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8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$.
(1)求证:不论$k$为何值,方程总有两个实数根.
(2)若方程有一个根小于1,求$k$的取值范围.
(1)求证:不论$k$为何值,方程总有两个实数根.
(2)若方程有一个根小于1,求$k$的取值范围.
答案
8.解:(1)证明:Δ=[-(k+3)]²-4×1×(2k+2)=k²-2k+1=(k-1)²≥0,
∴不论k为何值,方程总有两个实数根.(2)
∵x²-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,
∴x₁=2,x₂=k+1.
∵方程有一个根小于1,
∴k+1＜1,解得k＜0.
∴不论k为何值,方程总有两个实数根.(2)
∵x²-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,
∴x₁=2,x₂=k+1.
∵方程有一个根小于1,
∴k+1＜1,解得k＜0.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，可利用根的判别式的性质：当$\Delta ≥ 0$时，方程总有两个实数根，因此只需先计算判别式的表达式，再化简证明其恒大于等于0即可。（2）要求k的取值范围，可先求解得到方程的两个根，已知其中一个根为2，显然大于1，因此只需让另一个根小于1，列不等式求解即可得到k的范围。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$，
根的判别式为：
$\Delta = [-(k+3)]^2 - 4 × 1 × (2k+2)$
$= k^2 + 6k + 9 - 8k - 8$
$= k^2 - 2k + 1$
$= (k-1)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(k-1)^2 ≥ 0$恒成立，
∴ 不论k为何值，方程总有两个实数根。
（2）解：对方程左侧因式分解可得：
$x^2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0$，
解得两个根为$x_1=2$，$x_2=k+1$，
∵ 方程有一个根小于1，且$x_1=2＞1$，
∴ 仅需$x_2=k+1 ＜ 1$，
解得$k ＜ 0$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$k＜0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，第一问核心是掌握判别式和根的个数的对应关系，化简判别式判断其非负性即可得证；第二问先求解方程的根，再结合题干限制条件列不等式求解，可通过分析已知根的大小避免不必要的分类讨论。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，可利用根的判别式的性质：当$\Delta ≥ 0$时，方程总有两个实数根，因此只需先计算判别式的表达式，再化简证明其恒大于等于0即可。（2）要求k的取值范围，可先求解得到方程的两个根，已知其中一个根为2，显然大于1，因此只需让另一个根小于1，列不等式求解即可得到k的范围。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$，
根的判别式为：
$\Delta = [-(k+3)]^2 - 4 × 1 × (2k+2)$
$= k^2 + 6k + 9 - 8k - 8$
$= k^2 - 2k + 1$
$= (k-1)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(k-1)^2 ≥ 0$恒成立，
∴ 不论k为何值，方程总有两个实数根。
（2）解：对方程左侧因式分解可得：
$x^2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0$，
解得两个根为$x_1=2$，$x_2=k+1$，
∵ 方程有一个根小于1，且$x_1=2＞1$，
∴ 仅需$x_2=k+1 ＜ 1$，
解得$k ＜ 0$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$k＜0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，第一问核心是掌握判别式和根的个数的对应关系，化简判别式判断其非负性即可得证；第二问先求解方程的根，再结合题干限制条件列不等式求解，可通过分析已知根的大小避免不必要的分类讨论。
【难度系数】
0.7
9.(2025·南充)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
9.解:(1)把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,
∴$m=±\sqrt{6}$.
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$.
∴$(x+1)(x-4)=0$.
∴$x_1=-1$,$x_2=4$.
∴$x_2=4$,$m=±\sqrt{6}$.(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
∵Δ=9-4(2-m²)=4m²+1＞0,
∴方程有两个实数根.
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$.
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
∴$m=±\sqrt{6}$.
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$.
∴$(x+1)(x-4)=0$.
∴$x_1=-1$,$x_2=4$.
∴$x_2=4$,$m=±\sqrt{6}$.(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
∵Δ=9-4(2-m²)=4m²+1＞0,
∴方程有两个实数根.
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$.
