.5。
所以,第一组的离差平方和为12.5,第二组的离差平方和为50,组内离差平方和为62.5。
离差平方和:$(70-80)^2+(75-80)^2+(80-80)^2+(85-80)^2+(90-80)^2=100+25+0+25+100=250$。
所以,这组数据的离差平方和为250。
(2)①第一组(数据:70,75):$\overline{x}_1=\frac{70+75}{2}=72.5$(分)；
离差平方和:$(70-72.5)^2+(75-72.5)^2=6.25+6.25=12.5$。
②第二组(数据:80,85,90):$\overline{x}_2=\frac{80+85+90}{3}=85$(分)；
离差平方和:$(80-85)^2+(85-85)^2+(90-85)^2=25+0+25=50$。
③组内离差平方和:12.5+50=62.5。
所以,第一组的离差平方和为12.5,第二组的离差平方和为50,组内离差平方和为62.5。
解析
【分析】
计算离差平方和的核心逻辑是：先求出对应数据组的平均数，再计算每个数据与该平均数的差的平方，最后将所有平方值求和。（1）问计算整组数据的离差平方和，先求5个数据的总平均数，再按公式计算即可；（2）问需先分别计算两组数据各自的平均数，再分别求出每组的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可得到组内离差平方和。
【解析】
(1) 先计算整组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{70+75+80+85+90}{5}=\frac{400}{5}=80$（分）
离差平方和为所有数据与平均数差的平方之和：
$(70-80)^2+(75-80)^2+(80-80)^2+(85-80)^2+(90-80)^2=100+25+0+25+100=250$
(2) 分组计算：
① 第一组数据为70、75，计算本组平均数：
$\overline{x}_1=\frac{70+75}{2}=72.5$（分）
第一组离差平方和：
$(70-72.5)^2+(75-72.5)^2=6.25+6.25=12.5$
② 第二组数据为80、85、90，计算本组平均数：
$\overline{x}_2=\frac{80+85+90}{3}=85$（分）
第二组离差平方和：
$(80-85)^2+(85-85)^2+(90-85)^2=25+0+25=50$
③ 组内离差平方和为两组离差平方和的和：
$12.5+50=62.5$
【答案】
(1) 这组数据的离差平方和为250；
(2) 第一组离差平方和为12.5，第二组离差平方和为50，该分法的组内离差平方和为62.5。
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算、组内离差平方和计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查离差平方和的计算方法，解题关键是牢记计算步骤，先求对应数据组的平均数，再逐步计算差的平方和，计算时注意细心即可避免错误。
【难度系数】
0.8
计算离差平方和的核心逻辑是：先求出对应数据组的平均数，再计算每个数据与该平均数的差的平方，最后将所有平方值求和。（1）问计算整组数据的离差平方和，先求5个数据的总平均数，再按公式计算即可；（2）问需先分别计算两组数据各自的平均数，再分别求出每组的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可得到组内离差平方和。
【解析】
(1) 先计算整组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{70+75+80+85+90}{5}=\frac{400}{5}=80$（分）
离差平方和为所有数据与平均数差的平方之和：
$(70-80)^2+(75-80)^2+(80-80)^2+(85-80)^2+(90-80)^2=100+25+0+25+100=250$
(2) 分组计算：
① 第一组数据为70、75，计算本组平均数：
$\overline{x}_1=\frac{70+75}{2}=72.5$（分）
第一组离差平方和：
$(70-72.5)^2+(75-72.5)^2=6.25+6.25=12.5$
② 第二组数据为80、85、90，计算本组平均数：
$\overline{x}_2=\frac{80+85+90}{3}=85$（分）
第二组离差平方和：
$(80-85)^2+(85-85)^2+(90-85)^2=25+0+25=50$
③ 组内离差平方和为两组离差平方和的和：
$12.5+50=62.5$
【答案】
(1) 这组数据的离差平方和为250；
(2) 第一组离差平方和为12.5，第二组离差平方和为50，该分法的组内离差平方和为62.5。
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算、组内离差平方和计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查离差平方和的计算方法，解题关键是牢记计算步骤，先求对应数据组的平均数，再逐步计算差的平方和，计算时注意细心即可避免错误。
【难度系数】
0.8
