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1.(2025·广西)已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根，则$x_1+x_2=$（
A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
C
）A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确题目要求是求方程两个实数根的和，无需解方程求出具体根，直接套用韦达定理的两根之和公式即可。第一步先将给定方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对照，确定二次项系数$a$和一次项系数$b$的值；第二步代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算，注意符号不要出错即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$x_1,x_2$是它的两个实数根，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
已知方程为$x^2 -20x -25=0$，对照一般形式可得：$a=1$，$b=-20$。
将$a$、$b$代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别一元二次方程的各项系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号看错导致计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确题目要求是求方程两个实数根的和，无需解方程求出具体根，直接套用韦达定理的两根之和公式即可。第一步先将给定方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对照，确定二次项系数$a$和一次项系数$b$的值；第二步代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算，注意符号不要出错即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$x_1,x_2$是它的两个实数根，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
已知方程为$x^2 -20x -25=0$，对照一般形式可得：$a=1$，$b=-20$。
将$a$、$b$代入公式得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别一元二次方程的各项系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号看错导致计算错误。
【难度系数】
0.9
2.已知一元二次方程$-x^2 + bx + 3 = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，则$x_1x_2$的值为
-3
。答案
2.-3
解析
【分析】
解题前先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，若方程有两个实数根$x_1,x_2$，则两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题题干给出方程有两个不相等的实数根，说明判别式大于0，韦达定理适用，只需对应找到题干方程的二次项系数$a$和常数项$c$，代入公式计算即可，解题时要注意系数的符号不要出错。
【解析】
先将给定的一元二次方程$-x^2 + bx + 3 = 0$与一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）对应：
二次项系数$a=-1$，常数项$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入数值计算得：
$x_1x_2=\frac{3}{-1}=-3$。
（题干中“两个不相等的实数根”说明判别式$\Delta=b^2-4ac=b^2+12＞0$恒成立，韦达定理可正常使用）
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查韦达定理的直接应用，解题的易错点是容易忽略二次项系数的负号，导致计算结果符号错误。题干中关于根的个数的表述是为了保证方程有实根，满足韦达定理的使用前提，无需额外计算判别式。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，若方程有两个实数根$x_1,x_2$，则两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题题干给出方程有两个不相等的实数根，说明判别式大于0，韦达定理适用，只需对应找到题干方程的二次项系数$a$和常数项$c$，代入公式计算即可，解题时要注意系数的符号不要出错。
【解析】
先将给定的一元二次方程$-x^2 + bx + 3 = 0$与一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）对应：
二次项系数$a=-1$，常数项$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入数值计算得：
$x_1x_2=\frac{3}{-1}=-3$。
（题干中“两个不相等的实数根”说明判别式$\Delta=b^2-4ac=b^2+12＞0$恒成立，韦达定理可正常使用）
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查韦达定理的直接应用，解题的易错点是容易忽略二次项系数的负号，导致计算结果符号错误。题干中关于根的个数的表述是为了保证方程有实根，满足韦达定理的使用前提，无需额外计算判别式。
【难度系数】
0.8
3. 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)$x^2 - 6x - 15 = 0$.
(2)$3x^2 + 7x - 9 = 0$.
(3)$2x^2 + 3 = x(7x + 1)$.
(1)$x^2 - 6x - 15 = 0$.
(2)$3x^2 + 7x - 9 = 0$.
(3)$2x^2 + 3 = x(7x + 1)$.
答案
3.解:(1)这里$a=1,b=-6,c=-5$.$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×(-15)=96＞0$,所以方程有两个实数根.设方程的两个实数根是$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=-15$.
(2)这里$a=3,b=7,c=-9$.$\Delta=b^2-4ac=7^2-4×3×(-9)=157＞0$,所以方程有两个实数根.设方程的两个实数根是$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=-\frac{7}{3}$,$x_1x_2=-3$.
(3)原方程可化为$5x^2+x-3=0$,这里$a=5,b=1,c=-3$.$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×5×(-3)=61＞0$,所以方程有两个实数根.设方程的两个实数根是$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$,$x_1x_2=-\frac{3}{5}$.
(2)这里$a=3,b=7,c=-9$.$\Delta=b^2-4ac=7^2-4×3×(-9)=157＞0$,所以方程有两个实数根.设方程的两个实数根是$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=-\frac{7}{3}$,$x_1x_2=-3$.