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
解析
【分析】
(1) 已知方程的一个根$x_1=-1$，可先将该根代入原方程求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值，再将$m^2$代回原方程求解一元二次方程，即可得到另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和、两根积化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，计算得$m^2=6$，
∴$m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，
展开整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
即$x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：将原方程整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1$，
∵$m^2≥0$，
∴$\Delta=4m^2+1＞0$，方程有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2=3$、$x_1x_2=2-m^2$得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$，
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的根设置问题，第一问考查基础的方程代入求解，第二问需要熟练运用根与系数的关系对代数式进行变形化简，侧重对基础知识的掌握和灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 已知方程的一个根$x_1=-1$，可先将该根代入原方程求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值，再将$m^2$代回原方程求解一元二次方程，即可得到另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和、两根积化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，计算得$m^2=6$，
∴$m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，
展开整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
即$x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：将原方程整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1$，
∵$m^2≥0$，
∴$\Delta=4m^2+1＞0$，方程有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2=3$、$x_1x_2=2-m^2$得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$，
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的根设置问题，第一问考查基础的方程代入求解，第二问需要熟练运用根与系数的关系对代数式进行变形化简，侧重对基础知识的掌握和灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - kx + \frac{1}{4}k^2 - 1 = 0$.
(1)求证:无论$k$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若$Rt△ ABC$的斜边长$c=\sqrt{10}$,且两直角边的长$a,b$恰好是这个方程的两个根,求$k$的值.
(1)求证:无论$k$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若$Rt△ ABC$的斜边长$c=\sqrt{10}$,且两直角边的长$a,b$恰好是这个方程的两个根,求$k$的值.
答案
10. 解:(1)证明:
∵Δ=(-k)²-4×1×($\frac{1}{4}k^2-1$)=k²-k²+4=4＞0,
∴无论k为何值,该方程总有两个不相等的实数根.(2)
∵a和b恰好是方程的两个根,
∴a+b=k,ab=$\frac{1}{4}k^2-1$.
∵△ABC是直角三角形,斜边长c=$\sqrt{10}$,
∴a²+b²=c².
∴(a+b)²-2ab=c².
∴k²-2($\frac{1}{4}k^2-1$)=10,解得k₁=4,k₂=-4.又
∵k=-4时,a+b=-4＜0,不合题意,舍去,
∴k=4.
∵Δ=(-k)²-4×1×($\frac{1}{4}k^2-1$)=k²-k²+4=4＞0,
∴无论k为何值,该方程总有两个不相等的实数根.(2)
∵a和b恰好是方程的两个根,
∴a+b=k,ab=$\frac{1}{4}k^2-1$.
∵△ABC是直角三角形,斜边长c=$\sqrt{10}$,
∴a²+b²=c².
∴(a+b)²-2ab=c².
∴k²-2($\frac{1}{4}k^2-1$)=10,解得k₁=4,k₂=-4.又
∵k=-4时,a+b=-4＜0,不合题意,舍去,
∴k=4.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta$，若$\Delta$恒大于0即可得证。先确定方程各项系数，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，判断其正负性即可。
