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【例】【一题多设问】已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+m+1=0$.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个实数根.
(2)当$m=2$时,$α,β$为方程的两个根,则$α^2 -3α +β$的值为
(3)若方程有一个根小于$-1$,求$m$的取值范围.
(4)若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍,求$m$的值.
(5)若该方程的两根分别是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为$5$时,求$m$的值.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个实数根.
(2)当$m=2$时,$α,β$为方程的两个根,则$α^2 -3α +β$的值为
1
.(3)若方程有一个根小于$-1$,求$m$的取值范围.
(4)若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍,求$m$的值.
(5)若该方程的两根分别是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为$5$时,求$m$的值.
答案
解:(1)证明:
∵Δ=[-(m+2)]²-4×1×(m+1)=m²+4m+4-4m-4=m²≥0.
∴无论m取何值,方程总有两个实数根.(2)1
(3)
∵x²-(m+2)x+m+1=(x-1)(x-m-1)=0,
∴x₁=1,x₂=m+1.
∵方程有一个根小于-1,
∴m+1＜-1,解得m＜-2.(4)由(3),得x₁=1,x₂=m+1.由题意,得m+1=2或m+1=$\frac{1}{2}$,解得m=1或m=-$\frac{1}{2}$.(5)设矩形的两邻边长为a,b.根据根与系数的关系,得a+b=m+2＞0,ab=m+1＞0,
∴m＞-1.
∵a²+b²=25,
∴(a+b)²-2ab=25.
∴(m+2)²-2(m+1)=25.整理,得m²+2m=23,即(m+1)²=24,解得m₁=-2$\sqrt{6}$-1(舍去),m₂=2$\sqrt{6}$-1.
∴m的值为2$\sqrt{6}$-1.
∵Δ=[-(m+2)]²-4×1×(m+1)=m²+4m+4-4m-4=m²≥0.
∴无论m取何值,方程总有两个实数根.(2)1
(3)
∵x²-(m+2)x+m+1=(x-1)(x-m-1)=0,
∴x₁=1,x₂=m+1.
∵方程有一个根小于-1,
∴m+1＜-1,解得m＜-2.(4)由(3),得x₁=1,x₂=m+1.由题意,得m+1=2或m+1=$\frac{1}{2}$,解得m=1或m=-$\frac{1}{2}$.(5)设矩形的两邻边长为a,b.根据根与系数的关系,得a+b=m+2＞0,ab=m+1＞0,
∴m＞-1.
∵a²+b²=25,
∴(a+b)²-2ab=25.
∴(m+2)²-2(m+1)=25.整理,得m²+2m=23,即(m+1)²=24,解得m₁=-2$\sqrt{6}$-1(舍去),m₂=2$\sqrt{6}$-1.
∴m的值为2$\sqrt{6}$-1.
解析
【分析】
1. 第(1)问要证明方程总有两个实数根，核心思路是计算一元二次方程的判别式Δ，只要证明Δ恒大于等于0即可，这是一元二次方程实根存在性的判定依据。
2. 第(2)问先利用方程根的定义，将α代入方程实现降次，再结合韦达定理的两根和公式代入计算，即可求出代数式的值。
3. 第(3)问先通过因式分解求出方程的两个确定根，已知其中一个根为1（大于-1），因此只需让另一个根小于-1，列不等式求解即可。
4. 第(4)问结合已求出的两根表达式，按照“一个根是另一个根两倍”的条件分两种情况讨论，分别列方程求解m。
5. 第(5)问根据矩形对角线的性质，利用勾股定理得到两根平方和为25，再用韦达定理将平方和变形为两根和与两根积的组合，代入列方程求解，同时注意矩形边长为正，需舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) 证明：
对于一元二次方程$x^2-(m+2)x+m+1=0$，判别式：
$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m+1)$
$= m^2 +4m +4 -4m -4$
$= m^2 ≥ 0$
∴无论m取何值，方程总有两个实数根。
(2) 当$m=2$时，方程为$x^2 -4x +3 = 0$。
∵α是方程的根，
∴$α^2 -4α +3 =0$，即$α^2 =4α -3$。
由韦达定理得$α + β = 4$。
∴$α^2 -3α + β = (4α -3) -3α + β = α + β -3 = 4 -3 = 1$。
(3) 对方程因式分解：
$x^2-(m+2)x+m+1 = (x-1)(x-m-1) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=m+1$。
∵方程有一个根小于-1，且$1＞-1$，
∴$m+1 ＜ -1$，解得$m ＜ -2$。
(4) 由(3)得方程两根为$x_1=1$，$x_2=m+1$，分两种情况讨论：
① 当$x_2=2x_1$时，$m+1 = 2×1$，解得$m=1$；
② 当$x_1=2x_2$时，$1=2(m+1)$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
综上，m的值为1或$-\frac{1}{2}$。
(5) 设矩形两邻边长为a、b，即a、b为方程的两根。
由根与系数的关系得：$a+b = m+2$，$ab = m+1$。
∵矩形边长为正，
∴$a+b＞0$，$ab＞0$，解得$m＞-1$。
∵矩形对角线长为5，由勾股定理得$a^2 + b^2 = 25$。
又
∵$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，代入得：
$(m+2)^2 - 2(m+1) =25$
整理得$m^2 +2m -23 =0$，配方得$(m+1)^2 =24$，
解得$m_1=2\sqrt{6}-1$，$m_2=-2\sqrt{6}-1$（不符合$m＞-1$，舍去）。
∴m的值为$2\sqrt{6}-1$。
【答案】
(1) 无论m取何值，方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $\boxed{1}$；
(3) $\boxed{m ＜ -2}$；
(4) $\boxed{m=1}$或$\boxed{m=-\dfrac{1}{2}}$；
(5) $\boxed{m=2\sqrt{6}-1}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，因式分解法解方程
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的核心知识点，从基础的根的判别证明，到根的定义、韦达定理的灵活应用，还结合了矩形几何性质设置考点，解题时要注意分类讨论思想的运用，以及结合实际场景对解进行取舍，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问要证明方程总有两个实数根，核心思路是计算一元二次方程的判别式Δ，只要证明Δ恒大于等于0即可，这是一元二次方程实根存在性的判定依据。
2. 第(2)问先利用方程根的定义，将α代入方程实现降次，再结合韦达定理的两根和公式代入计算，即可求出代数式的值。
3. 第(3)问先通过因式分解求出方程的两个确定根，已知其中一个根为1（大于-1），因此只需让另一个根小于-1，列不等式求解即可。
