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8.已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+2x-k-1=0$的两根，且$x_1x_2=-3$，则$k$的值为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.B
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两根之积，求参数k的值，解题核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。首先先确定方程中二次项系数a、常数项c，再根据两根之积的公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$列出关于k的一元一次方程，最后解方程即可得到k的值，无需解方程求根，可简化计算。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+2x-k-1=0$，其中二次项系数$a=1$，常数项$c=-k-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积满足：
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知$x_1x_2=-3$，代入得：
$\frac{-k-1}{1}=-3$
整理方程：$-k-1=-3$
移项得：$-k=-3+1=-2$
解得：$k=2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系；2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，直接考查韦达定理中两根之积的公式应用，熟练掌握根与系数的对应公式即可快速求解，计算量小。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的两根之积，求参数k的值，解题核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。首先先确定方程中二次项系数a、常数项c，再根据两根之积的公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$列出关于k的一元一次方程，最后解方程即可得到k的值，无需解方程求根，可简化计算。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+2x-k-1=0$，其中二次项系数$a=1$，常数项$c=-k-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积满足：
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知$x_1x_2=-3$，代入得：
$\frac{-k-1}{1}=-3$
整理方程：$-k-1=-3$
移项得：$-k=-3+1=-2$
解得：$k=2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系；2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，直接考查韦达定理中两根之积的公式应用，熟练掌握根与系数的对应公式即可快速求解，计算量小。
【难度系数】
0.9
9. 如果一元二次方程$x^2+(m+1)x+m=0$的两个根互为相反数，那么（
A.$m=0$
B.$m=-1$
C.$m=1$
D.以上结论都不对
B
）A.$m=0$
B.$m=-1$
C.$m=1$
D.以上结论都不对
答案
9.B
解析
【分析】
解题思路：首先明确题干给出的条件：一元二次方程的两根互为相反数，由相反数的性质可知互为相反数的两个数和为0，因此联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）中两根之和的公式，代入方程对应系数列方程求解，最后验证解得的参数是否符合题意即可。
【解析】
设该一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$。
因为两根互为相反数，所以$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+(m+1)x+m=0$，对应系数$a=1$，$b=m+1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{m+1}{1}=-m-1$
结合$x_1+x_2=0$列方程：
$-m-1=0$
解得$m=-1$。
验证：当$m=-1$时，原方程为$x^2-1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，两根互为相反数，符合题意。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 相反数的性质
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是将“两根互为相反数”的条件转化为两根之和为0，再结合韦达定理列式求解，解题时可通过代入验证保证结果正确。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确题干给出的条件：一元二次方程的两根互为相反数，由相反数的性质可知互为相反数的两个数和为0，因此联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）中两根之和的公式，代入方程对应系数列方程求解，最后验证解得的参数是否符合题意即可。
【解析】
设该一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$。
因为两根互为相反数，所以$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+(m+1)x+m=0$，对应系数$a=1$，$b=m+1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{m+1}{1}=-m-1$
结合$x_1+x_2=0$列方程：
$-m-1=0$
解得$m=-1$。
验证：当$m=-1$时，原方程为$x^2-1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，两根互为相反数，符合题意。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 相反数的性质
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是将“两根互为相反数”的条件转化为两根之和为0，再结合韦达定理列式求解，解题时可通过代入验证保证结果正确。
【难度系数】
0.8
10.已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0 $有两个不相等的实数根$ x_1 $，$ x_2 $，且$ x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2 $，则实数$ m = $
3
.答案
10.3
解析
【分析】
