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【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.在一次数学活动课上，老师给出正方形ABCD，让同学们分组讨论如何用尺规作内嵌于正方形的正八边形.
【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案：
| 甲组方案 | 乙组方案 |
| --- | --- |
| ①确定正方形ABCD的中心O；
②分别以点A,B,C,D为圆心，AO的长为半径画弧，与各边相交于点E,H,G,J,I,L,K,F；
③顺次连接点E,F,G,H,I,J,K,L,E，得八边形EFGHIJKL(如图
) | ①连接AC,BD交于点O；
②作∠AOD的平分线交AD于点E，延长EO交BC于点I；
③作∠AOB的平分线交AB于点G，延长GO交CD于点K；
④以点O为圆心，OE的长为半径画弧，分别交OA,OB,OC,OD于点F,H,J,L；
⑤顺次连接点E,F,G,H,I,J,K,L,E，得八边形EFGHIJKL |
(1)请根据乙组的方案在图
中按步骤完成尺规作图.
(2)求证:甲组所得八边形EFGHIJKL为正八边形.
【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案：
| 甲组方案 | 乙组方案 |
| --- | --- |
| ①确定正方形ABCD的中心O；
②分别以点A,B,C,D为圆心，AO的长为半径画弧，与各边相交于点E,H,G,J,I,L,K,F；
③顺次连接点E,F,G,H,I,J,K,L,E，得八边形EFGHIJKL(如图
) | ①连接AC,BD交于点O；②作∠AOD的平分线交AD于点E，延长EO交BC于点I；
③作∠AOB的平分线交AB于点G，延长GO交CD于点K；
④以点O为圆心，OE的长为半径画弧，分别交OA,OB,OC,OD于点F,H,J,L；
⑤顺次连接点E,F,G,H,I,J,K,L,E，得八边形EFGHIJKL |
(1)请根据乙组的方案在图
中按步骤完成尺规作图.(2)求证:甲组所得八边形EFGHIJKL为正八边形.
答案
(1) 图略.
(2) 证明:设正方形ABCD的边长为a.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=DA=a,OA=1/2 AC=√2/2 a. 由作图可得,AE=AH=BG=BJ=CI=CL=DF=DK=OA=√2/2 a.
∴AF=AG=BH=BI=CJ=CK=DE=DL=a-√2/2 a.
∴∠AGF=∠AFG=∠BHI=∠BIH=∠CJK=∠CKJ=∠DEL=∠DLE=45°.
∴FG=HI=JK=LE=√2a−a，EF=GH=IJ=KL=a−2(a−√2/2 a)=√2a−a.
∴EF=FG=GH=HI=IJ=JK=KL=LE,∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HIJ=∠IJK=∠JKL=∠KLE=∠LEF=135°.
∴甲组所得八边形EFGHIJKL为正八边形.
(2) 证明:设正方形ABCD的边长为a.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=DA=a,OA=1/2 AC=√2/2 a. 由作图可得,AE=AH=BG=BJ=CI=CL=DF=DK=OA=√2/2 a.
∴AF=AG=BH=BI=CJ=CK=DE=DL=a-√2/2 a.
∴∠AGF=∠AFG=∠BHI=∠BIH=∠CJK=∠CKJ=∠DEL=∠DLE=45°.
∴FG=HI=JK=LE=√2a−a，EF=GH=IJ=KL=a−2(a−√2/2 a)=√2a−a.
∴EF=FG=GH=HI=IJ=JK=KL=LE,∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HIJ=∠IJK=∠JKL=∠KLE=∠LEF=135°.
∴甲组所得八边形EFGHIJKL为正八边形.