4. 第(4)问结合已求出的两根表达式，按照“一个根是另一个根两倍”的条件分两种情况讨论，分别列方程求解m。
5. 第(5)问根据矩形对角线的性质，利用勾股定理得到两根平方和为25，再用韦达定理将平方和变形为两根和与两根积的组合，代入列方程求解，同时注意矩形边长为正，需舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) 证明：
对于一元二次方程$x^2-(m+2)x+m+1=0$，判别式：
$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m+1)$
$= m^2 +4m +4 -4m -4$
$= m^2 ≥ 0$
∴无论m取何值，方程总有两个实数根。
(2) 当$m=2$时，方程为$x^2 -4x +3 = 0$。
∵α是方程的根，
∴$α^2 -4α +3 =0$，即$α^2 =4α -3$。
由韦达定理得$α + β = 4$。
∴$α^2 -3α + β = (4α -3) -3α + β = α + β -3 = 4 -3 = 1$。
(3) 对方程因式分解：
$x^2-(m+2)x+m+1 = (x-1)(x-m-1) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=m+1$。
∵方程有一个根小于-1，且$1＞-1$，
∴$m+1 ＜ -1$，解得$m ＜ -2$。
(4) 由(3)得方程两根为$x_1=1$，$x_2=m+1$，分两种情况讨论：
① 当$x_2=2x_1$时，$m+1 = 2×1$，解得$m=1$；
② 当$x_1=2x_2$时，$1=2(m+1)$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
综上，m的值为1或$-\frac{1}{2}$。
(5) 设矩形两邻边长为a、b，即a、b为方程的两根。
由根与系数的关系得：$a+b = m+2$，$ab = m+1$。
∵矩形边长为正，
∴$a+b＞0$，$ab＞0$，解得$m＞-1$。
∵矩形对角线长为5，由勾股定理得$a^2 + b^2 = 25$。
又
∵$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，代入得：
$(m+2)^2 - 2(m+1) =25$
整理得$m^2 +2m -23 =0$，配方得$(m+1)^2 =24$，
解得$m_1=2\sqrt{6}-1$，$m_2=-2\sqrt{6}-1$（不符合$m＞-1$，舍去）。
∴m的值为$2\sqrt{6}-1$。
【答案】
(1) 无论m取何值，方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $\boxed{1}$；
(3) $\boxed{m ＜ -2}$；
(4) $\boxed{m=1}$或$\boxed{m=-\dfrac{1}{2}}$；
(5) $\boxed{m=2\sqrt{6}-1}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，因式分解法解方程
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的核心知识点，从基础的根的判别证明，到根的定义、韦达定理的灵活应用，还结合了矩形几何性质设置考点，解题时要注意分类讨论思想的运用，以及结合实际场景对解进行取舍，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1.(2025·湖北)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。首先从题目给出的方程中找出对应的$a$、$b$、$c$的取值，注意要带对符号，再分别代入公式计算两根之和与两根之积，最后和四个选项对比即可选出正确结论。也可以先解方程求出两个实根，再直接计算和与积进行判断。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，因此选项A、B均错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理公式的直接应用，解题时需注意准确识别方程中各项的系数，不要遗漏符号，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。首先从题目给出的方程中找出对应的$a$、$b$、$c$的取值，注意要带对符号，再分别代入公式计算两根之和与两根之积，最后和四个选项对比即可选出正确结论。也可以先解方程求出两个实根，再直接计算和与积进行判断。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，因此选项A、B均错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理公式的直接应用，解题时需注意准确识别方程中各项的系数，不要遗漏符号，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 已知$x=2$是关于$x$的方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根，则方程的另一个根为（
A.$-5$
B.$1$
C.$2$
D.$-1$
B
）A.$-5$
B.$1$
C.$2$
D.$-1$
答案
2.B
解析
【分析】
本题有两种常规解题思路：思路一：根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程求出参数m，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算参数m，解题更简便。
【解析】
方法1（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于方程$x^2 - 3x + m = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$。
根据根与系数的关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$，已知$x_1=2$，代入得：
$2+x_2=3$，解得$x_2=1$。
方法2（代入求参法）：
把$x=2$代入原方程得：
$2^2-3×2+m=0$，即$4-6+m=0$，解得$m=2$。
原方程为$x^2-3x+2=0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础考点，熟练掌握根与系数的关系可简化计算过程，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
本题有两种常规解题思路：思路一：根据方程根的定义，将已知根x=2代入原方程求出参数m，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算参数m，解题更简便。
【解析】
方法1（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于方程$x^2 - 3x + m = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$。
根据根与系数的关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$，已知$x_1=2$，代入得：
$2+x_2=3$，解得$x_2=1$。
方法2（代入求参法）：
把$x=2$代入原方程得：
$2^2-3×2+m=0$，即$4-6+m=0$，解得$m=2$。