(3)原方程可化为$5x^2+x-3=0$,这里$a=5,b=1,c=-3$.$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×5×(-3)=61＞0$,所以方程有两个实数根.设方程的两个实数根是$x_1,x_2$,那么$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$,$x_1x_2=-\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
要使用一元二次方程根与系数的关系求两根之和与两根之积，解题思路如下：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确确定系数$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，只有当$\Delta≥0$时方程存在两个实数根，才能使用根与系数的关系计算；③若$\Delta≥0$，直接套用公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 6x - 15 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-6$，$c=-15$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2 - 4×1×(-15)=96＞0$，方程有两个实数根。
设两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-15}{1}=-15$。
(2) 方程$3x^2 + 7x - 9 = 0$为一般形式，其中$a=3$，$b=7$，$c=-9$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=7^2 - 4×3×(-9)=157＞0$，方程有两个实数根。
设两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{7}{3}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-9}{3}=-3$。
(3) 先整理原方程为一般形式：
去括号得$2x^2 + 3 = 7x^2 + x$，移项合并同类项得$5x^2 + x - 3 = 0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=1^2 - 4×5×(-3)=61＞0$，方程有两个实数根。
设两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) 两根之和为$6$，两根之积为$-15$；
(2) 两根之和为$-\frac{7}{3}$，两根之积为$-3$；
(3) 两根之和为$-\frac{1}{5}$，两根之积为$-\frac{3}{5}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题时需注意先将方程化为一般形式，确认判别式非负后再套用公式计算，要特别注意系数的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.85
要使用一元二次方程根与系数的关系求两根之和与两根之积，解题思路如下：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确确定系数$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，只有当$\Delta≥0$时方程存在两个实数根，才能使用根与系数的关系计算；③若$\Delta≥0$，直接套用公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 6x - 15 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-6$，$c=-15$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2 - 4×1×(-15)=96＞0$，方程有两个实数根。
设两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-15}{1}=-15$。
(2) 方程$3x^2 + 7x - 9 = 0$为一般形式，其中$a=3$，$b=7$，$c=-9$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=7^2 - 4×3×(-9)=157＞0$，方程有两个实数根。
设两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{7}{3}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-9}{3}=-3$。
(3) 先整理原方程为一般形式：
去括号得$2x^2 + 3 = 7x^2 + x$，移项合并同类项得$5x^2 + x - 3 = 0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=1^2 - 4×5×(-3)=61＞0$，方程有两个实数根。
设两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) 两根之和为$6$，两根之积为$-15$；
(2) 两根之和为$-\frac{7}{3}$，两根之积为$-3$；
(3) 两根之和为$-\frac{1}{5}$，两根之积为$-\frac{3}{5}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题时需注意先将方程化为一般形式，确认判别式非负后再套用公式计算，要特别注意系数的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.85
4.(教材习题变式)小明和小华分别求出了方程$4x^2 + 4x - 1 = 0$的根.
小明:$x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$;
小华:$x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{4}$.
他们的答案正确吗？说说你的判断方法.
小明:$x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$;
小华:$x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{4}$.
他们的答案正确吗？说说你的判断方法.
答案
4.解:他们的答案不正确.$\because$小明求出的两根之积$x_1x_2=\frac{1}{4}≠-\frac{1}{4}$,小华求出的两根之和$x_1+x_2=\frac{3}{4}≠-1$,$\therefore$他们的答案不正确.
解析
【分析】
要判断两人求出的方程根是否正确，可利用一元二次方程根与系数的关系快速验证：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。我们先确定题干方程的$a、b、c$，算出正确的两根之和与两根之积，再分别对比小明、小华所求根的和、积，若不相等则说明答案错误，该方法比直接代入方程检验更简便。
【解析】
对于方程$4x^2 + 4x - 1 = 0$，可知$a=4$，$b=4$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{4}=-1$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$。
① 检验小明的答案：小明求得$x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$，则两根之积为$(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}≠-\frac{1}{4}$，不符合根与系数的关系，因此小明的答案错误。
② 检验小华的答案：小华求得$x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{4}$，则两根之和为$1+(-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}≠-1$，不符合根与系数的关系，因此小华的答案错误。
综上，两人的答案都不正确。
【答案】
他们的答案不正确。$\because$小明求出的两根之积$x_1x_2=\frac{1}{4}≠-\frac{1}{4}$,小华求出的两根之和$x_1+x_2=\frac{3}{4}≠-1$,$\therefore$他们的答案不正确。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的检验
【点评】
本题考查利用根与系数的关系快速验证一元二次方程的根，相比直接代入原方程验算，该方法计算量更小、效率更高，解题时要注意准确记忆两根和、两根积与系数的对应关系，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
要判断两人求出的方程根是否正确，可利用一元二次方程根与系数的关系快速验证：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。我们先确定题干方程的$a、b、c$，算出正确的两根之和与两根之积，再分别对比小明、小华所求根的和、积，若不相等则说明答案错误，该方法比直接代入方程检验更简便。
【解析】
对于方程$4x^2 + 4x - 1 = 0$，可知$a=4$，$b=4$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{4}=-1$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$。
① 检验小明的答案：小明求得$x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$，则两根之积为$(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}≠-\frac{1}{4}$，不符合根与系数的关系，因此小明的答案错误。
② 检验小华的答案：小华求得$x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{4}$，则两根之和为$1+(-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}≠-1$，不符合根与系数的关系，因此小华的答案错误。
综上，两人的答案都不正确。
【答案】