本题需要结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解。首先，根据方程有两个不相等的实数根，可通过判别式Δ＞0求出m的取值范围；其次利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，代入题干给出的等式求解出m的候选值；最后结合之前得到的m的取值范围，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
1. 先根据方程有两个不相等的实数根，计算判别式并求m的范围：
对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2 - m + 2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) = 4m - 8$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta ＞ 0$，即$4m - 8 ＞ 0$，解得$m ＞ 2$。
2. 利用根与系数的关系代入等式求解：
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$，
已知$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，代入得：
$-2m + m^2 - m + 2 = 2$，
整理得$m^2 - 3m = 0$，因式分解得$m(m - 3) = 0$，
解得$m = 0$或$m = 3$。
3. 结合m的取值范围筛选：
∵$m ＞ 2$，
∴$m = 0$不符合要求，舍去，故$m = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用题，解题的易错点是忽略“方程有两个不相等实数根”的前提，直接将求出的m值作为结果，因此一定要注意先根据判别式确定参数的取值范围，再对结果进行取舍。
【难度系数】
0.6
本题需要结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解。首先，根据方程有两个不相等的实数根，可通过判别式Δ＞0求出m的取值范围；其次利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，代入题干给出的等式求解出m的候选值；最后结合之前得到的m的取值范围，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
1. 先根据方程有两个不相等的实数根，计算判别式并求m的范围：
对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2 - m + 2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) = 4m - 8$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta ＞ 0$，即$4m - 8 ＞ 0$，解得$m ＞ 2$。
2. 利用根与系数的关系代入等式求解：
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$，
已知$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，代入得：
$-2m + m^2 - m + 2 = 2$，
整理得$m^2 - 3m = 0$，因式分解得$m(m - 3) = 0$，
解得$m = 0$或$m = 3$。
3. 结合m的取值范围筛选：
∵$m ＞ 2$，
∴$m = 0$不符合要求，舍去，故$m = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用题，解题的易错点是忽略“方程有两个不相等实数根”的前提，直接将求出的m值作为结果，因此一定要注意先根据判别式确定参数的取值范围，再对结果进行取舍。
【难度系数】
0.6
11.(2025·河北)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
11.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$m$和两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标特征判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开化简，得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据一元二次方程根与系数的关系计算$m$、$n$：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点$(m,n)$所在象限：
点的坐标为$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础综合题，将韦达定理的应用和象限判断结合考查，解题的关键是先将方程化为一般形式，再正确代入公式计算，避免因未整理方程直接提取系数出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$m$和两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标特征判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开化简，得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据一元二次方程根与系数的关系计算$m$、$n$：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点$(m,n)$所在象限：
点的坐标为$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限的坐标特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础综合题，将韦达定理的应用和象限判断结合考查，解题的关键是先将方程化为一般形式，再正确代入公式计算，避免因未整理方程直接提取系数出错。
【难度系数】
0.8
12. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两根为$x_1,x_2$，且$x_1=3x_2$，则$m$的值为（
A.4
B.8
C.12
D.16
C
）A.4
B.8
C.12
D.16
答案
12.C
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；先根据方程求出两根之和，再结合题目给出的$x_1=3x_2$的数量关系，求出两个根的具体值，最后通过两根之积计算出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1+x_2=8$中，得：
$3x_2 + x_2 = 8$
$4x_2 = 8$
解得$x_2=2$，则$x_1=3×2=6$。
因此$m = x_1x_2 = 6×2=12$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代入消元法
【点评】
本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，结合已知的两根数量关系代入计算即可，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；先根据方程求出两根之和，再结合题目给出的$x_1=3x_2$的数量关系，求出两个根的具体值，最后通过两根之积计算出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1+x_2=8$中，得：
