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1. 如图，在$△ ABD$中，$AB=AD$，作$△ ABD$关于边$BD$所在的直线对称的$△ CBD$，则$△ CBD$与$△ ABD$构成菱形$ABCD$。判定的依据是（
A.四边相等的四边形是菱形
B.一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
A
）。A.四边相等的四边形是菱形
B.一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先从轴对称的性质入手，对称的两个三角形全等，能得到对应边相等；再结合题目给出的AB=AD，推导四边形ABCD四条边的数量关系，最后匹配对应的菱形判定定理即可得出答案。首先根据轴对称的性质，△CBD和△ABD关于BD对称，所以两个三角形全等，可得AB=CB，AD=CD；再结合已知AB=AD，可推出AB=BC=CD=DA，即四边形四条边都相等，对应“四边相等的四边形是菱形”这一判定定理，就能选出正确选项。
【解析】
1. 由轴对称的性质可知，△CBD与△ABD关于BD对称，因此$△ ABD≌△ CBD$。
2. 根据全等三角形对应边相等，可得：$AB=CB$，$AD=CD$。
3. 已知$AB=AD$，等量代换可得：$AB=BC=CD=DA$，即四边形ABCD的四条边都相等。
4. 根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，可知本题判定依据为选项A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题是菱形判定的基础应用题，需要结合轴对称的性质推导边的数量关系，再匹配对应的判定定理，解题时要注意区分不同菱形判定定理的前提条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先从轴对称的性质入手，对称的两个三角形全等，能得到对应边相等；再结合题目给出的AB=AD，推导四边形ABCD四条边的数量关系，最后匹配对应的菱形判定定理即可得出答案。首先根据轴对称的性质，△CBD和△ABD关于BD对称，所以两个三角形全等，可得AB=CB，AD=CD；再结合已知AB=AD，可推出AB=BC=CD=DA，即四边形四条边都相等，对应“四边相等的四边形是菱形”这一判定定理，就能选出正确选项。
【解析】
1. 由轴对称的性质可知，△CBD与△ABD关于BD对称，因此$△ ABD≌△ CBD$。
2. 根据全等三角形对应边相等，可得：$AB=CB$，$AD=CD$。
3. 已知$AB=AD$，等量代换可得：$AB=BC=CD=DA$，即四边形ABCD的四条边都相等。
4. 根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，可知本题判定依据为选项A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题是菱形判定的基础应用题，需要结合轴对称的性质推导边的数量关系，再匹配对应的判定定理，解题时要注意区分不同菱形判定定理的前提条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. 依据图中所标数据判定，四边形不一定为菱形的是(
D
)。答案
2.D
解析
【分析】
要判断四边形是否为菱形，需结合菱形的判定定理逐一分析选项：菱形的判定依据有三类，分别是四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形。我们只需逐个验证各选项是否满足上述判定条件，找到无法必然判定为菱形的选项即可。
【解析】
对四个选项逐一分析：
1. 选项A：该四边形对角线互相平分（一条对角线两段长均为4，另一条两段长均为3），且边长为5，由$3^2+4^2=5^2$可知对角线夹角为直角，即对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定A一定是菱形。
2. 选项B：该四边形四条边长均为5，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可判定B一定是菱形。
3. 选项C：该四边形相邻内角和为$70°+110°=180°$，可推出对边平行，即该四边形是平行四边形，又一组邻边长度均为5（邻边相等），根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定C一定是菱形。
4. 选项D：仅给出对角线互相平分，只能判定该四边形是平行四边形，没有给出对角线互相垂直、邻边相等等可判定为菱形的条件，因此该四边形不一定是菱形。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、勾股定理逆定理
【点评】
本题考查菱形判定定理的应用，解题关键是牢记菱形判定的必备条件，注意区分平行四边形和菱形的判定要求，避免遗漏条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断四边形是否为菱形，需结合菱形的判定定理逐一分析选项：菱形的判定依据有三类，分别是四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形。我们只需逐个验证各选项是否满足上述判定条件，找到无法必然判定为菱形的选项即可。
【解析】
对四个选项逐一分析：
1. 选项A：该四边形对角线互相平分（一条对角线两段长均为4，另一条两段长均为3），且边长为5，由$3^2+4^2=5^2$可知对角线夹角为直角，即对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定A一定是菱形。
2. 选项B：该四边形四条边长均为5，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可判定B一定是菱形。
