回顾与思考(一) 特殊平行四边形
大单元知识结构图
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的⑥
判定: 四边①
菱形
性质
边: 四条边④
角: 对角相等，邻角互补
对角线: ⑤且互相平分
对称性: 中心对称，轴对称
判定: 有一组邻边②
判定: 对角线互相③
判定: 有一个角是⑬
判定: 对角线⑭
四边形
平行四边形
判定: 有一个角是直角且有一组邻边相等
正方形
性质: 包含矩形、菱形的所有性质
平行四边形的判定:
判定: 有一个角是⑦
判定: 对角线⑧
矩形
判定: 三个角是⑨
矩形的性质:
边: 对边平行且相等
角: 四个角都是⑩
对角线: ⑪且互相平分
对称性: 中心对称，轴对称
直角三角形斜边上的中线等于⑫
矩形到正方形的判定:
判定: 有一组邻边⑮
判定: 对角线互相⑯

①相等 ②相等 ③垂直 ④相等 ⑤垂直 ⑥一半 ⑦直角 ⑧相等 ⑨直角 ⑩直角 ⑪相等 ⑫斜边的一半 ⑬直角 ⑭相等 ⑮相等 ⑯垂直

【分析】
这道题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的性质、判定定理及直角三角形斜边中线的性质，属于基础概念识记类题目。解题时需依次回忆各类图形的定义、性质、判定规则，将知识点与空缺处一一对应即可，注意区分不同图形的对角线、边、角的相关性质，避免混淆菱形和矩形的对角线特征、不同前提条件下的判定规则。
【解析】
1. 菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，故①填相等；
2. 菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故②填相等；
3. 菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故③填垂直；
4. 菱形的边的性质：菱形的四条边都相等，故④填相等；
5. 菱形的对角线性质：菱形的对角线互相垂直且互相平分，故⑤填垂直；
6. 菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，故⑥填一半；
7. 矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故⑦填直角；
8. 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故⑧填相等；
9. 矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，故⑨填直角；
10. 矩形的角的性质：矩形的四个角都是直角，故⑩填直角；
11. 矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，故⑪填相等；
12. 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故⑫填斜边的一半；
13. 正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形，故⑬填直角；
14. 正方形的判定定理：对角线相等的菱形是正方形，故⑭填相等；
15. 正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，故⑮填相等；
16. 正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，故⑯填垂直。
【答案】
①相等 ②相等 ③垂直 ④相等 ⑤垂直 ⑥一半 ⑦直角 ⑧相等 ⑨直角 ⑩直角 ⑪相等 ⑫斜边的一半 ⑬直角 ⑭相等 ⑮相等 ⑯垂直
【知识点】
特殊平行四边形的性质；特殊平行四边形的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题侧重考查特殊平行四边形单元的核心基础概念，所有考点均为单元重点识记内容，能够帮助学生梳理菱形、矩形、正方形的性质与判定逻辑，构建完整的特殊平行四边形知识体系。
【难度系数】
0.85

1. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是 （）

A.四条边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.是轴对称图形

1.B

【分析】
本题考查菱形性质的辨析，解题思路为：首先回忆菱形关于边、对角线、对称性的相关性质，再逐一将选项与对应性质比对，找出说法错误的选项即可。需要注意题目要求选“不正确”的选项，避免因审题失误丢分。
【解析】
根据菱形的性质逐一判断选项：
1. 边的性质：菱形的四条边都相等，因此A选项说法正确，不符合题意；
2. 对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分，但对角线相等不属于菱形的通用性质（仅特殊菱形即正方形的对角线相等），因此B选项说法错误，符合题意；C选项“对角线互相垂直”是菱形的通用性质，说法正确，不符合题意；
3. 对称性：菱形是轴对称图形，对称轴为两条对角线所在的直线，因此D选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；轴对称图形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要区分菱形与矩形的对角线性质，避免将两类特殊平行四边形的性质混淆，熟练记忆基础图形的性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$□ ABCD$中，对角线AC与BD交于点O. 若增加下列一个条件，不能判定$□ ABCD$一定为菱形的是（）

A.$AB=AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.$AC=BD$

2.D

【分析】
解题时首先明确已知前提：四边形ABCD已经是平行四边形，我们需要找出无法判定其为菱形的选项。首先回忆平行四边形判定为菱形的核心方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来逐个验证选项：先看选项是否满足上述两个判定，或者能否推导得到上述两个判定条件即可，若都不满足即为答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 若$AB=AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$□ABCD$是菱形，不符合题意；
B. 若$AC⊥BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定$□ABCD$是菱形，不符合题意；
C. 若$∠BAC=∠DAC$，
∵平行四边形中$AD// BC$，
∴$∠DAC=∠BCA$，等量代换得$∠BAC=∠BCA$，
∴$AB=BC$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$□ABCD$是菱形，不符合题意；
D. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ABCD$是矩形，无法判定为菱形，符合题意。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题重点考查特殊平行四边形的判定，要求学生准确区分菱形和矩形的判定条件，避免二者混淆，其中角的关系可结合平行四边形平行线的性质转化为边的关系，是基础类考题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC，BD相交于点O，E为OB的中点，F为AD的中点，连接EF，则EF的长为（）

