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8. (★★)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=30°$,$AB=14$,$AD$平分$∠ CAB$,点$E$在$AC$上,且$AE=2$,$M$,$F$分别是$AD$,$BC$边上的动点,连接$ME$,$MF$,则$ME+MF$的最小值为.
答案
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=14，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=7$，∠CAB=60°。
∵ AD平分∠CAB，
∴ 作点E关于直线AD的对称点E'，由角平分线的对称性可知，E'落在AB上，且AE'=AE=2。
由轴对称的性质得：ME=ME'，
∴ ME+MF=ME'+MF。
根据垂线段最短，当E'F⊥BC，F为垂足时，ME'+MF取得最小值，该最小值即为线段E'F的长度。
∵ E'F⊥BC，AC⊥BC，
∴ ∠E'FB=∠C=90°。
∵ BE'=AB-AE'=14-2=12，在Rt△BE'F中，∠B=30°，
∴ $E'F=\frac{1}{2}BE'=\frac{1}{2}×12=6$。
即ME+MF的最小值为$\boldsymbol{6}$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=14，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=7$，∠CAB=60°。
∵ AD平分∠CAB，
∴ 作点E关于直线AD的对称点E'，由角平分线的对称性可知，E'落在AB上，且AE'=AE=2。
由轴对称的性质得：ME=ME'，
∴ ME+MF=ME'+MF。
根据垂线段最短，当E'F⊥BC，F为垂足时，ME'+MF取得最小值，该最小值即为线段E'F的长度。
∵ E'F⊥BC，AC⊥BC，
∴ ∠E'FB=∠C=90°。
∵ BE'=AB-AE'=14-2=12，在Rt△BE'F中，∠B=30°，
∴ $E'F=\frac{1}{2}BE'=\frac{1}{2}×12=6$。
即ME+MF的最小值为$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
本题属于“两动一定”型最短路径问题，解题思路如下：首先，已知AD是∠CAB的角平分线，角平分线所在直线是角的对称轴，因此我们可以作点E关于AD的对称点E'，利用轴对称性质将ME转化为ME'，这样ME+MF就转化为ME'+MF。接下来要让这两条线段的和最小，根据“垂线段最短”，当E'、M、F三点共线且E'F垂直于BC时，ME'+MF的和最小，最小值就是E'到BC的垂线段长度，最后结合直角三角形的性质计算该长度即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AB=14$，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=7$，$∠CAB=180°-90°-30°=60°$。
∵ AD平分$∠CAB$，
∴ 作点E关于直线AD的对称点$E'$，由角平分线的对称性可知，$E'$落在AB上，且$AE'=AE=2$。
由轴对称的性质得：$ME=ME'$，
∴ $ME+MF=ME'+MF$。
根据垂线段最短，当$E'F⊥BC$，F为垂足，且M落在$E'F$与AD的交点处时，$ME'+MF$取得最小值，该最小值即为线段$E'F$的长度。
∵ $E'F⊥BC$，$AC⊥BC$，
∴ $∠E'FB=∠C=90°$。
∵ $BE'=AB-AE'=14-2=12$，在$Rt△BE'F$中，$∠B=30°$，
∴ $E'F=\frac{1}{2}BE'=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
最短路径问题，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型考题，解题核心是借助角平分线的对称性完成线段的等量转化，再结合垂线段最短确定最小值的位置，最后利用特殊直角三角形的性质计算结果，重点考查转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
本题属于“两动一定”型最短路径问题，解题思路如下：首先，已知AD是∠CAB的角平分线，角平分线所在直线是角的对称轴，因此我们可以作点E关于AD的对称点E'，利用轴对称性质将ME转化为ME'，这样ME+MF就转化为ME'+MF。接下来要让这两条线段的和最小，根据“垂线段最短”，当E'、M、F三点共线且E'F垂直于BC时，ME'+MF的和最小，最小值就是E'到BC的垂线段长度，最后结合直角三角形的性质计算该长度即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AB=14$，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=7$，$∠CAB=180°-90°-30°=60°$。
∵ AD平分$∠CAB$，
∴ 作点E关于直线AD的对称点$E'$，由角平分线的对称性可知，$E'$落在AB上，且$AE'=AE=2$。
由轴对称的性质得：$ME=ME'$，
∴ $ME+MF=ME'+MF$。
根据垂线段最短，当$E'F⊥BC$，F为垂足，且M落在$E'F$与AD的交点处时，$ME'+MF$取得最小值，该最小值即为线段$E'F$的长度。
∵ $E'F⊥BC$，$AC⊥BC$，
∴ $∠E'FB=∠C=90°$。
∵ $BE'=AB-AE'=14-2=12$，在$Rt△BE'F$中，$∠B=30°$，
∴ $E'F=\frac{1}{2}BE'=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
最短路径问题，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型考题，解题核心是借助角平分线的对称性完成线段的等量转化，再结合垂线段最短确定最小值的位置，最后利用特殊直角三角形的性质计算结果，重点考查转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
9. (★★)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则∠AMN+∠ANM的度数是.