他们的答案不正确。$\because$小明求出的两根之积$x_1x_2=\frac{1}{4}≠-\frac{1}{4}$,小华求出的两根之和$x_1+x_2=\frac{3}{4}≠-1$,$\therefore$他们的答案不正确。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的检验
【点评】
本题考查利用根与系数的关系快速验证一元二次方程的根，相比直接代入原方程验算，该方法计算量更小、效率更高，解题时要注意准确记忆两根和、两根积与系数的对应关系，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
5.(2025·眉山)已知方程$x^2 -2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$(x_1 +1)(x_2 +1)$的值为
-2
。答案
5.-2
解析
【分析】
要求$(x_1 +1)(x_2 +1)$的值，可先将该代数式展开，得到$x_1x_2+x_1+x_2+1$，可知只需算出方程两根的和与两根的积即可，不需要单独求解两个根的具体值。因此可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先从给定方程中确定$a、b、c$的值，算出两根和与积后代入展开式即可得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 -2x -5=0$的两根为$x_1、x_2$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$。
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$。
将所求代数式展开：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$，
代入$x_1+x_2=2$、$x_1x_2=-5$得：
原式$=-5+2+1=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
韦达定理，整式化简
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，采用整体代入的思路可避免求解方程根的繁琐步骤，熟练掌握韦达定理的内容是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要求$(x_1 +1)(x_2 +1)$的值，可先将该代数式展开，得到$x_1x_2+x_1+x_2+1$，可知只需算出方程两根的和与两根的积即可，不需要单独求解两个根的具体值。因此可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先从给定方程中确定$a、b、c$的值，算出两根和与积后代入展开式即可得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 -2x -5=0$的两根为$x_1、x_2$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$。
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$。
将所求代数式展开：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$，
代入$x_1+x_2=2$、$x_1x_2=-5$得：
原式$=-5+2+1=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
韦达定理，整式化简
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，采用整体代入的思路可避免求解方程根的繁琐步骤，熟练掌握韦达定理的内容是解题的核心。
【难度系数】
0.8
6. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.
(2)$x_1^2 + x_2^2$.
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.
(2)$x_1^2 + x_2^2$.
答案
6.解:由题可知,$x_1+x_2=5$,$x_1x_2=-2$.
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
(2)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2×(-2)=29$.
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
(2)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2×(-2)=29$.
解析
【分析】
本题要求不解方程求代数式的值，解题核心是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。首先根据给定的一元二次方程求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将待求的两个代数式分别变形为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -5x -2=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=-2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$
(2) 对$x_1^2 + x_2^2$利用完全平方公式变形可得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=5^2-2×(-2)=25+4=29$
【答案】
(1) $-\frac{5}{2}$；(2) $29$
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 代数式化简求值
3. 完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础典型题，解题关键是掌握常见代数式的恒等变形，将待求式转化为仅含两根和、两根积的形式，避免解方程的复杂运算，考察学生的公式变形和代入计算能力。
【难度系数】
0.8
本题要求不解方程求代数式的值，解题核心是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。首先根据给定的一元二次方程求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将待求的两个代数式分别变形为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -5x -2=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=-2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$
(2) 对$x_1^2 + x_2^2$利用完全平方公式变形可得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$代入得：
原式$=5^2-2×(-2)=25+4=29$
【答案】
(1) $-\frac{5}{2}$；(2) $29$
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 代数式化简求值
3. 完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础典型题，解题关键是掌握常见代数式的恒等变形，将待求式转化为仅含两根和、两根积的形式，避免解方程的复杂运算，考察学生的公式变形和代入计算能力。
【难度系数】
0.8
7. A教材经典设问 已知方程$x^2 - 2x + k = 0$的一个根为－2，则方程的另一个根为
4
。答案
7.4
解析
【分析】
这道题可通过两种符合学段要求的思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，已知其中一个根，直接代入求和公式即可快速算出另一个根，无需计算参数$k$，解题更简便；思路2：先将已知根代入原方程求出参数$k$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，
根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，可得：
$x_1 + (-2) = -\frac{-2}{1} = 2$
解得$x_1 = 2 + 2 = 4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-2$代入原方程$x^2 - 2x + k = 0$得：
$(-2)^2 - 2×(-2) + k = 0$
计算得$4 + 4 + k = 0$，解得$k=-8$，
则原方程为$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
解得方程的根为$x_1=4$，$x_2=-2$，故另一个根为4。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，两种解题方法都可快速得出结果，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
这道题可通过两种符合学段要求的思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，已知其中一个根，直接代入求和公式即可快速算出另一个根，无需计算参数$k$，解题更简便；思路2：先将已知根代入原方程求出参数$k$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，
根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，可得：
$x_1 + (-2) = -\frac{-2}{1} = 2$
解得$x_1 = 2 + 2 = 4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-2$代入原方程$x^2 - 2x + k = 0$得：
$(-2)^2 - 2×(-2) + k = 0$
计算得$4 + 4 + k = 0$，解得$k=-8$，
则原方程为$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
解得方程的根为$x_1=4$，$x_2=-2$，故另一个根为4。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，两种解题方法都可快速得出结果，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