解析
【分析】
(1) 作图题需严格遵循乙组给出的步骤操作：第一步先连接正方形两条对角线得到中心O；第二步用尺规作∠AOD的角平分线，得到AD边上的点E，延长EO得到BC边上的点I；第三步作∠AOB的角平分线，得到AB边上的点G，延长GO得到CD边上的点K；第四步以O为圆心、OE长为半径画弧，在四条对角线上得到另外4个顶点；最后顺次连接8个顶点即可。
(2) 要证明八边形是正八边形，需满足两个条件：①八条边长度都相等；②八个内角的度数都相等。解题时先设正方形边长为a，利用正方形性质求出对角线一半OA的长度，再结合作图规则得到正方形各边上截得的线段长度，通过计算等腰直角三角形的边长求出八边形的各边长度，再通过角度计算验证每个内角均为135°，两个条件都满足即可证明是正八边形。
【解析】
(1) 按乙组步骤作图即可，结果略。
(2) 证明：设正方形ABCD的边长为a。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=a，对角线$AC=\sqrt{2}a$，$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
由甲组作图可得：$AE=AH=BG=BJ=CI=CL=DF=DK=OA=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴正方形各边上剩余的线段长为：$AF=AG=BH=BI=CJ=CK=DE=DL=a-\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
∴△AFG、△BHI、△CJK、△DEL都是等腰直角三角形，
∴∠AGF=∠AFG=∠BHI=∠BIH=∠CJK=∠CKJ=∠DEL=∠DLE=45°，
由勾股定理得：$FG=HI=JK=LE=\sqrt{2}×(a-\frac{\sqrt{2}}{2}a)=\sqrt{2}a-a$，
八边形其余边长：$EF=GH=IJ=KL=a-2×(a-\frac{\sqrt{2}}{2}a)=\sqrt{2}a-a$，
∴$EF=FG=GH=HI=IJ=JK=KL=LE$，即八边形八条边都相等。
八边形每个内角的度数为：$180°-45°=135°$，即∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HIJ=∠IJK=∠JKL=∠KLE=∠LEF=135°，八个内角都相等。
∴甲组所得八边形EFGHIJKL为正八边形。
【答案】
(1) 图略；
(2) 甲组所得八边形EFGHIJKL为正八边形，证明如上。
【知识点】
正多边形的判定；正方形的性质；尺规作图
【点评】
本题将实践操作与几何证明相结合，既考查尺规作图的基础技能，又需要灵活运用正方形、等腰直角三角形的性质推导正八边形的边角特征，注重对逻辑推理能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 作图题需严格遵循乙组给出的步骤操作：第一步先连接正方形两条对角线得到中心O；第二步用尺规作∠AOD的角平分线，得到AD边上的点E，延长EO得到BC边上的点I；第三步作∠AOB的角平分线，得到AB边上的点G，延长GO得到CD边上的点K；第四步以O为圆心、OE长为半径画弧，在四条对角线上得到另外4个顶点；最后顺次连接8个顶点即可。
(2) 要证明八边形是正八边形，需满足两个条件：①八条边长度都相等；②八个内角的度数都相等。解题时先设正方形边长为a，利用正方形性质求出对角线一半OA的长度，再结合作图规则得到正方形各边上截得的线段长度，通过计算等腰直角三角形的边长求出八边形的各边长度，再通过角度计算验证每个内角均为135°，两个条件都满足即可证明是正八边形。
【解析】
(1) 按乙组步骤作图即可，结果略。
(2) 证明：设正方形ABCD的边长为a。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=a，对角线$AC=\sqrt{2}a$，$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
由甲组作图可得：$AE=AH=BG=BJ=CI=CL=DF=DK=OA=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴正方形各边上剩余的线段长为：$AF=AG=BH=BI=CJ=CK=DE=DL=a-\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
∴△AFG、△BHI、△CJK、△DEL都是等腰直角三角形，
∴∠AGF=∠AFG=∠BHI=∠BIH=∠CJK=∠CKJ=∠DEL=∠DLE=45°，
由勾股定理得：$FG=HI=JK=LE=\sqrt{2}×(a-\frac{\sqrt{2}}{2}a)=\sqrt{2}a-a$，
八边形其余边长：$EF=GH=IJ=KL=a-2×(a-\frac{\sqrt{2}}{2}a)=\sqrt{2}a-a$，
∴$EF=FG=GH=HI=IJ=JK=KL=LE$，即八边形八条边都相等。
八边形每个内角的度数为：$180°-45°=135°$，即∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HIJ=∠IJK=∠JKL=∠KLE=∠LEF=135°，八个内角都相等。
∴甲组所得八边形EFGHIJKL为正八边形。
【答案】
(1) 图略；
