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(1)折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.
(2)折痕可看作垂直平分线:如图,GF⊥
(3)折痕可看作角平分线:如图,∠EGF=
(2)折痕可看作垂直平分线:如图,GF⊥
AE
,GE=GA
,AO=EO
(折痕垂直平分两个对应点的连线).(3)折痕可看作角平分线:如图,∠EGF=
∠AGF
(对称线段所在的直线与折痕的对应夹角相等).答案
(2) AE GA EO (3) ∠AGF
解析
【分析】
解决本题首先要明确折叠属于轴对称变换，折痕是对应轴对称轴，结合轴对称的性质分析即可：
1. 针对第(2)问，先确定折叠的对应点：图中点A和点E是一组对应点，根据“折痕垂直平分对应点的连线”的性质，即可推导垂直关系和相等线段；
2. 针对第(3)问，根据轴对称中“对应线段与对称轴的夹角相等”的特征，结合角平分线的定义即可得到相等的角。
【解析】
折叠是轴对称变换，折痕GF为该轴对称的对称轴：
(2) 点A与点E是折叠前后的对应点，连线为AE，根据折痕垂直平分对应点的连线可得：
GF⊥AE，且AE被GF平分，即AO=EO；
又因为点G在对称轴GF上，对称轴上的点到两个对应点的距离相等，因此GE=GA。
(3) AG、EG是折叠前后的对应线段，根据对称线段与折痕的夹角相等，可得∠EGF=∠AGF，也可理解为折痕GF平分∠AGE，因此两个角相等。
【答案】
(2) AE；GA；EO
(3) ∠AGF
【知识点】
折叠的性质；轴对称的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是折叠问题的基础概念题，核心考查折叠的轴对称本质，熟练掌握这些基础性质是解决复杂折叠类几何题的前提。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确折叠属于轴对称变换，折痕是对应轴对称轴，结合轴对称的性质分析即可：
1. 针对第(2)问，先确定折叠的对应点：图中点A和点E是一组对应点，根据“折痕垂直平分对应点的连线”的性质，即可推导垂直关系和相等线段；
2. 针对第(3)问，根据轴对称中“对应线段与对称轴的夹角相等”的特征，结合角平分线的定义即可得到相等的角。
【解析】
折叠是轴对称变换，折痕GF为该轴对称的对称轴：
(2) 点A与点E是折叠前后的对应点，连线为AE，根据折痕垂直平分对应点的连线可得：
GF⊥AE，且AE被GF平分，即AO=EO；
又因为点G在对称轴GF上，对称轴上的点到两个对应点的距离相等，因此GE=GA。
(3) AG、EG是折叠前后的对应线段，根据对称线段与折痕的夹角相等，可得∠EGF=∠AGF，也可理解为折痕GF平分∠AGE，因此两个角相等。
【答案】
(2) AE；GA；EO
(3) ∠AGF
【知识点】
折叠的性质；轴对称的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是折叠问题的基础概念题，核心考查折叠的轴对称本质，熟练掌握这些基础性质是解决复杂折叠类几何题的前提。
【难度系数】
0.9
1.(2025·河南)如图,在菱形$ABCD$中,$∠ B=45°$,$AB=6$,点$E$在边$BC$上,连接$AE$.将$△ ABE$沿$AE$折叠,若点$B$落在$BC$延长线上的点$F$处,则$CF$的长为 (
A.$2$
B.$6-3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2}-6$
D
)A.$2$
B.$6-3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2}-6$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据菱形四边相等的性质可直接得到BC的长度；再结合折叠的性质，可知折叠后对应线段BE=EF，且折痕AE垂直于BF；接下来在Rt△ABE中，利用45°角的三角函数值（或等腰直角三角形三边关系）求出BE的长度，即可得到BF的总长，最后用BF的长度减去菱形边长BC，就能算出CF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴BC=AB=6。
∵将△ABE沿AE折叠，点B落在BC延长线的点F处，
∴BE=EF，AE⊥BF。
在Rt△ABE中，∠B=45°，
∴$BE = AB·\cos45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$，
∴$BF = BE + EF = 2BE = 6\sqrt{2}$，
∴$CF = BF - BC = 6\sqrt{2} - 6$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形
【点评】