答案
$\boldsymbol{120°}$
解析
【分析】
要使△AMN的周长最小，需利用“两点之间线段最短”的原理，通过作对称点将三条折线段AM、MN、AN转化为同一条直线段：①分别作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''；②连接A'A''，与BC、CD的交点即为所求的M、N，此时△AMN的周长等于A'A''的长度，为最小值。求角度时，结合轴对称的性质、三角形外角性质和内角和定理，结合已知∠BAD=120°即可推导结果。
【解析】
解：作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，交BC于点M，交CD于点N，此时△AMN的周长最小。
根据轴对称的性质可得：$AM=A'M$，$AN=A''N$，
∴$∠ A'=∠ MAA'$，$∠ A''=∠ NAA''$。
∵$∠ AMN$是$△ A'MA$的外角，
∴$∠ AMN=∠ A'+∠ MAA'=2∠ A'$，
同理，$∠ ANM$是$△ A''NA$的外角，
∴$∠ ANM=∠ A''+∠ NAA''=2∠ A''$。
∵$∠ BAD=120°$，在$△ AA'A''$中，$∠ A'+∠ A''=180°-∠ BAD=180°-120°=60°$，
∴$∠ AMN+∠ ANM=2∠ A'+2∠ A''=2(∠ A'+∠ A'')=2×60°=120°$。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形角度计算
【点评】
本题是最短路径的经典题型，核心是通过轴对称将折线最短问题转化为两点之间线段最短的问题，解题过程中要灵活运用轴对称对应角相等的性质，结合三角形外角和内角关系完成角度推导。
【难度系数】
0.6
要使△AMN的周长最小，需利用“两点之间线段最短”的原理，通过作对称点将三条折线段AM、MN、AN转化为同一条直线段：①分别作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''；②连接A'A''，与BC、CD的交点即为所求的M、N，此时△AMN的周长等于A'A''的长度，为最小值。求角度时，结合轴对称的性质、三角形外角性质和内角和定理，结合已知∠BAD=120°即可推导结果。
【解析】
解：作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，交BC于点M，交CD于点N，此时△AMN的周长最小。
根据轴对称的性质可得：$AM=A'M$，$AN=A''N$，
∴$∠ A'=∠ MAA'$，$∠ A''=∠ NAA''$。
∵$∠ AMN$是$△ A'MA$的外角，
∴$∠ AMN=∠ A'+∠ MAA'=2∠ A'$，
同理，$∠ ANM$是$△ A''NA$的外角，
∴$∠ ANM=∠ A''+∠ NAA''=2∠ A''$。
∵$∠ BAD=120°$，在$△ AA'A''$中，$∠ A'+∠ A''=180°-∠ BAD=180°-120°=60°$，
∴$∠ AMN+∠ ANM=2∠ A'+2∠ A''=2(∠ A'+∠ A'')=2×60°=120°$。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形角度计算
【点评】
本题是最短路径的经典题型，核心是通过轴对称将折线最短问题转化为两点之间线段最短的问题，解题过程中要灵活运用轴对称对应角相等的性质，结合三角形外角和内角关系完成角度推导。
【难度系数】
0.6
10. (★★★)请阅读以下材料.
