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3. 如图,把一个长方形纸片对折两次,再剪去一个角。若要得到其中一个内角为$120°$的菱形,则剪口与第二次折痕所成角的度数为(
A.$15°$或$30°$
B.$30°$或$45°$
C.$45°$或$60°$
D.$30°$或$60°$
D
)。A.$15°$或$30°$
B.$30°$或$45°$
C.$45°$或$60°$
D.$30°$或$60°$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确：长方形对折两次后剪去一角，展开得到的图形是菱形，两次对折的折痕就是菱形的两条互相垂直的对角线，且菱形的对角线会平分内角。已知菱形有一个内角为120°，结合菱形邻角互补的性质，可得到相邻内角为60°，再根据对角线平分内角的特点，分两种情况计算剪口与折痕的夹角即可。
【解析】
1. 长方形对折两次后剪去一个角，展开所得四边形为菱形，两次对折的折痕是菱形的对角线，且菱形的对角线互相垂直，同时平分每一组内角。
2. 已知菱形的一个内角为$120°$，由菱形邻角互补可得，其相邻内角为$180° - 120° = 60°$。
3. 分两种情况计算剪口与第二次折痕的夹角：
① 若对角线平分$120°$的内角，那么平分后的单个角为$120° ÷ 2 = 60°$，即剪口与第二次折痕夹角为$60°$；
② 若对角线平分$60°$的内角，那么平分后的单个角为$60° ÷ 2 = 30°$，即剪口与第二次折痕夹角为$30°$。
综上，剪口与第二次折痕所成角的度数为$30°$或$60°$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合图形折叠操作考查菱形的相关性质，解题时要注意分类讨论两种不同的内角平分情况，避免漏解，解题核心是理解折痕与菱形对角线的对应关系。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确：长方形对折两次后剪去一角，展开得到的图形是菱形，两次对折的折痕就是菱形的两条互相垂直的对角线，且菱形的对角线会平分内角。已知菱形有一个内角为120°，结合菱形邻角互补的性质，可得到相邻内角为60°，再根据对角线平分内角的特点，分两种情况计算剪口与折痕的夹角即可。
【解析】
1. 长方形对折两次后剪去一个角，展开所得四边形为菱形，两次对折的折痕是菱形的对角线，且菱形的对角线互相垂直，同时平分每一组内角。
2. 已知菱形的一个内角为$120°$，由菱形邻角互补可得，其相邻内角为$180° - 120° = 60°$。
3. 分两种情况计算剪口与第二次折痕的夹角：
① 若对角线平分$120°$的内角，那么平分后的单个角为$120° ÷ 2 = 60°$，即剪口与第二次折痕夹角为$60°$；
② 若对角线平分$60°$的内角，那么平分后的单个角为$60° ÷ 2 = 30°$，即剪口与第二次折痕夹角为$30°$。
综上，剪口与第二次折痕所成角的度数为$30°$或$60°$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合图形折叠操作考查菱形的相关性质，解题时要注意分类讨论两种不同的内角平分情况，避免漏解，解题核心是理解折痕与菱形对角线的对应关系。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在四边形ABCD中,对角线$AC⊥BD$于点O,$OB=OD$,现在添加一个条件使四边形ABCD为菱形,这个条件不可能是(
A.$OA=OC$
B.$AD=BC$
C.$AD// BC$
D.$AC=BC$
D
)。A.$OA=OC$
B.$AD=BC$
C.$AD// BC$
D.$AC=BC$
答案
4.D
解析
【分析】
首先明确已知条件：四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，OB=OD。要判断添加哪个条件不能得到菱形，需结合菱形的判定定理分析：菱形的判定方法有三种，分别是对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。已知已有对角线垂直，且BD被O平分，因此只需判断各选项能否推出AC也被O平分（即OA=OC），进而得到对角线互相垂直平分，或直接推出四边形是平行四边形即可，不能推出的就是符合题意的选项。
【解析】
已知AC⊥BD，OB=OD，逐一分析选项：
1. 选项A：若OA=OC，则对角线AC、BD互相平分且垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定四边形ABCD是菱形，不符合题意；
2. 选项B：若AD=BC，在$Rt△ AOD$和$Rt△ COB$中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ OD=OB\end{array} $，根据HL可证$Rt△ AOD≌Rt△ COB$，得OA=OC，同选项A可判定是菱形，不符合题意；
3. 选项C：若$AD// BC$，则$∠OAD=∠OCB$，$∠ODA=∠OBC$，又$OD=OB$，根据AAS可证$△ AOD≌△ COB$，得OA=OC，同选项A可判定是菱形，不符合题意；
4. 选项D：若$AC=BC$，无法推出OA=OC，即无法证明对角线互相平分，也无法证明四边形是平行四边形，不能判定为菱形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题围绕菱形的判定展开，需要结合已知条件对每个选项逐一推导，考查了学生对菱形、平行四边形判定定理的掌握程度，以及利用全等三角形推导线段相等的能力，解题时注意逆向推导，判断添加条件后能否满足菱形判定的要求。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，OB=OD。要判断添加哪个条件不能得到菱形，需结合菱形的判定定理分析：菱形的判定方法有三种，分别是对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。已知已有对角线垂直，且BD被O平分，因此只需判断各选项能否推出AC也被O平分（即OA=OC），进而得到对角线互相垂直平分，或直接推出四边形是平行四边形即可，不能推出的就是符合题意的选项。
【解析】
已知AC⊥BD，OB=OD，逐一分析选项：