本题是特殊平行四边形与折叠结合的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后的不变量，结合特殊角的性质快速求解线段长度，是几何综合题的常见考法。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件入手：首先根据菱形四边相等的性质可直接得到BC的长度；再结合折叠的性质，可知折叠后对应线段BE=EF，且折痕AE垂直于BF；接下来在Rt△ABE中，利用45°角的三角函数值（或等腰直角三角形三边关系）求出BE的长度，即可得到BF的总长，最后用BF的长度减去菱形边长BC，就能算出CF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴BC=AB=6。
∵将△ABE沿AE折叠，点B落在BC延长线的点F处，
∴BE=EF，AE⊥BF。
在Rt△ABE中，∠B=45°，
∴$BE = AB·\cos45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$，
∴$BF = BE + EF = 2BE = 6\sqrt{2}$，
∴$CF = BF - BC = 6\sqrt{2} - 6$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形
【点评】
本题是特殊平行四边形与折叠结合的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后的不变量，结合特殊角的性质快速求解线段长度，是几何综合题的常见考法。
【难度系数】
0.65
2. 如图，将正方形ABCD对折，使边AB与CD重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为$A'$，折痕为DE。若$BC=6$，则$A'N$的长为
$6-3\sqrt{3}$
。答案
2.$6-3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：①首先利用正方形的性质，确定正方形各边的长度，再结合第一次对折得到折痕MN的性质，求出MN的长度、DM的长度；②再根据第二次折叠的性质，得到DA'与DA的等量关系；③在Rt△DMA'中用勾股定理求出A'M的长度，最后用MN的长度减去A'M的长度即可得到A'N的长。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，BC=6，
∴AD=CD=BC=6，∠DMN=90°，
∵将正方形ABCD对折，AB与CD重合，折痕为MN，
∴MN=BC=6，DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵将点A沿DE折叠到MN上的点A'处，
∴DA'=DA=6，
在Rt△DMA'中，由勾股定理得：
$A'M=\sqrt{DA'^2 - DM^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∴$A'N=MN - A'M=6 - 3\sqrt{3}$。
【答案】
$6-3\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合正方形的特征构造直角三角形，利用勾股定理求解未知线段长度。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤梳理：①首先利用正方形的性质，确定正方形各边的长度，再结合第一次对折得到折痕MN的性质，求出MN的长度、DM的长度；②再根据第二次折叠的性质，得到DA'与DA的等量关系；③在Rt△DMA'中用勾股定理求出A'M的长度，最后用MN的长度减去A'M的长度即可得到A'N的长。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，BC=6，
∴AD=CD=BC=6，∠DMN=90°，
∵将正方形ABCD对折，AB与CD重合，折痕为MN，
∴MN=BC=6，DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵将点A沿DE折叠到MN上的点A'处，
∴DA'=DA=6，
在Rt△DMA'中，由勾股定理得：
$A'M=\sqrt{DA'^2 - DM^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∴$A'N=MN - A'M=6 - 3\sqrt{3}$。
【答案】
$6-3\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合正方形的特征构造直角三角形，利用勾股定理求解未知线段长度。
【难度系数】
0.7
3.【以题明法】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,将矩形沿对角线BD折叠,点C落在点C'处,BC'交AD于点E,求AE的长.