$3x_2 + x_2 = 8$
$4x_2 = 8$
解得$x_2=2$，则$x_1=3×2=6$。
因此$m = x_1x_2 = 6×2=12$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代入消元法
【点评】
本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，结合已知的两根数量关系代入计算即可，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
13.(教材习题变式)请写出一个关于x的一元二次方程,使其一个根$x_1$满足$2＜x_1＜4$,另一个根$x_2$满足$-2＜x_2＜0$,则这个一元二次方程可以是
$(x-3)(x+1)=0$(答案不唯一)
.答案
13.$(x-3)(x+1)=0$(答案不唯一)
解析
【分析】
本题是开放性试题，解题思路可分为两步：第一步，在给定的两个根的取值范围内，分别选取计算简便的整数作为方程的两个根（例如在2＜x₁＜4中取x₁=3，在-2＜x₂＜0中取x₂=-1）；第二步，利用“若一元二次方程的两个根为x₁、x₂，取二次项系数为1时，方程可表示为(x - x₁)(x - x₂)=0”的规律，将选取的根代入即可得到符合要求的方程，也可通过根与系数的关系计算两根和、两根积后写出一元二次方程的一般式。
【解析】
首先在2＜x₁＜4的范围内选取一个整数根x₁=3，在-2＜x₂＜0的范围内选取一个整数根x₂=-1；
根据一元二次方程的因式分解形式，当二次项系数为1时，方程可写为：$(x - x_1)(x - x_2)=0$；
将$x_1=3$、$x_2=-1$代入上式，得：$(x - 3)(x - (-1))=0$，即$(x-3)(x+1)=0$（展开整理为一般式为$x^2 - 2x - 3 = 0$，答案不唯一，只要符合根的取值范围即可）。
【答案】
$(x-3)(x+1)=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的根的定义、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题为开放型基础题，答案不唯一，核心考查对一元二次方程根的意义及相关构造方法的灵活运用，解题时优先选取整数根可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题是开放性试题，解题思路可分为两步：第一步，在给定的两个根的取值范围内，分别选取计算简便的整数作为方程的两个根（例如在2＜x₁＜4中取x₁=3，在-2＜x₂＜0中取x₂=-1）；第二步，利用“若一元二次方程的两个根为x₁、x₂，取二次项系数为1时，方程可表示为(x - x₁)(x - x₂)=0”的规律，将选取的根代入即可得到符合要求的方程，也可通过根与系数的关系计算两根和、两根积后写出一元二次方程的一般式。
【解析】
首先在2＜x₁＜4的范围内选取一个整数根x₁=3，在-2＜x₂＜0的范围内选取一个整数根x₂=-1；
根据一元二次方程的因式分解形式，当二次项系数为1时，方程可写为：$(x - x_1)(x - x_2)=0$；
将$x_1=3$、$x_2=-1$代入上式，得：$(x - 3)(x - (-1))=0$，即$(x-3)(x+1)=0$（展开整理为一般式为$x^2 - 2x - 3 = 0$，答案不唯一，只要符合根的取值范围即可）。
【答案】
$(x-3)(x+1)=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的根的定义、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题为开放型基础题，答案不唯一，核心考查对一元二次方程根的意义及相关构造方法的灵活运用，解题时优先选取整数根可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
14.(2025·广安)已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
。答案
14.29
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用一元二次方程根的定义，因为a是方程的根，所以满足方程等式，可将含a²的项降次转化为含a的一次式，代入所求代数式实现化简；第二步，化简后会出现两根之和a+b的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ a是方程$x^2 -5x -24=0$的根
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，变形可得$a^2=5a+24$
将$a^2=5a+24$代入代数式$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b=(5a+24)-4a +b=a + b + 24$
又
∵ a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据根与系数的关系：
两根之和$a + b = -\frac{-5}{1}=5$
将$a + b=5$代入$a + b + 24$得：$5 + 24=29$
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，核心是通过根的定义对高次代数式降次，结合根与系数的关系求解，避免了直接解方程的繁琐计算，考察学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，利用一元二次方程根的定义，因为a是方程的根，所以满足方程等式，可将含a²的项降次转化为含a的一次式，代入所求代数式实现化简；第二步，化简后会出现两根之和a+b的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ a是方程$x^2 -5x -24=0$的根
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，变形可得$a^2=5a+24$
将$a^2=5a+24$代入代数式$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b=(5a+24)-4a +b=a + b + 24$
又
∵ a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据根与系数的关系：
两根之和$a + b = -\frac{-5}{1}=5$
将$a + b=5$代入$a + b + 24$得：$5 + 24=29$
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，核心是通过根的定义对高次代数式降次，结合根与系数的关系求解，避免了直接解方程的繁琐计算，考察学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
15.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若方程的两个根为$α,β$,且$k^2 = αβ + 3k$,求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若方程的两个根为$α,β$,且$k^2 = αβ + 3k$,求$k$的值.
答案
15.解:(1)$\because$方程有两个不相等的实数根,$\therefore\Delta=2^2-4×1×(3-k)=-8+4k＞0$,解得$k＞2$.