(2) 已知a、b是方程的两个根，可先利用根与系数的关系得到$a+b$、$ab$关于$k$的表达式；再结合直角三角形勾股定理$a^2+b^2=c^2$，利用完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，代入已知量和含$k$的表达式列方程求解$k$；最后注意a、b是直角边长，均为正数，因此$a+b＞0$，要舍去不符合实际意义的$k$值。
【解析】
(1) 证明：
∵$\Delta=(-k)^2 - 4×1×(\frac{1}{4}k^2 - 1)=k^2 - k^2 + 4=4＞0$，
∴无论$k$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
∵$a$和$b$恰好是这个方程的两个根，
∴根据根与系数的关系可得：$a+b=k$，$ab=\frac{1}{4}k^2 - 1$。
∵$△ ABC$是直角三角形，斜边长$c=\sqrt{10}$，
∴由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
又
∵$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$，
∴代入得：$k^2 - 2(\frac{1}{4}k^2 - 1)=(\sqrt{10})^2$，
整理得$\frac{1}{2}k^2=8$，解得$k_1=4$，$k_2=-4$。
∵$a$、$b$是直角三角形的边长，均为正数，
∴$a+b=k＞0$，
∴$k=-4$不合题意，舍去，
∴$k=4$。
【答案】
(1) 无论$k$为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2) $k=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质与直角三角形的勾股定理，解题时要注意结合实际意义对求出的参数值进行检验，避免出现增根导致失分。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta$，若$\Delta$恒大于0即可得证。先确定方程各项系数，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，判断其正负性即可。
(2) 已知a、b是方程的两个根，可先利用根与系数的关系得到$a+b$、$ab$关于$k$的表达式；再结合直角三角形勾股定理$a^2+b^2=c^2$，利用完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，代入已知量和含$k$的表达式列方程求解$k$；最后注意a、b是直角边长，均为正数，因此$a+b＞0$，要舍去不符合实际意义的$k$值。
【解析】
(1) 证明：
∵$\Delta=(-k)^2 - 4×1×(\frac{1}{4}k^2 - 1)=k^2 - k^2 + 4=4＞0$，
∴无论$k$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
∵$a$和$b$恰好是这个方程的两个根，
∴根据根与系数的关系可得：$a+b=k$，$ab=\frac{1}{4}k^2 - 1$。
∵$△ ABC$是直角三角形，斜边长$c=\sqrt{10}$，
∴由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
又
∵$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$，
∴代入得：$k^2 - 2(\frac{1}{4}k^2 - 1)=(\sqrt{10})^2$，
整理得$\frac{1}{2}k^2=8$，解得$k_1=4$，$k_2=-4$。
∵$a$、$b$是直角三角形的边长，均为正数，
∴$a+b=k＞0$，
∴$k=-4$不合题意，舍去，
∴$k=4$。
【答案】
(1) 无论$k$为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2) $k=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质与直角三角形的勾股定理，解题时要注意结合实际意义对求出的参数值进行检验，避免出现增根导致失分。
【难度系数】
0.7
11. 已知$x^2 - 2mx + m^2 + m -9 =0$是关于$x$的一元二次方程.
(1)若$m=0$,则该方程的两个实数根分别为________和________.
(2)若该方程有两个不相等的实数根,
①当两根之差为$2\sqrt{3}$时,求$m$的值.
②当$m$为正整数,且两根均为整数时,求$m$的值.
(1)若$m=0$,则该方程的两个实数根分别为________和________.
(2)若该方程有两个不相等的实数根,
①当两根之差为$2\sqrt{3}$时,求$m$的值.
②当$m$为正整数,且两根均为整数时,求$m$的值.
答案
11. 解:(1)$x_1=3$ $x_2=-3$ (2)根据题意,得Δ=(-2m)²-4(m²+m-9)＞0,解得m＜9.①设方程的两个根为α,β.根据根与系数的关系,得α+β=2m,αβ=m²+m-9.
∵|α-β|=2√3,
∴(α-β)²=12.
∴(α+β)²-4αβ=12,即(2m)²-4(m²+m-9)=12,解得m=6.
∴m的值为6.②
∵Δ=(-2m)²-4(m²+m-9)=36-4m,
∴x=$\frac{2m±2\sqrt{9-m}}{2}$=m±$\sqrt{9-m}$.
∵m＜9,且m为正整数,
∴当9-m=1或9-m=4时,方程的两根均为整数.
∴m=8或m=5,即m的值为5或8.
∵|α-β|=2√3,
∴(α-β)²=12.
∴(α+β)²-4αβ=12,即(2m)²-4(m²+m-9)=12,解得m=6.
∴m的值为6.②
∵Δ=(-2m)²-4(m²+m-9)=36-4m,
∴x=$\frac{2m±2\sqrt{9-m}}{2}$=m±$\sqrt{9-m}$.
∵m＜9,且m为正整数,
∴当9-m=1或9-m=4时,方程的两根均为整数.