1. 选项A：若OA=OC，则对角线AC、BD互相平分且垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定四边形ABCD是菱形，不符合题意；
2. 选项B：若AD=BC，在$Rt△ AOD$和$Rt△ COB$中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ OD=OB\end{array} $，根据HL可证$Rt△ AOD≌Rt△ COB$，得OA=OC，同选项A可判定是菱形，不符合题意；
3. 选项C：若$AD// BC$，则$∠OAD=∠OCB$，$∠ODA=∠OBC$，又$OD=OB$，根据AAS可证$△ AOD≌△ COB$，得OA=OC，同选项A可判定是菱形，不符合题意；
4. 选项D：若$AC=BC$，无法推出OA=OC，即无法证明对角线互相平分，也无法证明四边形是平行四边形，不能判定为菱形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题围绕菱形的判定展开，需要结合已知条件对每个选项逐一推导，考查了学生对菱形、平行四边形判定定理的掌握程度，以及利用全等三角形推导线段相等的能力，解题时注意逆向推导，判断添加条件后能否满足菱形判定的要求。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，当对角线AC与BD的长度相等时，四边形EFGH的形状是
菱形
。答案
5. 菱形
解析
【分析】
解决本题首先从“各边中点”的条件入手，想到运用三角形中位线定理分析四边形EFGH边的关系：第一步先证明四边形EFGH是平行四边形，第二步结合对角线AC=BD的条件，证明平行四边形有一组邻边相等，即可根据菱形的判定定理得出结论。
【解析】
解：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理可得：$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$；$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
∴$EF// HG$，$EF=HG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
又
∵$AC=BD$，
∴$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，即平行四边形EFGH的一组邻边相等，
∴平行四边形EFGH是菱形。
【答案】
菱形
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是中点四边形的典型判定题，解题核心是利用三角形中位线定理得到新四边形边的位置和数量关系，再结合已知的对角线相等的条件即可判断形状，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从“各边中点”的条件入手，想到运用三角形中位线定理分析四边形EFGH边的关系：第一步先证明四边形EFGH是平行四边形，第二步结合对角线AC=BD的条件，证明平行四边形有一组邻边相等，即可根据菱形的判定定理得出结论。
【解析】
解：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理可得：$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$；$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
∴$EF// HG$，$EF=HG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
又
∵$AC=BD$，
∴$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，即平行四边形EFGH的一组邻边相等，
∴平行四边形EFGH是菱形。
【答案】
菱形
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是中点四边形的典型判定题，解题核心是利用三角形中位线定理得到新四边形边的位置和数量关系，再结合已知的对角线相等的条件即可判断形状，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$□ ABCD$中, $AE ⊥ BC$ 于点 E, $AF ⊥ CD$ 于点 F。
(1)当 $AE=AF$ 时, 四边形 ABCD 的形状是
(2)当点 E,F 分别是 BC,CD 的中点时, $∠ B$ 的度数为
(1)当 $AE=AF$ 时, 四边形 ABCD 的形状是
菱形
。(2)当点 E,F 分别是 BC,CD 的中点时, $∠ B$ 的度数为
$60°$
。若此时四边形 AECF 的面积为 $8\ \mathrm{cm}^2$, 则$□ ABCD$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$
。答案
6.(1)菱形 (2)$60°$ $16\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 本题可根据平行四边形面积公式推导邻边关系，再结合菱形的判定定理求解。平行四边形面积=底×高，已知两条高AE=AF，可推出对应的底BC=CD，邻边相等的平行四边形是菱形。
(2) 第一小问：连接AC，根据垂直平分线的性质，AE垂直且平分BC可得AB=AC，AF垂直且平分CD可得AC=AD，结合平行四边形对边相等的性质可推出AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，即可得到∠B的度数。第二小问：根据等底同高的三角形面积相等，可知△ABE和△AEC面积相等，△ADF和△AFC面积相等，因此四边形AECF的面积是平行四边形面积的一半，即可求出平行四边形的面积。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ $S_{□ ABCD}=BC· AE=CD· AF$
又
∵ $AE=AF$
∴ $BC=CD$
根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形ABCD是菱形。
(2) 连接AC：
①
∵ $AE⊥ BC$，E是BC的中点
∴ AE是BC的垂直平分线
∴ $AB=AC$
同理，$AF⊥ CD$，F是CD的中点