3. 选项C：该四边形相邻内角和为$70°+110°=180°$，可推出对边平行，即该四边形是平行四边形，又一组邻边长度均为5（邻边相等），根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定C一定是菱形。
4. 选项D：仅给出对角线互相平分，只能判定该四边形是平行四边形，没有给出对角线互相垂直、邻边相等等可判定为菱形的条件，因此该四边形不一定是菱形。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、勾股定理逆定理
【点评】
本题考查菱形判定定理的应用，解题关键是牢记菱形判定的必备条件，注意区分平行四边形和菱形的判定要求，避免遗漏条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案可行的是(
A.度量四个内角的度数是否相等
B.测量两条对角线的长度是否相等
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.将纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合
D
)。A.度量四个内角的度数是否相等
B.测量两条对角线的长度是否相等
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.将纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合
答案
3.D
解析
【分析】
要判断检验菱形的方案是否可行，需结合菱形的判定定理、各类特殊四边形的性质，逐个分析选项对应的四边形类型，排除不符合菱形判定的选项即可。首先明确：菱形的核心判定包括四边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，同时菱形是轴对称图形，两条对角线都是它的对称轴。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 四边形内角和为360°，若四个内角度数相等，则每个内角为90°，该四边形是矩形，不一定是菱形，方案不可行；
B. 两条对角线长度相等的四边形可能是矩形、等腰梯形等，菱形的对角线仅要求互相垂直，不一定相等，方案不可行；
C. 对角线交点到四个顶点的距离相等，说明对角线互相平分且相等，该四边形是矩形，不一定是菱形，方案不可行；
D. 沿两条对角线对折后两侧都完全重合，说明两条对角线都是该四边形的对称轴，可推出四边形四条边全部相等，符合“四边相等的四边形是菱形”的判定定理，方案可行。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、轴对称图形的性质、特殊四边形的性质
【点评】
本题考查菱形的判定与特殊四边形性质的区分，解题时需熟练掌握各类特殊四边形的判定依据，通过逐一排除错误选项就能得出正确答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要判断检验菱形的方案是否可行，需结合菱形的判定定理、各类特殊四边形的性质，逐个分析选项对应的四边形类型，排除不符合菱形判定的选项即可。首先明确：菱形的核心判定包括四边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，同时菱形是轴对称图形，两条对角线都是它的对称轴。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 四边形内角和为360°，若四个内角度数相等，则每个内角为90°，该四边形是矩形，不一定是菱形，方案不可行；
B. 两条对角线长度相等的四边形可能是矩形、等腰梯形等，菱形的对角线仅要求互相垂直，不一定相等，方案不可行；
C. 对角线交点到四个顶点的距离相等，说明对角线互相平分且相等，该四边形是矩形，不一定是菱形，方案不可行；
D. 沿两条对角线对折后两侧都完全重合，说明两条对角线都是该四边形的对称轴，可推出四边形四条边全部相等，符合“四边相等的四边形是菱形”的判定定理，方案可行。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、轴对称图形的性质、特殊四边形的性质
【点评】
本题考查菱形的判定与特殊四边形性质的区分，解题时需熟练掌握各类特殊四边形的判定依据，通过逐一排除错误选项就能得出正确答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在四边形ABCD中，$∠ ABC = ∠ ADC$，BD平分$∠ ABC$和$∠ ADC$。
求证：四边形ABCD是菱形。
求证：四边形ABCD是菱形。
答案
4. 证明:$\because BD$平分$∠ ABC$和$∠ ADC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC$, $∠ ADB = ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB, ∠ ABD = ∠ ADB, ∠ CBD = ∠ ADB$,
$\therefore AB// DC,AB=AD,AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because AB=AD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形。
$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC$, $∠ ADB = ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB, ∠ ABD = ∠ ADB, ∠ CBD = ∠ ADB$,
$\therefore AB// DC,AB=AD,AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because AB=AD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形。