∴m=8或m=5,即m的值为5或8.
解析
【分析】
(1) 直接将m=0代入原方程，得到关于x的一元二次方程，求解即可得到两根；(2) 首先根据方程有两个不相等的实数根，计算判别式Δ＞0，先得出m的取值范围为m＜9。①已知两根之差的绝对值，利用根与系数的关系，结合完全平方公式的变形$(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ$，代入韦达定理的结果列方程求解m，注意结果要符合m＜9的范围；②要使两根为整数，先用求根公式表示出方程的两个根，观察可得根号下的9-m必须为正的完全平方数，结合m是正整数且m＜9，即可求出符合条件的m的值。
【解析】
(1) 把m=0代入原方程得：$x^2 - 9 = 0$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-2m)^2 - 4×1×(m^2 + m - 9) = 36 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 9$。
①设方程的两个根为$α$，$β$，根据根与系数的关系可得：
$α + β = 2m$，$αβ = m^2 + m - 9$。
已知$|α - β|=2\sqrt{3}$，两边平方得$(α - β)^2 = 12$。
由完全平方公式变形得$(α + β)^2 - 4αβ = 12$，代入上述结果：
$(2m)^2 - 4(m^2 + m - 9) = 12$
化简得：$-4m = -24$，解得$m=6$，符合$m＜9$的条件。
②由求根公式，方程的根为$x = \frac{2m \pm \sqrt{36 - 4m}}{2} = m \pm \sqrt{9 - m}$。
要使两根均为整数，且m为正整数、$m＜9$，则$\sqrt{9 - m}$必须为正整数，即$9 - m$是正的完全平方数：
当$9 - m=1$时，$m=8$；
当$9 - m=4$时，$m=5$，均符合条件。
【答案】
(1) $3$，$-3$；(2) ①$m=6$；②$m=5$或$8$
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，需要熟练掌握判别式判断根的情况的方法、韦达定理的应用，以及整数根问题的处理技巧，解题时要注意先根据根的情况确定参数的取值范围，再求解后验证结果是否符合范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
(1) 直接将m=0代入原方程，得到关于x的一元二次方程，求解即可得到两根；(2) 首先根据方程有两个不相等的实数根，计算判别式Δ＞0，先得出m的取值范围为m＜9。①已知两根之差的绝对值，利用根与系数的关系，结合完全平方公式的变形$(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ$，代入韦达定理的结果列方程求解m，注意结果要符合m＜9的范围；②要使两根为整数，先用求根公式表示出方程的两个根，观察可得根号下的9-m必须为正的完全平方数，结合m是正整数且m＜9，即可求出符合条件的m的值。
【解析】
(1) 把m=0代入原方程得：$x^2 - 9 = 0$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-2m)^2 - 4×1×(m^2 + m - 9) = 36 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 9$。
①设方程的两个根为$α$，$β$，根据根与系数的关系可得：
$α + β = 2m$，$αβ = m^2 + m - 9$。
已知$|α - β|=2\sqrt{3}$，两边平方得$(α - β)^2 = 12$。
由完全平方公式变形得$(α + β)^2 - 4αβ = 12$，代入上述结果：
$(2m)^2 - 4(m^2 + m - 9) = 12$
化简得：$-4m = -24$，解得$m=6$，符合$m＜9$的条件。
②由求根公式，方程的根为$x = \frac{2m \pm \sqrt{36 - 4m}}{2} = m \pm \sqrt{9 - m}$。
要使两根均为整数，且m为正整数、$m＜9$，则$\sqrt{9 - m}$必须为正整数，即$9 - m$是正的完全平方数：
当$9 - m=1$时，$m=8$；
当$9 - m=4$时，$m=5$，均符合条件。
【答案】
(1) $3$，$-3$；(2) ①$m=6$；②$m=5$或$8$
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，需要熟练掌握判别式判断根的情况的方法、韦达定理的应用，以及整数根问题的处理技巧，解题时要注意先根据根的情况确定参数的取值范围，再求解后验证结果是否符合范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
