4. 如图,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且$AM=CN$,MN与AC交于点O,连接OB。若$∠ DAC=28°$,则$∠ OBC$的度数为()。

A.$28°$
B.$52°$
C.$62°$
D.$72°$
(第4题)

4.C

【分析】
解题时结合菱形的性质逐步推导即可：①首先利用菱形对边平行的性质，得到一组内错角相等，结合已知的边相等和对顶角相等，证明△AOM和△CON全等，得出O是AC的中点；②再根据菱形四边相等的性质，可知△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得到BO垂直AC；③最后结合菱形对边平行得到内错角相等，在直角三角形中计算∠OBC的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=BC，
∴∠OAM=∠OCN，∠ACB=∠DAC=28°。
在△AOM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}∠OAM=∠OCN \\AM=CN \\∠AOM=∠CON\end{array} $
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴AO=CO，即O为AC的中点。
又
∵AB=BC，
∴BO⊥AC（等腰三角形三线合一），
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠ACB=90°-28°=62°。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察菱形性质的灵活运用，解题的关键是通过全等三角形得到AC中点的结论，再结合等腰三角形的性质构造直角求解角度，是菱形相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7

5.【数学应用】如图，衣帽架由三个菱形组成，调整菱形的内角α，可使衣帽架拉伸或收缩。当菱形的边长为18 cm，α=120°时，A，B两点间的距离为 cm。

5.54

【分析】
解题时首先回忆菱形的基本性质：菱形四条边相等，邻角互补。已知菱形边长为18cm，内角α=120°，可推出α的邻角为60°，由此可判定60°角与其两条邻边构成等边三角形，得到该角所对的对角线长度等于菱形边长。再观察图形可知A、B两点的距离恰好是3条该对角线的长度之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 菱形的四条边相等，且边长为18 cm，
又
∵ 菱形的邻角互补，α=120°，
∴ 与α相邻的内角度数为180°-120°=60°。
连接该60°内角所对的对角线，可得该对角线与菱形的两条邻边构成等边三角形（两边均为18 cm，夹角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ 这条对角线的长度为18 cm。
观察图形可知，A、B两点间的距离等于3条上述对角线的长度之和，
∴ AB=3×18=54 cm。
【答案】
54
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的衣帽架场景命题，既考查了菱形、等边三角形的基础性质，也考查了学生结合图形分析线段和差关系的能力，解题的核心是找到AB距离与菱形对角线的对应关系。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在菱形ABCD中,点P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F。若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF等于。

(第6题) (第7题)

6.$\frac{24}{5}$

【分析】
解题时先利用菱形周长求出边长，再观察到点P到AB、BC的距离分别是PF、PE，可通过连接辅助线BP，将△ABC的面积拆分为△ABP和△BCP的面积之和；结合菱形对角线平分菱形面积的性质，得到△ABC的面积，再代入三角形面积公式，整理即可求出PE+PF的值。
【解析】
解：连接BP，
∵ 菱形ABCD的周长为20，
∴ 菱形的边长$AB=BC=20÷4=5$，
∵ 菱形ABCD的面积为24，AC是菱形的对角线，
∴ $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{1}{2} × 24 = 12 $，
又
∵ $ S_{△ ABC} = S_{△ ABP} + S_{△ BCP} $，
且 $ S_{△ ABP} = \frac{1}{2} · AB · PF $，$ S_{△ BCP} = \frac{1}{2} · BC · PE $，
将$AB=BC=5$代入得：
$ 12 = \frac{1}{2} × 5 × PF + \frac{1}{2} × 5 × PE $，
整理得：$ \frac{5}{2}(PE+PF) = 12 $，
解得：$ PE+PF = \frac{24}{5} $。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质；三角形面积计算；面积法
【点评】
本题是菱形相关计算的典型题型，通过构造辅助线拆分三角形面积，巧用面积和的关系建立等式求解，避免了复杂的线段计算，解题的关键是熟练掌握菱形的基本性质，灵活运用面积法简化运算。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,点E是对角线AC上一点,过点E作EF⊥AB于点F,连接DE。若CE=AF,则线段CE的长为,线段DE的长为。

7.2 $2\sqrt{7}$

【分析】
首先根据菱形邻边相等且∠ABC=60°，可判定△ABC是等边三角形，得到AC=AB=6，∠BAC=60°。设CE=x，由题意得AF=x，AE=6-x，再结合EF⊥AB，在含30°角的直角三角形AEF中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质建立方程，即可求出CE的长度。求DE时，过E作AD的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出直角边长度，再用勾股定理计算DE即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴AB=BC=AD=6，AC平分∠DAB，
又
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，∠BAC=∠DAC=60°。
设CE=x，则AF=CE=x，AE=AC-CE=6-x。
∵EF⊥AB，即∠AFE=90°，
在Rt△AEF中，∠EAF=60°，则∠AEF=30°，
∴AF=½AE，即x=½(6-x)，
解得x=2，即CE=2。
此时AE=6-2=4，过点E作EG⊥AD于点G，
在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=4，
∴AG=AE·cos60°=4×½=2，EG=AE·sin60°=4×(√3/2)=2√3，
∴DG=AD-AG=6-2=4，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：
DE=√(DG²+EG²)=√(4²+(2√3)²)=√(16+12)=√28=2√7。
【答案】
2；$2\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，将菱形、等边三角形的性质与直角三角形的性质、勾股定理结合考查，解题时先通过方程思想求出未知线段长，再通过作辅助线构造直角三角形求解线段长度，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