A.$\frac{\sqrt{13}}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

3.A

【分析】
解题思路：首先利用菱形的性质和∠ABC=60°的条件，判定△ABC为等边三角形，求出对角线AC的长度，再结合勾股定理求出对角线BD一半的长度。随后通过建立平面直角坐标系，写出各顶点坐标，利用中点坐标公式得到E、F两点的坐标，最后用两点间距离公式即可求出EF的长度，坐标法直观简便，适合本题求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为2，
∴AC⊥BD，AB=BC=2，OA=OC，OB=OD，
又
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OB=$\sqrt{AB^2-OA^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴OD=OB=$\sqrt{3}$。
以O为原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则各点坐标为：A(0,1)，B(-$\sqrt{3}$,0)，D($\sqrt{3}$,0)，
∵E为OB中点，F为AD中点，
∴E点坐标为(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$, 0)，F点坐标为($\frac{0+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1+0}{2}$)即($\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$)，
由两点间距离公式得：
EF=$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2+(\frac{1}{2}-0)^2}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2})^2}$=$\sqrt{3+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{\frac{13}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的常规考题，解题的核心是熟练运用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合60°角得到等边三角形，进而求出相关线段长度，通过坐标法可以简化计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.6

4. 传统文化·太和殿窗棂 小兰在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，她从中提取出一个含$120°$角的菱形ABCD(如图所示).若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为.

4.$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$

【分析】
要计算菱形的面积，我们可以使用“底×高”的面积公式求解：首先已知菱形边长为a，一个内角为120°，我们可以先构造直角三角形求出菱形的高，再结合底边长计算面积；也可以通过连接对角线，利用“菱形面积等于对角线乘积的一半”计算，两种方法都需要结合特殊角的性质推导相关线段长度。
【解析】
解：已知菱形ABCD的边长AB=a，∠ABC=120°。
过点A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=60°。
在Rt△ABE中，AE=AB·sin60°=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
菱形的底BC=a，高为AE，
∴菱形ABCD的面积S=BC×AE = a×$\frac{\sqrt{3}}{2}a$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$
【知识点】
菱形的性质；菱形面积计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合传统文化场景考查特殊平行四边形的面积计算，难度不高，解题核心是熟练掌握菱形的性质，结合特殊角的线段关系求出对应高或对角线长度即可，是基础的几何应用类题目。
【难度系数】
0.8

5.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）

5.A

【分析】
要判断哪个四边形不一定为矩形，首先要牢记矩形的判定定理：1.三个角是直角的四边形是矩形；2.有一个角是直角的平行四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形。解题时先分析每个选项给出的条件，先判断是否为平行四边形，再看是否满足矩形的判定条件，即可找到符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：已知AB=CD=3，AD=BC=4，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定该四边形是平行四边形，但没有给出内角为直角或对角线相等的条件，因此该平行四边形不一定是矩形，符合题意。
2. 选项B：该四边形有3个内角为90°，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可直接判定为矩形，不符合题意。
3. 选项C：已知∠A=∠B=90°，可得AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），又AD=BC=4，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，判定为平行四边形，且∠A=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意。
4. 选项D：已知AB=3，BC=4，AC=5，由3²+4²=5²，根据勾股定理的逆定理可得∠B=90°，又AB=CD=3，AD=BC=4，可得该四边形是平行四边形，结合∠B=90°，可判定为矩形，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定，平行四边形的判定，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查矩形的判定相关知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，结合给出的边长、角度条件逐一推导即可，要注意区分平行四边形和矩形判定条件的不同。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=45°,AC=10,E是BD延长线上一点,且AE=$\frac{1}{2}$BD,则DE的长为 ()

A.2
B.$5\sqrt{2}-5$
C.$10-5\sqrt{2}$
D.$10\sqrt{2}-10$

6.B

【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形对角线相等且互相平分，据此先求出BD、AO、OD的长度；再根据已知AE=1/2BD可得AE=AO，即△AEO为等腰三角形；结合∠AOD=45°，过A作BD的垂线，利用等腰三角形三线合一和特殊角的三角函数值求出EO的长度，最后用EO减去OD的长度即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，且对角线互相平分，
∴$AO = \frac{1}{2}AC = 5$，$OD = \frac{1}{2}BD = 5$。
∵$AE = \frac{1}{2}BD$，
∴$AE = 5 = AO$，即△AEO为等腰三角形。
过点A作AH⊥BD于点H，
根据等腰三角形三线合一，可得$EH = HO$。
在Rt△AOH中，∠AOH=45°，AO=5，
∴$OH = AO·\cos45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴$EO = EH + HO = 2OH = 5\sqrt{2}$。
又
∵点D在EO线段上，OD=5，
∴$DE = EO - OD = 5\sqrt{2} - 5$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；特殊角的三角函数
【点评】
本题是特殊平行四边形的典型综合题，解题的核心是熟练掌握矩形对角线的性质，通过构造辅助线转化为等腰三角形和直角三角形问题求解，对几何图形的性质综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6