(2)$\because$方程的两个根为$α,β$,$\thereforeαβ=3-k$.$\therefore k^2=3-k+3k$,解得$k_1=3$,$k_2=-1$.$\because k＞2$,$\therefore k$的值为3.
(2)$\because$方程的两个根为$α,β$,$\thereforeαβ=3-k$.$\therefore k^2=3-k+3k$,解得$k_1=3$,$k_2=-1$.$\because k＞2$,$\therefore k$的值为3.
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过根的判别式求解参数范围：当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，先对应方程确定$a、b、c$的取值，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 题目给出方程的两根和含$αβ$的等式，可通过根与系数的关系（韦达定理）求出$αβ$的表达式，代入已知等式得到关于$k$的一元二次方程，求解后结合第一问的$k$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到$k$的最终值。
【解析】
(1) $\because$ 一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=3-k$，
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×1×(3 - k) = 4 - 12 + 4k = -8 + 4k ＞ 0$，
解得$k ＞ 2$。
(2) $\because$ 方程的两个根为$α、β$，根据根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a}$，
$\therefore αβ = 3 - k$，
将$αβ = 3 - k$代入$k^2 = αβ + 3k$，得：
$k^2 = 3 - k + 3k$，
整理得$k^2 - 2k - 3 = 0$，
因式分解得$(k-3)(k+1)=0$，
解得$k_1=3$，$k_2=-1$，
结合(1)中$k＞2$的取值范围，$k=-1$不符合条件，舍去，
$\therefore k$的值为3。
【答案】
(1) $k ＞ 2$；(2) $k=3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查判别式和韦达定理的应用，解题时需注意第二问求出的参数值要验证是否符合第一问的取值范围，避免出现增根，属于常规常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过根的判别式求解参数范围：当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，先对应方程确定$a、b、c$的取值，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 题目给出方程的两根和含$αβ$的等式，可通过根与系数的关系（韦达定理）求出$αβ$的表达式，代入已知等式得到关于$k$的一元二次方程，求解后结合第一问的$k$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到$k$的最终值。
【解析】
(1) $\because$ 一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=3-k$，
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×1×(3 - k) = 4 - 12 + 4k = -8 + 4k ＞ 0$，
解得$k ＞ 2$。
(2) $\because$ 方程的两个根为$α、β$，根据根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a}$，
$\therefore αβ = 3 - k$，
将$αβ = 3 - k$代入$k^2 = αβ + 3k$，得：
$k^2 = 3 - k + 3k$，
整理得$k^2 - 2k - 3 = 0$，
因式分解得$(k-3)(k+1)=0$，
解得$k_1=3$，$k_2=-1$，
结合(1)中$k＞2$的取值范围，$k=-1$不符合条件，舍去，
$\therefore k$的值为3。
【答案】
(1) $k ＞ 2$；(2) $k=3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查判别式和韦达定理的应用，解题时需注意第二问求出的参数值要验证是否符合第一问的取值范围，避免出现增根，属于常规常考题型。
【难度系数】
0.7
16. (2024·遂宁)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$.
(1)求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2=9$,求$m$的值.
(1)求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2=9$,求$m$的值.
答案
16.解:(1)证明:$\because a=1,b=-(m+2),c=m-1$,$\therefore\Delta=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8$.$\because m^2\ge0$,$\therefore\Delta＞0$.$\therefore$无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)由题意,得$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=m-1$.$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,$\therefore(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$.$\therefore(m+2)^2-3(m-1)=9$.整理,得$m^2+m-2=0$.解得$m_1=-2$,$m_2=1$.$\therefore m$的值为$-2$或1.
(2)由题意,得$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=m-1$.$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,$\therefore(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$.$\therefore(m+2)^2-3(m-1)=9$.整理,得$m^2+m-2=0$.解得$m_1=-2$,$m_2=1$.$\therefore m$的值为$-2$或1.