【思路引导】第一步,设未知数:设AE=x,则DE=
第二步,利用折叠找相等的角、线段:由折叠的性质,得∠C'BD=
第三步,利用勾股定理列方程:在Rt△ABE中,AB²+AE²=BE²,即3²+x²=(
第四步,解方程,得AE=x=
第3题图 第4题图
【思路引导】第一步,设未知数:设AE=x,则DE=
$4-x$
.第二步,利用折叠找相等的角、线段:由折叠的性质,得∠C'BD=
∠CBD
;由AD//BC,得∠CBD=∠ADB,则∠C'BD=∠ADB.∴DE=BE
.第三步,利用勾股定理列方程:在Rt△ABE中,AB²+AE²=BE²,即3²+x²=(
$4-x$
)².第四步,解方程,得AE=x=
$\frac{7}{8}$
.第3题图 第4题图
答案
3.$4-x$ $∠ CBD$ $BE$ $4-x$ $\frac{7}{8}$
解析
【分析】
本题为矩形折叠类问题，解题思路如下：首先结合矩形对边相等的性质，用含未知数的式子表示出相关线段的长度；再利用折叠前后对应角相等的性质，结合矩形对边平行的内错角相等关系，推导得到等角，进而判定等腰三角形得到相等的线段；最后在直角三角形中应用勾股定理列方程，求解未知数即可得到AE的长度。
【解析】
第一步：已知AD=4，设AE=x，由AD=AE+DE可得DE=$4-x$；
第二步：根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此$∠ C'BD=∠ CBD$；又矩形ABCD中AD//BC，内错角相等得$∠ CBD=∠ ADB$，等量代换得$∠ C'BD=∠ ADB$，即△BED为等腰三角形，因此$DE=BE$；
第三步：由上述结论得$BE=DE=4-x$，在Rt△ABE中，∠A为直角，根据勾股定理$AB^2+AE^2=BE^2$，代入AB=3、AE=x、BE=4-x，可得$3^2+x^2=(4-x)^2$；
第四步：解方程：
$9+x^2=16-8x+x^2$
消去$x^2$后移项得$8x=7$，解得$x=\frac{7}{8}$，即AE=$\frac{7}{8}$。
【答案】
$4-x$；$∠ CBD$；$BE$；$4-x$；$\frac{7}{8}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠的典型基础题，通过折叠性质、平行线性质得到等腰三角形，再结合勾股定理构造方程求解，很好地考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
本题为矩形折叠类问题，解题思路如下：首先结合矩形对边相等的性质，用含未知数的式子表示出相关线段的长度；再利用折叠前后对应角相等的性质，结合矩形对边平行的内错角相等关系，推导得到等角，进而判定等腰三角形得到相等的线段；最后在直角三角形中应用勾股定理列方程，求解未知数即可得到AE的长度。
【解析】
第一步：已知AD=4，设AE=x，由AD=AE+DE可得DE=$4-x$；
第二步：根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此$∠ C'BD=∠ CBD$；又矩形ABCD中AD//BC，内错角相等得$∠ CBD=∠ ADB$，等量代换得$∠ C'BD=∠ ADB$，即△BED为等腰三角形，因此$DE=BE$；
第三步：由上述结论得$BE=DE=4-x$，在Rt△ABE中，∠A为直角，根据勾股定理$AB^2+AE^2=BE^2$，代入AB=3、AE=x、BE=4-x，可得$3^2+x^2=(4-x)^2$；
第四步：解方程：
$9+x^2=16-8x+x^2$
消去$x^2$后移项得$8x=7$，解得$x=\frac{7}{8}$，即AE=$\frac{7}{8}$。
【答案】
$4-x$；$∠ CBD$；$BE$；$4-x$；$\frac{7}{8}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠的典型基础题，通过折叠性质、平行线性质得到等腰三角形，再结合勾股定理构造方程求解，很好地考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
4.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠C=60°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕为EF.若$DG=\frac{1}{3}BG$,则BE的长为
$\frac{7}{5}$
.答案
4.$\frac{7}{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据菱形的性质可得AB=AD，∠A=∠C=60°，可判定△ABD是等边三角形，得到BD=AB=4，结合DG=1/3 BG求出BG的长度；2. 由折叠的性质可知折叠后AE=EG，设BE的长为x，用含x的代数式表示出EG的长度；3. 过E作BD的垂线构造直角三角形，利用含60°角的直角三角形的性质表示出直角边的长度，再根据勾股定理列方程求解即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠C=60°，
∴AB=AD=4，∠A=∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，∠ABD=60°。
∵DG=1/3 BG，DG+BG=BD=4，
