4.如图,四边形ABCD是正方形,E是边BC上任意一点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.求证:AE=EF.

证明:在AB上截取BM=BE,连接ME.
∵∠B=90°,
∴∠BME=∠BEM=45°.
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCG=45°.
∴∠AME=∠ECF=135°.
∵∠AEF=∠B=90°,
∴∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠MAE=90°.
∴∠CEF=∠MAE.
∵AB=BC,BM=BE,
∴AM=EC.
∴△AME≌△ECF(ASA).
∴AE=EF.

【分析】
要证明AE=EF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。本题中AE和EF没有直接所属的全等三角形，需结合已知条件构造：由正方形ABCD的性质可得∠B=90°、AB=BC，CF是正方形外角平分线可得45°角，因此可在AB上截取BM=BE，构造等腰直角三角形得到135°的∠AME，与∠ECF相等；再结合∠AEF=90°推导得到另一组等角，同时由AB=BC、BM=BE得到AM=EC，即可用ASA证明三角形全等，进而得到AE=EF。
【解析】
证明：在AB上截取BM=BE，连接ME。
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°。
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=45°，
∴∠AME=∠ECF=135°。
∵∠AEF=∠B=90°，
∴∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠MAE=90°，
∴∠CEF=∠MAE。
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC。
在△AME和△ECF中：
$\{\begin{array}{l}∠MAE=∠CEF \\AM=EC \\∠AME=∠ECF\end{array} $
∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF。
【答案】
AE=EF
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是正方形背景下的典型线段相等证明题，核心解题思路是通过构造辅助线得到全等三角形，将待证相等的线段转化为全等三角形的对应边，解题关键是灵活运用正方形和角平分线的性质得到等角、等边，掌握全等三角形的判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

5. (本专题T4变式)如图所示，四边形ABCD是正方形，E是边BC上任意一点，∠AEF=90°，且AE=EF. 求证:CF是正方形ABCD外角的平分线.

证明:在AB上取一点G,使得AG=EC,连接GE.
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠CEF=90°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°.
∴∠GAE+∠AEB=90°.
∴∠GAE=∠CEF. 又
∵AE=EF,
∴△AEG≌△EFC(SAS).
∴∠AGE=∠ECF.
∵AB=BC,AG=EC,
∴BG=BE.
∴∠BGE=45°.
∴∠ECF=∠AGE=135°.
∴∠DCF=∠FCH=45°.
∴CF是正方形ABCD外角的平分线.

【分析】
要证明CF是正方形ABCD的外角平分线，需证∠DCF=∠FCH=45°。结合已知AE=EF、∠AEF=90°和正方形的直角性质，可通过构造全等三角形转化角的关系：首先由同角的余角相等可得∠GAE=∠CEF，此时在AB上截取AG=EC，即可凑齐SAS全等的判定条件，证明△AEG≌△EFC，再结合等腰直角三角形的角度性质推导对应角的度数，最终得到角相等的结论。
【解析】
证明：在AB上取一点G，使得AG=EC，连接GE。
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°。
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∴∠GAE+∠AEB=90°，
∴∠GAE=∠CEF。
又
∵AE=EF，
∴△AEG≌△EFC（SAS），
∴∠AGE=∠ECF。
∵AB=BC，AG=EC，
∴BG=BE，
∴∠BGE=45°，
∴∠ECF=∠AGE=135°，
∴∠DCF=∠FCH=45°，
∴CF是正方形ABCD外角的平分线。
【答案】
证明:在AB上取一点G,使得AG=EC,连接GE.
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠CEF=90°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°.
∴∠GAE+∠AEB=90°.
∴∠GAE=∠CEF. 又
∵AE=EF,
∴△AEG≌△EFC(SAS).
∴∠AGE=∠ECF.
∵AB=BC,AG=EC,
∴BG=BE.
∴∠BGE=45°.
∴∠ECF=∠AGE=135°.
∴∠DCF=∠FCH=45°.
∴CF是正方形ABCD外角的平分线.
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定
【点评】
本题是正方形与全等三角形结合的常考题型，核心考查辅助线的构造能力，通过截取等线段构造全等三角形，将待证的角平分线问题转化为角的等量关系推导，能有效提升几何综合分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

6. 如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF=45°.
(1)求证：EF=AE+CF.
(2)当AE=1时，求EF的长.

(1)证明:延长BC至点H,使CH=AE,连接DH.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠A=∠DCH=90°.
∴△DAE≌△DCH(SAS).
∴DE=DH,∠ADE=∠CDH.
∵∠ADC=90°,∠EDF=45°,
∴∠ADE+∠FDC=45°.
∴∠FDC+∠CDH=45°,即∠HDF=45°.
∴∠EDF=∠HDF=45°. 又
∵DF=DF,
∴△EDF≌△HDF(SAS).
∴EF=HF.
∵HF=CH+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
(2)设EF=x,则HF=x.
∵正方形ABCD的边长为3,
∴AB=BC=3.
∵AE=1,
∴BE=2,CH=1.
∴CF=x-1.
∴BF=BC-CF=3-(x-1)=4-x. 在Rt△BEF中,
∵BE²+BF²=EF²,
∴2²+(4-x)²=x²,解得$x=\frac{5}{2}$.
∴$EF=\frac{5}{2}$.

【分析】
(1)要证明EF=AE+CF这类线段和差问题，常用截长补短的思路。结合正方形性质和∠EDF=45°的条件，采用补短法：延长BC到H使CH=AE，先证△DAE≌△DCH得到边和角的等量关系，推导得出∠EDF=∠HDF=45°，再证△EDF≌△HDF，即可得到EF=HF=AE+CF。
(2)已知正方形边长和AE的长度，结合第一问的结论，设EF为x，用含x的式子表示出Rt△BEF的各边长，再根据勾股定理列方程求解即可得到EF的长度。
【解析】
(1)证明:延长BC至点H,使CH=AE,连接DH.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠A=∠DCH=90°.
∴△DAE≌△DCH(SAS).
∴DE=DH,∠ADE=∠CDH.
∵∠ADC=90°,∠EDF=45°,
∴∠ADE+∠FDC=45°.
∴∠FDC+∠CDH=45°,即∠HDF=45°.
∴∠EDF=∠HDF=45°.
又
∵DF=DF,
∴△EDF≌△HDF(SAS).
∴EF=HF.
∵HF=CH+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
(2)设EF=x,则HF=x.
∵正方形ABCD的边长为3,
∴AB=BC=3.
∵AE=1,
∴BE=AB-AE=3-1=2,CH=AE=1.
由(1)的结论得CF=EF-AE=x-1,
∴BF=BC-CF=3-(x-1)=4-x.
在Rt△BEF中,由勾股定理得$BE^2+BF^2=EF^2$,
∴$2^2+(4-x)^2=x^2$,
展开整理得$20-8x=0$,解得$x=\frac{5}{2}$.
【答案】
(1)EF=AE+CF，证明成立；
(2)$EF=\frac{5}{2}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形半角模型的典型考法，截长补短构造全等是解决线段和差问题的常用方法，第二问结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65