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是菱形，可按照“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的思路推导：首先利用角平分线的定义，结合已知∠ABC=∠ADC，得到多组相等的角；再通过内错角相等证明两组对边分别平行，判定四边形是平行四边形；最后利用等角对等边得到一组邻边相等，即可判定为菱形。
【解析】
证明：
∵ BD平分∠ABC和∠ADC，
∴ $∠ ABD = ∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ADB = ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC$。
∵ $∠ ABC=∠ ADC$，
∴ $∠ ABD = ∠ CDB$，$∠ ABD = ∠ ADB$，$∠ CBD = ∠ ADB$，
由内错角相等，两直线平行，可推出$AB// DC$、$AD// BC$，即四边形ABCD两组对边分别平行，是平行四边形；
由等角对等边可推出$AB=AD$，即该平行四边形有一组邻边相等，因此四边形ABCD是菱形。
【答案】
证明:$\because BD$平分$∠ ABC$和$∠ ADC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC$, $∠ ADB = ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB, ∠ ABD = ∠ ADB, ∠ CBD = ∠ ADB$,
$\therefore AB// DC,AB=AD,AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because AB=AD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形。
【知识点】
角平分线的定义、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是掌握特殊四边形的判定逻辑，结合角平分线性质推导角的等量关系即可完成证明，同学们要注意区分平行四边形和菱形的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABCD是菱形，可按照“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的思路推导：首先利用角平分线的定义，结合已知∠ABC=∠ADC，得到多组相等的角；再通过内错角相等证明两组对边分别平行，判定四边形是平行四边形；最后利用等角对等边得到一组邻边相等，即可判定为菱形。
【解析】
证明：
∵ BD平分∠ABC和∠ADC，
∴ $∠ ABD = ∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ADB = ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC$。
∵ $∠ ABC=∠ ADC$，
∴ $∠ ABD = ∠ CDB$，$∠ ABD = ∠ ADB$，$∠ CBD = ∠ ADB$，
由内错角相等，两直线平行，可推出$AB// DC$、$AD// BC$，即四边形ABCD两组对边分别平行，是平行四边形；
由等角对等边可推出$AB=AD$，即该平行四边形有一组邻边相等，因此四边形ABCD是菱形。
【答案】
证明:$\because BD$平分$∠ ABC$和$∠ ADC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD = \frac{1}{2}∠ ABC$, $∠ ADB = ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB, ∠ ABD = ∠ ADB, ∠ CBD = ∠ ADB$,
$\therefore AB// DC,AB=AD,AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because AB=AD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形。
【知识点】
角平分线的定义、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是掌握特殊四边形的判定逻辑，结合角平分线性质推导角的等量关系即可完成证明，同学们要注意区分平行四边形和菱形的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
1. 从下列条件中添加一个后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（
A.$AC⊥ BD$
B.$AD=CD$
C.$AB=BC$
D.$AC=BD$
D
）。A.$AC⊥ BD$
B.$AD=CD$
C.$AB=BC$
D.$AC=BD$
答案
1.D
解析
【分析】
已知四边形ABCD是平行四边形，要判定它为菱形，可依据平行四边形基础上的菱形判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。我们只需逐一核对每个选项是否符合上述判定定理，即可找出不能判定的选项。
【解析】
已知四边形ABCD为平行四边形，逐个分析选项：
A. 若$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B. 若$AD=CD$，AD和CD是平行四边形的一组邻边，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C. 若$AB=BC$，AB和BC是平行四边形的一组邻边，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，只能判定该平行四边形是矩形，无法判定为菱形，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查菱形的判定定理，需要学生熟练掌握平行四边形基础上菱形、矩形的判定条件，尤其注意区分两类图形对角线的判定规则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