∴$\frac{1}{3}BG + BG=4$，解得$BG=3$。
设$BE=x$，则$AE=AB-BE=4-x$，
由折叠的性质可得$EG=AE=4-x$。
过点E作$EH⊥BD$于点H，
在$Rt△BEH$中，∠EBH=60°，
∴$BH=\frac{1}{2}BE=\frac{x}{2}$，$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴$GH=BG-BH=3-\frac{x}{2}$。
在$Rt△EGH$中，由勾股定理得$EG^2=EH^2+GH^2$，
代入得：$(4-x)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2+(3-\frac{x}{2})^2$，
展开化简：$16-8x+x^2=\frac{3}{4}x^2+9-3x+\frac{1}{4}x^2$，
即$16-8x+x^2=x^2-3x+9$，
整理得$5x=7$，解得$x=\frac{7}{5}$。
【答案】
$\frac{7}{5}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题目，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合菱形和等边三角形的性质，通过构造直角三角形、设未知数列方程的方式求解，很好地体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先根据菱形的性质可得AB=AD，∠A=∠C=60°，可判定△ABD是等边三角形，得到BD=AB=4，结合DG=1/3 BG求出BG的长度；2. 由折叠的性质可知折叠后AE=EG，设BE的长为x，用含x的代数式表示出EG的长度；3. 过E作BD的垂线构造直角三角形，利用含60°角的直角三角形的性质表示出直角边的长度，再根据勾股定理列方程求解即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠C=60°，
∴AB=AD=4，∠A=∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，∠ABD=60°。
∵DG=1/3 BG，DG+BG=BD=4，
∴$\frac{1}{3}BG + BG=4$，解得$BG=3$。
设$BE=x$，则$AE=AB-BE=4-x$，
由折叠的性质可得$EG=AE=4-x$。
过点E作$EH⊥BD$于点H，
在$Rt△BEH$中，∠EBH=60°，
∴$BH=\frac{1}{2}BE=\frac{x}{2}$，$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴$GH=BG-BH=3-\frac{x}{2}$。
在$Rt△EGH$中，由勾股定理得$EG^2=EH^2+GH^2$，
代入得：$(4-x)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2+(3-\frac{x}{2})^2$，
展开化简：$16-8x+x^2=\frac{3}{4}x^2+9-3x+\frac{1}{4}x^2$，
即$16-8x+x^2=x^2-3x+9$，
整理得$5x=7$，解得$x=\frac{7}{5}$。
【答案】
$\frac{7}{5}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠类的典型题目，解题的关键是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合菱形和等边三角形的性质，通过构造直角三角形、设未知数列方程的方式求解，很好地体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 (
A.(3,10)
B.(4,10)
C.(3,8)
D.(4,8)
第5题图 第6题图
A
)A.(3,10)
B.(4,10)
C.(3,8)
D.(4,8)
第5题图 第6题图
答案
5.A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步利用折叠性质得BF=BC，结合正方形边长相等的性质，在Rt△BOF中用勾股定理求出正方形的边长，确定CD边所在直线的纵坐标；第二步设出点E坐标，根据折叠后EF=CE，再次利用勾股定理列方程求解点E的横坐标即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ m $。
已知点$ A(-2,0) $，则$ OA=2 $，点$ B $的坐标为$ (m-2,0) $，$ BC=m $，$ OB=m-2 $。
由折叠的性质可知$ BF=BC=m $，在$ \mathrm{Rt}△ BOF $中，$ OF=6 $，根据勾股定理：
$OB^2 + OF^2 = BF^2$
代入得$ (m-2)^2 + 6^2 = m^2 $，展开化简：
$m^2 -4m +4 +36 = m^2 \implies -4m +40 = 0 \implies m=10$
即正方形边长为10，因此CD边所在直线的纵坐标为10，点$ C $的坐标为$ (8,10) $。
设点$ E $的坐标为$ (x,10) $，则$ CE=8-x $，由折叠性质得$ EF=CE=8-x $。
已知$ F(0,6) $，根据两点距离公式，$ EF^2 = x^2 + (10-6)^2 = x^2 +16 $，因此列方程：