原方程为$x^2-3x+2=0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础考点，熟练掌握根与系数的关系可简化计算过程，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 关于$x$的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$的根的情况为（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
3.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号即可对应判断根的类型：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值（注意符号不要出错），再代入计算$\Delta$，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的正负，就能得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
本题中方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) = 1 - 4k^2 - 8 = -4k^2 -7$
由平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，可得$\Delta = -4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$。
当$\Delta＜0$时，一元二次方程没有实数根，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.平方的非负性
【点评】
本题属于判断一元二次方程根的情况的基础题型，解题关键是熟练掌握根的判别式的计算规则，以及不同判别式符号对应的根的情况，同时要会利用平方的非负性判断判别式的取值范围。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号即可对应判断根的类型：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值（注意符号不要出错），再代入计算$\Delta$，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的正负，就能得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
本题中方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) = 1 - 4k^2 - 8 = -4k^2 -7$
由平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，可得$\Delta = -4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$。
当$\Delta＜0$时，一元二次方程没有实数根，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.平方的非负性
【点评】
本题属于判断一元二次方程根的情况的基础题型，解题关键是熟练掌握根的判别式的计算规则，以及不同判别式符号对应的根的情况，同时要会利用平方的非负性判断判别式的取值范围。
【难度系数】
0.8
4.(2025·乐山)若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
4.C
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，首先观察待求代数式的结构，可通过因式分解将其转化为含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根和与两根积，代入计算即可，无需单独求解方程的两个根，可简化计算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$。
根据韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1}=1$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1}=-2$。
对待求式因式分解可得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$，
将$x_1 + x_2=1$，$x_1 x_2=-2$代入上式得：
原式$=-2 × 1 = -2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 因式分解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题关键是将待求代数式变形为两根和与两根积的组合形式，避免求解方程的根，可提高解题效率，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，首先观察待求代数式的结构，可通过因式分解将其转化为含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根和与两根积，代入计算即可，无需单独求解方程的两个根，可简化计算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$。
根据韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1}=1$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1}=-2$。
对待求式因式分解可得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$，
将$x_1 + x_2=1$，$x_1 x_2=-2$代入上式得：
原式$=-2 × 1 = -2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 因式分解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题关键是将待求代数式变形为两根和与两根积的组合形式，避免求解方程的根，可提高解题效率，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
5. 新考向·新定义问题 定义运算：$m△ n=mn^2 - 2mn -1$. 例如：$4△2=4×2^2 -2×4×2 -1=-1$. 则方程$2△ t=0$的根的情况为 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
5.A
解析
【分析】
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解给定的运算规则，将新运算转化为我们熟悉的常规代数运算。本题先把2△t按照定义展开，整理为一元二次方程的一般形式，再通过计算根的判别式Δ的正负，即可判断方程根的情况。
【解析】
根据新定义运算$m△ n=mn^2 - 2mn -1$，可得：
$2△t=2t^2 - 2×2× t -1=0$
整理得一元二次方程：$2t^2 -4t -1=0$
其中$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×2×(-1)=16 +8=24＞0$
根据根的判别式的意义，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是正确理解新运算规则，将新运算转化为常规代数方程后再判断根的情况，考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.75
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解给定的运算规则，将新运算转化为我们熟悉的常规代数运算。本题先把2△t按照定义展开，整理为一元二次方程的一般形式，再通过计算根的判别式Δ的正负，即可判断方程根的情况。