已知四边形ABCD是平行四边形，要判定它为菱形，可依据平行四边形基础上的菱形判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。我们只需逐一核对每个选项是否符合上述判定定理，即可找出不能判定的选项。
【解析】
已知四边形ABCD为平行四边形，逐个分析选项：
A. 若$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B. 若$AD=CD$，AD和CD是平行四边形的一组邻边，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C. 若$AB=BC$，AB和BC是平行四边形的一组邻边，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D. 若$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，只能判定该平行四边形是矩形，无法判定为菱形，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查菱形的判定定理，需要学生熟练掌握平行四边形基础上菱形、矩形的判定条件，尤其注意区分两类图形对角线的判定规则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 将两张全等的长方形纸片ABCD和FAEC按如图所示的方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N，AB=2，BC=6。给出下列结论：①四边形AMCN是菱形；②线段AM=$\frac{10}{3}$；③四边形AMCN的面积是长方形ABCD面积的一半。其中正确的结论有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
)。A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
2.C
解析
【分析】
解题时按三步思考：1. 判定四边形AMCN的形状：先根据两张长方形纸片的对边平行，得到四边形AMCN两组对边分别平行，先判定为平行四边形，再通过邻边相等判定是否为菱形；2. 设未知数，在直角三角形ABM中利用勾股定理列方程，求解AM的长度，验证结论②；3. 计算四边形AMCN的面积，与长方形ABCD面积的一半对比，验证结论③。
【解析】
1. 验证结论①：
∵四边形ABCD、FAEC都是长方形，
∴AD//BC，AE//CF，即AN//MC，AM//NC，
∴四边形AMCN是平行四边形。
设BM=x，则MC=BC-BM=6-x，
∵平行四边形AMCN中AM=MC，
∴AM=6-x。
在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=2，由勾股定理得：
$AB^2 + BM^2 = AM^2$，即$2^2 + x^2 = (6-x)^2$，
解得$x=\frac{8}{3}$，
∴$AM=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}=MC$，
∴平行四边形AMCN是菱形，结论①正确。
2. 验证结论②：
由上述计算得$AM=\frac{10}{3}$，结论②正确。
3. 验证结论③：
长方形ABCD的面积为$AB×BC=2×6=12$，其一半为6；
菱形AMCN的面积为$MC×AB=\frac{10}{3}×2=\frac{20}{3}≠6$，结论③错误。
综上，正确的结论有2个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理的应用
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是先确定四边形AMCN的形状，再利用勾股定理求出未知边长，计算面积时要注意选择合适的底和对应高。
【难度系数】
0.6
解题时按三步思考：1. 判定四边形AMCN的形状：先根据两张长方形纸片的对边平行，得到四边形AMCN两组对边分别平行，先判定为平行四边形，再通过邻边相等判定是否为菱形；2. 设未知数，在直角三角形ABM中利用勾股定理列方程，求解AM的长度，验证结论②；3. 计算四边形AMCN的面积，与长方形ABCD面积的一半对比，验证结论③。
【解析】
1. 验证结论①：
∵四边形ABCD、FAEC都是长方形，
∴AD//BC，AE//CF，即AN//MC，AM//NC，
∴四边形AMCN是平行四边形。
设BM=x，则MC=BC-BM=6-x，
∵平行四边形AMCN中AM=MC，
∴AM=6-x。
在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=2，由勾股定理得：
$AB^2 + BM^2 = AM^2$，即$2^2 + x^2 = (6-x)^2$，
解得$x=\frac{8}{3}$，
∴$AM=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}=MC$，
∴平行四边形AMCN是菱形，结论①正确。
2. 验证结论②：
由上述计算得$AM=\frac{10}{3}$，结论②正确。
3. 验证结论③：
长方形ABCD的面积为$AB×BC=2×6=12$，其一半为6；
菱形AMCN的面积为$MC×AB=\frac{10}{3}×2=\frac{20}{3}≠6$，结论③错误。
综上，正确的结论有2个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理的应用
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是先确定四边形AMCN的形状，再利用勾股定理求出未知边长，计算面积时要注意选择合适的底和对应高。
【难度系数】
0.6