$x^2 +16 = (8-x)^2$
展开化简：
$x^2 +16 = 64 -16x +x^2 \implies 16x = 48 \implies x=3$
因此点$ E $的坐标为$ (3,10) $。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠的典型题型，核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合勾股定理建立方程求解，体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为两步：第一步利用折叠性质得BF=BC，结合正方形边长相等的性质，在Rt△BOF中用勾股定理求出正方形的边长，确定CD边所在直线的纵坐标；第二步设出点E坐标，根据折叠后EF=CE，再次利用勾股定理列方程求解点E的横坐标即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ m $。
已知点$ A(-2,0) $，则$ OA=2 $，点$ B $的坐标为$ (m-2,0) $，$ BC=m $，$ OB=m-2 $。
由折叠的性质可知$ BF=BC=m $，在$ \mathrm{Rt}△ BOF $中，$ OF=6 $，根据勾股定理：
$OB^2 + OF^2 = BF^2$
代入得$ (m-2)^2 + 6^2 = m^2 $，展开化简：
$m^2 -4m +4 +36 = m^2 \implies -4m +40 = 0 \implies m=10$
即正方形边长为10，因此CD边所在直线的纵坐标为10，点$ C $的坐标为$ (8,10) $。
设点$ E $的坐标为$ (x,10) $，则$ CE=8-x $，由折叠性质得$ EF=CE=8-x $。
已知$ F(0,6) $，根据两点距离公式，$ EF^2 = x^2 + (10-6)^2 = x^2 +16 $，因此列方程：
$x^2 +16 = (8-x)^2$
展开化简：
$x^2 +16 = 64 -16x +x^2 \implies 16x = 48 \implies x=3$
因此点$ E $的坐标为$ (3,10) $。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形折叠的典型题型，核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合勾股定理建立方程求解，体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
6. (2024·济南)如图,在矩形纸片ABCD中, $AB=\sqrt{2},AD=2,E$ 为边AD 的中点,点 F 在边 CD 上,连接 EF,将$△ DEF$沿 EF 翻折,点 D 的对应点为 $D'$,连接 $BD'$.若 $BD'=2$,则 $DF=$
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
.答案
6.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是矩形中的折叠问题，解题思路如下：1. 先利用折叠的性质得到对应边相等：$ED'=ED$，已知E是AD中点，$AD=2$，可得$ED'=ED=1$；2. 结合已知$BD'=2$、矩形的边长，可通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式（勾股定理）列方程求解得到点$D'$的坐标；3. 再根据折痕EF是线段$DD'$的垂直平分线，可知$DD'$的中点在EF上，结合EF的解析式推导DF与$D'$坐标的关系，最终计算出DF的长度。
【解析】
解：以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则各点坐标为：$A(0,0)$，$B(0,\sqrt{2})$，$D(2,0)$，
∵E是AD中点，$AD=2$，
∴$E(1,0)$，$ED=1$。
设点$D'$的坐标为$(x,y)$，由折叠的性质得$ED'=ED=1$，
又
∵$BD'=2$，根据两点间距离公式列方程组：
$\begin{cases}(x-1)^2 + y^2 = 1^2 &①\\x^2 + (y-\sqrt{2})^2 = 2^2 &②\end{cases}$
展开①得：$x^2 -2x +1 + y^2 =1$，整理得$x^2 + y^2 = 2x$ ③
展开②得：$x^2 + y^2 - 2\sqrt{2}y + 2 =4$，整理得$x^2 + y^2 = 2 + 2\sqrt{2}y$ ④
联立③④得：$2x = 2 + 2\sqrt{2}y$，即$x = 1 + \sqrt{2}y$ ⑤
将⑤代入③得：$(1+\sqrt{2}y)^2 + y^2 = 2(1+\sqrt{2}y)$
展开化简得：$3y^2=1$，解得$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$（$D'$在矩形内，y取正值）
将$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入⑤得：$x=1+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$