【解析】
根据新定义运算$m△ n=mn^2 - 2mn -1$，可得：
$2△t=2t^2 - 2×2× t -1=0$
整理得一元二次方程：$2t^2 -4t -1=0$
其中$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×2×(-1)=16 +8=24＞0$
根据根的判别式的意义，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是正确理解新运算规则，将新运算转化为常规代数方程后再判断根的情况，考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.75
6. 若关于$x$的一元二次方程$(1-a)x^2 + 2x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$a$的最大整数值为
0
。答案
6.0
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合两个核心条件分析：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程退化为一元一次方程，不符合题意；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，联立求解得到a的取值范围，再在范围内找最大整数即可。
【解析】
∵ 方程$(1-a)x^2 + 2x - 2 = 0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$1-a ≠ 0$，解得$a ≠ 1$。
又
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中二次项系数为$1-a$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-2$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × (1-a) × (-2) ＞ 0$
计算化简：
$4 + 8(1-a) ＞ 0$
$12 - 8a ＞ 0$
$a ＜ 1.5$
结合$a ≠ 1$，可得a的取值范围是$a ＜ 1.5$且$a ≠ 1$，因此该范围内的最大整数值为0。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅根据判别式结果错选$a=1$，解题时要先满足一元二次方程的定义前提，再结合根的情况列式求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需结合两个核心条件分析：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程退化为一元一次方程，不符合题意；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，联立求解得到a的取值范围，再在范围内找最大整数即可。
【解析】
∵ 方程$(1-a)x^2 + 2x - 2 = 0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$1-a ≠ 0$，解得$a ≠ 1$。
又
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中二次项系数为$1-a$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-2$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × (1-a) × (-2) ＞ 0$
计算化简：
$4 + 8(1-a) ＞ 0$
$12 - 8a ＞ 0$
$a ＜ 1.5$
结合$a ≠ 1$，可得a的取值范围是$a ＜ 1.5$且$a ≠ 1$，因此该范围内的最大整数值为0。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅根据判别式结果错选$a=1$，解题时要先满足一元二次方程的定义前提，再结合根的情况列式求解。
【难度系数】
0.7
7.(2025·泸州)若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为
10
.答案
7.10
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式含二次项$2α^2$，已知α是方程的根，可先利用一元二次方程根的定义，将$2α^2$转化为含α的一次式实现降次；降次后代数式可整理为含$α+β$的结构，再结合根与系数的关系求出两根之和$α+β$，整体代入计算即可，无需单独求解α、β的具体值，简化运算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根
∴ 代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2=6α+1$
将$2α^2=6α+1$代入$2α^2 -3α +3β$得：
$\begin{aligned}2α^2 -3α +3β&=6α+1-3α+3β\\&=3α+3β+1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
又
∵ α、β是方程$2x^2 -6x -1=0$的两根，根据根与系数的关系：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$
将$α+β=3$代入上式得：
$3×3+1=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式整体求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用，解题核心是通过根的定义对高次项降次，再结合韦达定理整体代入计算，规避了直接求根的复杂运算，很好地体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求代数式含二次项$2α^2$，已知α是方程的根，可先利用一元二次方程根的定义，将$2α^2$转化为含α的一次式实现降次；降次后代数式可整理为含$α+β$的结构，再结合根与系数的关系求出两根之和$α+β$，整体代入计算即可，无需单独求解α、β的具体值，简化运算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根
∴ 代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2=6α+1$
将$2α^2=6α+1$代入$2α^2 -3α +3β$得：
$\begin{aligned}2α^2 -3α +3β&=6α+1-3α+3β\\&=3α+3β+1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
又
∵ α、β是方程$2x^2 -6x -1=0$的两根，根据根与系数的关系：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$
将$α+β=3$代入上式得：
$3×3+1=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式整体求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用，解题核心是通过根的定义对高次项降次，再结合韦达定理整体代入计算，规避了直接求根的复杂运算，很好地体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