∴ AF是CD的垂直平分线
∴ $AC=AD$
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ $AB=CD$，$AD=BC$
∴ $AB=BC=AC$，即$△ ABC$是等边三角形
∴ $∠ B=60°$
②
∵ E是BC中点，$△ ABE$和$△ AEC$等底（$BE=EC$）同高（高均为AE）
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ AEC}$
同理可得$S_{△ ADF}=S_{△ AFC}$
∴ $S_{四边形AECF}=S_{△ AEC}+S_{△ AFC}=8\ \mathrm{cm}^2$
∴ $S_{△ ABE}+S_{△ ADF}=8\ \mathrm{cm}^2$
∴ $S_{□ ABCD}=8+8=16\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 菱形
(2) $60°$；$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形相关的基础综合题，考查了垂直平分线性质、图形面积的灵活计算，解题时合理作辅助线、牢记特殊图形的判定和性质即可快速求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可根据平行四边形面积公式推导邻边关系，再结合菱形的判定定理求解。平行四边形面积=底×高，已知两条高AE=AF，可推出对应的底BC=CD，邻边相等的平行四边形是菱形。
(2) 第一小问：连接AC，根据垂直平分线的性质，AE垂直且平分BC可得AB=AC，AF垂直且平分CD可得AC=AD，结合平行四边形对边相等的性质可推出AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，即可得到∠B的度数。第二小问：根据等底同高的三角形面积相等，可知△ABE和△AEC面积相等，△ADF和△AFC面积相等，因此四边形AECF的面积是平行四边形面积的一半，即可求出平行四边形的面积。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ $S_{□ ABCD}=BC· AE=CD· AF$
又
∵ $AE=AF$
∴ $BC=CD$
根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形ABCD是菱形。
(2) 连接AC：
①
∵ $AE⊥ BC$，E是BC的中点
∴ AE是BC的垂直平分线
∴ $AB=AC$
同理，$AF⊥ CD$，F是CD的中点
∴ AF是CD的垂直平分线
∴ $AC=AD$
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ $AB=CD$，$AD=BC$
∴ $AB=BC=AC$，即$△ ABC$是等边三角形
∴ $∠ B=60°$
②
∵ E是BC中点，$△ ABE$和$△ AEC$等底（$BE=EC$）同高（高均为AE）
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ AEC}$
同理可得$S_{△ ADF}=S_{△ AFC}$
∴ $S_{四边形AECF}=S_{△ AEC}+S_{△ AFC}=8\ \mathrm{cm}^2$
∴ $S_{△ ABE}+S_{△ ADF}=8\ \mathrm{cm}^2$
∴ $S_{□ ABCD}=8+8=16\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 菱形
(2) $60°$；$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形相关的基础综合题，考查了垂直平分线性质、图形面积的灵活计算，解题时合理作辅助线、牢记特殊图形的判定和性质即可快速求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$□ ABCD$中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长，交DC于点F，连接EF。
(1) 判断四边形ADFE的形状，并说明理由；
(2) 若$AD = 8\ \mathrm{cm}$，$∠ C = 60°$，求AF的长。
(1) 判断四边形ADFE的形状，并说明理由；
(2) 若$AD = 8\ \mathrm{cm}$，$∠ C = 60°$，求AF的长。
答案
7. 解:(1)四边形$ADFE$是菱形。理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore DC// AB$,
$\therefore ∠ DFA=∠ FAE$。
由作图可知,$AD=AE$,$AF$平分$∠ DAB$,
$\therefore ∠ FAE=∠ DAF$,
$\therefore ∠ DAF=∠ DFA$,
$\therefore AD=FD,\therefore FD=AE$。
$\because DC// AB$,即$FD// AE$,
$\therefore$ 四边形$ADFE$是平行四边形。
$\because AD=AE$,
$\therefore$ 四边形$ADFE$是菱形。
(2)如图,连接$DE$交$AF$于点$O$。
$\because$ 四边形$ADFE$是菱形,$AD=8$,$∠ C=60°$,
$\therefore AE=AD=8$,$DE⊥ AF$于点$O$,$AF=2AO$,
$DO=\frac{1}{2}DE$,
$\therefore ∠ AOD=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore ∠ DAE=∠ C=60°$,
$\therefore △ ADE$为等边三角形,$\therefore DE=AD=8$,
$\therefore DO=4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,由勾股定理,得
$AO=\sqrt{AD^2-DO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,
$\therefore AF=2AO=8\sqrt{3}$,