设$DF=t$，则F点坐标为$(2,t)$，直线EF的斜率为$k_{EF}=\frac{t-0}{2-1}=t$，直线EF的解析式为$y=t(x-1)$
∵折痕EF垂直平分线段$DD'$，
∴$DD'$的中点$(\frac{x+2}{2},\frac{y}{2})$在直线EF上，
代入EF解析式得：$\frac{y}{2}=t(\frac{x+2}{2}-1)=\frac{tx}{2}$，化简得$y=tx$，即$t=\frac{y}{x}$
将$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$、$x=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$代入得：
$t=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{6})}{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})}=\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{9-6}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
即$DF=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于特殊平行四边形中的折叠综合题，核心是抓住折叠前后对应边相等、折痕是对应点连线的垂直平分线这两个核心性质，结合数形结合的思想即可求解，是折叠类问题的典型考法。
【难度系数】
0.4
本题是矩形中的折叠问题，解题思路如下：1. 先利用折叠的性质得到对应边相等：$ED'=ED$，已知E是AD中点，$AD=2$，可得$ED'=ED=1$；2. 结合已知$BD'=2$、矩形的边长，可通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式（勾股定理）列方程求解得到点$D'$的坐标；3. 再根据折痕EF是线段$DD'$的垂直平分线，可知$DD'$的中点在EF上，结合EF的解析式推导DF与$D'$坐标的关系，最终计算出DF的长度。
【解析】
解：以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则各点坐标为：$A(0,0)$，$B(0,\sqrt{2})$，$D(2,0)$，
∵E是AD中点，$AD=2$，
∴$E(1,0)$，$ED=1$。
设点$D'$的坐标为$(x,y)$，由折叠的性质得$ED'=ED=1$，
又
∵$BD'=2$，根据两点间距离公式列方程组：
$\begin{cases}(x-1)^2 + y^2 = 1^2 &①\\x^2 + (y-\sqrt{2})^2 = 2^2 &②\end{cases}$
展开①得：$x^2 -2x +1 + y^2 =1$，整理得$x^2 + y^2 = 2x$ ③
展开②得：$x^2 + y^2 - 2\sqrt{2}y + 2 =4$，整理得$x^2 + y^2 = 2 + 2\sqrt{2}y$ ④
联立③④得：$2x = 2 + 2\sqrt{2}y$，即$x = 1 + \sqrt{2}y$ ⑤
将⑤代入③得：$(1+\sqrt{2}y)^2 + y^2 = 2(1+\sqrt{2}y)$
展开化简得：$3y^2=1$，解得$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$（$D'$在矩形内，y取正值）
将$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入⑤得：$x=1+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$
设$DF=t$，则F点坐标为$(2,t)$，直线EF的斜率为$k_{EF}=\frac{t-0}{2-1}=t$，直线EF的解析式为$y=t(x-1)$
∵折痕EF垂直平分线段$DD'$，
∴$DD'$的中点$(\frac{x+2}{2},\frac{y}{2})$在直线EF上，
代入EF解析式得：$\frac{y}{2}=t(\frac{x+2}{2}-1)=\frac{tx}{2}$，化简得$y=tx$，即$t=\frac{y}{x}$
将$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$、$x=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$代入得：
$t=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{6})}{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})}=\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{9-6}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
即$DF=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于特殊平行四边形中的折叠综合题，核心是抓住折叠前后对应边相等、折痕是对应点连线的垂直平分线这两个核心性质，结合数形结合的思想即可求解，是折叠类问题的典型考法。
【难度系数】
0.4