8. 如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,点E在BC边上,将菱形纸片ABCD沿DE折叠,DC'恰好垂直平分线段AB。
(1)求∠DEC的度数;
(2)若折叠线段DE=6,则菱形的边长为。

8.(1)解:
∵在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,
∴∠C=∠A=60°,AB//DC。
∵菱形纸片ABCD沿DE折叠,DC'恰好垂直平分线段AB,
∴DC'⊥AB,
∴DC'⊥DC,
∴∠C'DE=∠CDE=$\frac{1}{2}$∠C'DC=45°。
在△DCE中,∠DEC=180°-∠CDE-∠C=75°,
∴∠DEC的度数是75°。
(2)$3\sqrt{2}+\sqrt{6}$

【分析】
(1) 解题思路：首先利用菱形对角相等、对边平行的性质，得到∠C的度数以及AB与DC的平行关系；再结合DC'垂直平分AB的条件，推出DC'与DC垂直，得到∠CDC'=90°，根据折叠前后对应角相等可求出∠CDE的度数，最后利用三角形内角和即可计算出∠DEC的度数。
(2) 解题思路：过点E作CD的垂线，将△DCE拆分为含45°角和含60°角的两个特殊直角三角形，分别利用特殊角的边角关系求出两段CD的长度，求和即可得到菱形的边长。
【解析】
(1) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴ ∠C=∠A=60°，AB//DC，
∵ 沿DE折叠后DC'垂直平分AB，
∴ DC'⊥AB，
又
∵ AB//DC，
∴ DC'⊥DC，即∠CDC'=90°，
由折叠的性质可知∠C'DE=∠CDE，
∴ ∠CDE=$\frac{1}{2}$∠CDC'=45°，
在△DCE中，∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-45°=75°。
(2) 解：
过点E作EH⊥CD，垂足为H，
在Rt△DHE中，∠EDH=45°，DE=6，
∴ EH=DH=DE·sin45°=$6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
在Rt△EHC中，∠C=60°，EH=3√2，
$\tan C=\frac{EH}{CH}$，即$\tan60°=\frac{3\sqrt{2}}{CH}$，
∴ $CH=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}$，
∴ 菱形边长$CD=DH+CH=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 75°；(2) $3\sqrt{2}+\sqrt{6}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查菱形性质、折叠变换的特点以及特殊直角三角形的边角关系，解题时要注意挖掘折叠前后对应量相等的隐含条件，构造特殊直角三角形是求解线段长度的常用方法，熟练掌握特殊角的三角函数值能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6

9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$∠ BAC=45°$，将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$α$得到$△ ADE$，连接$BD$，$CE$交于点$F$，当四边形$ABFE$是菱形时，请解答下列问题：
(1)求$α$的值；
(2)求$CF$的长。

9.解:(1)
∵四边形ABFE是菱形,
∴AB//EF,
∴∠ACE=∠BAC=45°。
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转α得到△ADE,
∴AC=AE,∠EAC=α,
∴∠ACE=∠AEC=45°。
在△ACE中,α=∠EAC=180°-∠ACE-∠AEC=90°,
∴α的值是90°。
(2)在Rt△ACE中,∠EAC=90°,AE=AC=4,
由勾股定理,得
CE=$\sqrt{AC^2+AE^2}$=$\sqrt{4^2+4^2}$=$4\sqrt{2}$。
∵四边形ABFE是菱形,AB=4,
∴EF=AB=4,
∴CF=CE-EF=$4\sqrt{2}-4$。

【分析】
(1) 求旋转角α的大小，可从已知条件四边形ABFE是菱形入手：先利用菱形对边平行的性质得AB//EF，结合平行线内错角相等推出∠ACE=∠BAC=45°；再根据旋转的性质得AC=AE，即△ACE是等腰三角形，得到∠ACE=∠AEC=45°，最后利用三角形内角和即可算出顶角∠EAC也就是α的度数。
(2) 求CF的长，观察线段关系得CF=CE-EF：先在Rt△ACE中利用勾股定理求出CE的长度，再根据菱形四条边相等的性质得EF=AB=4，代入计算即可得到CF的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABFE是菱形，
∴AB//EF，
∴∠ACE=∠BAC=45°。
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转α得到△ADE，
∴AC=AE，∠EAC=α，
∴∠ACE=∠AEC=45°。
在△ACE中，根据三角形内角和为180°可得：
α=∠EAC=180°-∠ACE-∠AEC=180°-45°-45°=90°，
即α的值为90°。
(2) 由(1)可知△ACE是直角三角形，∠EAC=90°，且AE=AC=4，
根据勾股定理可得：
CE=$\sqrt{AC^2+AE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵四边形ABFE是菱形，AB=4，
∴EF=AB=4，
∴CF=CE-EF=$4\sqrt{2}-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{α=90°}$；
(2) $\boldsymbol{CF=4\sqrt{2}-4}$
【知识点】
旋转的性质；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将旋转、菱形的性质与勾股定理结合考察，解题的关键是熟练掌握特殊图形的性质，通过角的等量关系求出旋转角，再利用线段和差关系求解未知线段长度，能很好地检验学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7