$\therefore AF$的长为$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 判定四边形ADFE的形状时，先结合尺规作图的特征得到AF平分∠DAB、AD=AE，再利用平行四边形ABCD中DC//AB的性质推导得到AD=DF，可知DF与AE平行且相等，先证四边形ADFE是平行四边形，再结合邻边AD=AE即可判定其为菱形。
(2) 计算AF长度时，先连接DE交AF于点O，利用菱形对角线互相垂直平分的性质可得DE⊥AF、AF=2AO；再根据平行四边形对角相等得∠DAE=∠C=60°，推出△ADE是等边三角形得到DE的长度，最后在Rt△AOD中用勾股定理求出AO，即可得到AF的长。
【解析】
(1) 四边形$ADFE$是菱形，理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ DFA=∠ FAE$。
由作图可知，$AD=AE$，$AF$平分$∠ DAB$，
$\therefore ∠ FAE=∠ DAF$，
$\therefore ∠ DAF=∠ DFA$，
$\therefore AD=FD$，$\therefore FD=AE$。
$\because DC// AB$，即$FD// AE$，
$\therefore$ 四边形$ADFE$是平行四边形。
又$\because AD=AE$，
$\therefore$ 四边形$ADFE$是菱形。
(2) 连接$DE$交$AF$于点$O$。
$\because$ 四边形$ADFE$是菱形，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$∠ C=60°$，
$\therefore AE=AD=8\ \mathrm{cm}$，$DE⊥ AF$于点$O$，$AF=2AO$，$DO=\frac{1}{2}DE$，
$\therefore ∠ AOD=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore ∠ DAE=∠ C=60°$，
$\therefore △ ADE$为等边三角形，$\therefore DE=AD=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DO=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理，得
$AO=\sqrt{AD^2-DO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AF=2AO=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 四边形$ADFE$是菱形；
(2) $AF$的长为$\boxed{8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
菱形的判定与性质；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定与性质，以及几何计算能力，解题的关键是准确理解作图过程得到角平分线和等线段，再结合平行四边形、菱形的性质逐步推导，计算时注意利用菱形对角线的性质转化线段关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 判定四边形ADFE的形状时，先结合尺规作图的特征得到AF平分∠DAB、AD=AE，再利用平行四边形ABCD中DC//AB的性质推导得到AD=DF，可知DF与AE平行且相等，先证四边形ADFE是平行四边形，再结合邻边AD=AE即可判定其为菱形。
(2) 计算AF长度时，先连接DE交AF于点O，利用菱形对角线互相垂直平分的性质可得DE⊥AF、AF=2AO；再根据平行四边形对角相等得∠DAE=∠C=60°，推出△ADE是等边三角形得到DE的长度，最后在Rt△AOD中用勾股定理求出AO，即可得到AF的长。
【解析】
(1) 四边形$ADFE$是菱形，理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ DFA=∠ FAE$。
由作图可知，$AD=AE$，$AF$平分$∠ DAB$，
$\therefore ∠ FAE=∠ DAF$，
$\therefore ∠ DAF=∠ DFA$，
$\therefore AD=FD$，$\therefore FD=AE$。
$\because DC// AB$，即$FD// AE$，
$\therefore$ 四边形$ADFE$是平行四边形。
又$\because AD=AE$，
$\therefore$ 四边形$ADFE$是菱形。
(2) 连接$DE$交$AF$于点$O$。
$\because$ 四边形$ADFE$是菱形，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$∠ C=60°$，
$\therefore AE=AD=8\ \mathrm{cm}$，$DE⊥ AF$于点$O$，$AF=2AO$，$DO=\frac{1}{2}DE$，
$\therefore ∠ AOD=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore ∠ DAE=∠ C=60°$，
$\therefore △ ADE$为等边三角形，$\therefore DE=AD=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DO=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理，得
$AO=\sqrt{AD^2-DO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AF=2AO=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 四边形$ADFE$是菱形；
(2) $AF$的长为$\boxed{8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
菱形的判定与性质；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定与性质，以及几何计算能力，解题的关键是准确理解作图过程得到角平分线和等线段，再结合平行四边形、菱形的性质逐步推导，计算时注意利用菱形对角线的性质转化线段关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