解析
【分析】
(1) 要证明无论m取何值，一元二次方程都有两个不相等的实数根，核心是证明判别式Δ恒大于0。首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=b²-4ac化简，再结合平方的非负性判断Δ的符号即可得证。
(2) 已知两根的代数式求参数值，需用到根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再将给定的代数式利用完全平方公式变形为含两根和、两根积的形式，代入后得到关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
$\therefore\Delta=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)$
$=m^2+4m+4-4m+4$
$=m^2+8$，
$\because m^2\ge0$，$\therefore m^2+8＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=m+2$，$x_1x_2=m-1$，
$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2=9$，
将左边变形为：$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$，
代入得：$(m+2)^2-3(m-1)=9$，
整理得：$m^2+m-2=0$，
解得：$m_1=-2$，$m_2=1$。
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，证明见解析；
(2) $m$的值为$-2$或$1$。
【知识点】
根的判别式；韦达定理；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础考题，综合考查了根的判别式应用、根与系数的关系以及代数式变形能力，牢记相关公式、灵活变形代数式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明无论m取何值，一元二次方程都有两个不相等的实数根，核心是证明判别式Δ恒大于0。首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=b²-4ac化简，再结合平方的非负性判断Δ的符号即可得证。
(2) 已知两根的代数式求参数值，需用到根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再将给定的代数式利用完全平方公式变形为含两根和、两根积的形式，代入后得到关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
$\therefore\Delta=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)$
$=m^2+4m+4-4m+4$
$=m^2+8$，
$\because m^2\ge0$，$\therefore m^2+8＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=m+2$，$x_1x_2=m-1$，
$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2=9$，
将左边变形为：$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$，
代入得：$(m+2)^2-3(m-1)=9$，
整理得：$m^2+m-2=0$，
解得：$m_1=-2$，$m_2=1$。
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，证明见解析；
(2) $m$的值为$-2$或$1$。
【知识点】
根的判别式；韦达定理；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础考题，综合考查了根的判别式应用、根与系数的关系以及代数式变形能力，牢记相关公式、灵活变形代数式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
17.已知实数$a,b$分别满足$a^2 -6a +4=0,b^2 -6b +4=0$,则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为
2或7
.答案
17.2或7
解析
【分析】
首先观察已知条件，实数a、b满足的方程结构完全相同，因此需分两种情况讨论：①当a=b时，可直接代入所求式子计算；②当a≠b时，a、b可看作一元二次方程$x^2-6x+4=0$的两个不相等的实数根，此时可利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的值，再将所求分式通分变形为用$a+b$和$ab$表示的形式，代入计算即可。解题时需注意不要遗漏a=b的情况，避免漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$a=b$时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2$；
2. 当$a≠b$时，由题意可知a、b是一元二次方程$x^2-6x+4=0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$a+b=6$，$ab=4$
对所求式子变形：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
将$a+b=6$，$ab=4$代入上式得：
$\frac{6^2-2×4}{4}=\frac{36-8}{4}=\frac{28}{4}=7$
综上，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为2或7。
【答案】
2或7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略a=b的情况，直接默认a、b为方程的两个不等根，只算出7这个结果而漏解2，解题时遇到两个参数满足同结构的方程时，要先分类讨论两参数是否相等，再结合对应知识点求解。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，实数a、b满足的方程结构完全相同，因此需分两种情况讨论：①当a=b时，可直接代入所求式子计算；②当a≠b时，a、b可看作一元二次方程$x^2-6x+4=0$的两个不相等的实数根，此时可利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的值，再将所求分式通分变形为用$a+b$和$ab$表示的形式，代入计算即可。解题时需注意不要遗漏a=b的情况，避免漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$a=b$时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2$；
2. 当$a≠b$时，由题意可知a、b是一元二次方程$x^2-6x+4=0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$a+b=6$，$ab=4$
对所求式子变形：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
将$a+b=6$，$ab=4$代入上式得：
$\frac{6^2-2×4}{4}=\frac{36-8}{4}=\frac{28}{4}=7$
综上，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为2或7。
【答案】
2或7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略a=b的情况，直接默认a、b为方程的两个不等根，只算出7这个结果而漏解2，解题时遇到两个参数满足同结构的方程时，要先分类讨论两参数是否相等，再结合对应知识点求解。
【难度系数】
0.6