(2) 甲组所得八边形EFGHIJKL为正八边形，证明如上。
【知识点】
正多边形的判定；正方形的性质；尺规作图
【点评】
本题将实践操作与几何证明相结合，既考查尺规作图的基础技能，又需要灵活运用正方形、等腰直角三角形的性质推导正八边形的边角特征，注重对逻辑推理能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上(不与矩形的顶点重合),那么称这个菱形是该矩形的内接菱形.如图,在矩形ABCD中,E是边AB上的一点,用直尺和圆规作矩形ABCD的内接菱形EFGH,使点F,G,H分别在边BC,CD,DA上.(保留作图痕迹,不写画法)
答案
解：
作图完成后保留如下痕迹，所得四边形EFGH即为所求内接菱形：
1. 连接矩形ABCD的两条对角线AC、BD，标记交点O。
2. 作出点E关于点O的中心对称点G，点G落在边CD上。
3. 作线段EG的垂直平分线，该直线分别交边BC于点F，交边DA于点H。
4. 顺次连接E、F、G、H，所有辅助作图痕迹全部保留。
作图完成后保留如下痕迹，所得四边形EFGH即为所求内接菱形：
1. 连接矩形ABCD的两条对角线AC、BD，标记交点O。
2. 作出点E关于点O的中心对称点G，点G落在边CD上。
3. 作线段EG的垂直平分线，该直线分别交边BC于点F，交边DA于点H。
4. 顺次连接E、F、G、H，所有辅助作图痕迹全部保留。
解析
【分析】
我们可以结合矩形和菱形的性质推导作图思路：首先矩形是中心对称图形，对角线的交点是其对称中心，对称中心平分过该点的任意一组对应点的连线；其次菱形的对角线互相垂直平分，因此可让菱形的对角线交点与矩形的对称中心重合，先满足对角线互相平分的要求，再构造对角线互相垂直即可得到菱形。具体思考路径：先找到矩形对角线交点作为菱形对角线的公共中点，再作点E关于该中点的对称点得到菱形的一条对角线，最后作这条对角线的垂直平分线得到菱形另外两个顶点，顺次连接即可得到符合要求的内接菱形。
【解析】
作图步骤及对应依据如下：
1. 连接矩形对角线AC、BD，交于点O：矩形的对角线互相平分，点O是矩形的对称中心。
2. 连接EO并延长，交CD边于点G：根据中心对称的性质，G是E关于O的对称点，因此O是EG的中点，且G在CD边上。
3. 用尺规作EG的垂直平分线，分别交BC边于F、AD边于H：该垂直平分线过EG中点O，因此O也是FH的中点，此时EG与FH互相平分且垂直。
4. 顺次连接E、F、G、H四点：根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可知四边形EFGH是菱形，且四个顶点分别落在矩形的四条边上，符合题目要求，保留所有作图痕迹即可。
【答案】
按以下步骤作图，所得四边形EFGH即为所求，保留所有辅助作图痕迹：
1. 连接矩形ABCD的两条对角线AC、BD，标记交点O。
2. 作出点E关于点O的中心对称点G，点G落在边CD上。
3. 作线段EG的垂直平分线，该直线分别交边BC于点F，交边DA于点H。
4. 顺次连接E、F、G、H。
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定，尺规作图
【点评】
本题是尺规作图与特殊四边形性质结合的综合题型，需要灵活运用矩形的中心对称性和菱形的判定定理设计作图方案，能够有效考察逻辑推理能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.6
我们可以结合矩形和菱形的性质推导作图思路：首先矩形是中心对称图形，对角线的交点是其对称中心，对称中心平分过该点的任意一组对应点的连线；其次菱形的对角线互相垂直平分，因此可让菱形的对角线交点与矩形的对称中心重合，先满足对角线互相平分的要求，再构造对角线互相垂直即可得到菱形。具体思考路径：先找到矩形对角线交点作为菱形对角线的公共中点，再作点E关于该中点的对称点得到菱形的一条对角线，最后作这条对角线的垂直平分线得到菱形另外两个顶点，顺次连接即可得到符合要求的内接菱形。
【解析】
作图步骤及对应依据如下：
1. 连接矩形对角线AC、BD，交于点O：矩形的对角线互相平分，点O是矩形的对称中心。
2. 连接EO并延长，交CD边于点G：根据中心对称的性质，G是E关于O的对称点，因此O是EG的中点，且G在CD边上。
3. 用尺规作EG的垂直平分线，分别交BC边于F、AD边于H：该垂直平分线过EG中点O，因此O也是FH的中点，此时EG与FH互相平分且垂直。
4. 顺次连接E、F、G、H四点：根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可知四边形EFGH是菱形，且四个顶点分别落在矩形的四条边上，符合题目要求，保留所有作图痕迹即可。
【答案】
按以下步骤作图，所得四边形EFGH即为所求，保留所有辅助作图痕迹：
1. 连接矩形ABCD的两条对角线AC、BD，标记交点O。
2. 作出点E关于点O的中心对称点G，点G落在边CD上。
3. 作线段EG的垂直平分线，该直线分别交边BC于点F，交边DA于点H。
4. 顺次连接E、F、G、H。
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定，尺规作图
【点评】
本题是尺规作图与特殊四边形性质结合的综合题型，需要灵活运用矩形的中心对称性和菱形的判定定理设计作图方案，能够有效考察逻辑推理能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.6