如图①,A,B两村之间有一条两岸互相平行的河,河宽为a.现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直),使A,B之间的路程最短,试画出造桥位置.对于此题,我们可以这样解决:
如图②,把点A向下平移a个单位长度到点A',连接A'B交$l_2$于点C;过点C作$CD⊥l_1$
于点D,则CD就是造桥位置.
请仿照以上材料解决如下问题:
如图③,A,B两村之间有两条互相平行的河.一条河宽为a,另一条河宽为b,现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直),使A,B之间的路程最短,试画出造桥的位置.
如图①,A,B两村之间有一条两岸互相平行的河,河宽为a.现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直),使A,B之间的路程最短,试画出造桥位置.对于此题,我们可以这样解决:
如图②,把点A向下平移a个单位长度到点A',连接A'B交$l_2$于点C;过点C作$CD⊥l_1$
于点D,则CD就是造桥位置.
请仿照以上材料解决如下问题:
如图③,A,B两村之间有两条互相平行的河.一条河宽为a,另一条河宽为b,现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直),使A,B之间的路程最短,试画出造桥的位置.
答案
解：作法如下：
1. 将点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
2. 将点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
3. 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点$C$，交河岸$l_3$于点$E$；
4. 过点$C$作$CD ⊥ l_1$，垂足为$D$；过点$E$作$EF ⊥ l_4$，垂足为$F$；
5. 连接$AD$、$FB$。
则$CD$和$EF$即为所求的两座桥的位置，此时A、B之间的总路程最短。
1. 将点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
2. 将点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
3. 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点$C$，交河岸$l_3$于点$E$；
4. 过点$C$作$CD ⊥ l_1$，垂足为$D$；过点$E$作$EF ⊥ l_4$，垂足为$F$；
5. 连接$AD$、$FB$。
则$CD$和$EF$即为所求的两座桥的位置，此时A、B之间的总路程最短。
解析
【分析】
首先回顾单河造桥的解题逻辑：因桥与河岸垂直，桥长为定值，可通过平移点将固定桥长分离，把可变路径转化为两点间连线，利用“两点之间线段最短”求解。本题有两条河，两座桥长a、b均为定值，总路程中CD=a、EF=b是固定部分，只需让剩余的AD+CE+FB最短即可。仿照单河思路，将点A向下平移a个单位得A'，则AD=A'C；将点B向上平移b个单位得B'，则FB=EB'，此时AD+CE+FB转化为A'C+CE+EB'，要让该路径最短，只需A'、C、E、B'共线，再通过交点作出垂直河岸的桥即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 将点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
2. 将点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
3. 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点$C$，交河岸$l_3$于点$E$；
4. 过点$C$作$CD ⊥ l_1$，垂足为$D$；过点$E$作$EF ⊥ l_4$，垂足为$F$；
5. 连接$AD$、$FB$。
【答案】
$CD$和$EF$即为所求的两座桥的位置，此时A、B之间的总路程最短。
【知识点】
平移的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是造桥选址类最短路径问题的拓展，解题核心是利用平移转化的思想，将固定长度的桥长转化为平移距离，把折线最短问题转化为两点之间线段最短的问题，掌握该转化思路即可轻松解决同类多河造桥的最短路径问题。
【难度系数】
0.6
首先回顾单河造桥的解题逻辑：因桥与河岸垂直，桥长为定值，可通过平移点将固定桥长分离，把可变路径转化为两点间连线，利用“两点之间线段最短”求解。本题有两条河，两座桥长a、b均为定值，总路程中CD=a、EF=b是固定部分，只需让剩余的AD+CE+FB最短即可。仿照单河思路，将点A向下平移a个单位得A'，则AD=A'C；将点B向上平移b个单位得B'，则FB=EB'，此时AD+CE+FB转化为A'C+CE+EB'，要让该路径最短，只需A'、C、E、B'共线，再通过交点作出垂直河岸的桥即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 将点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
2. 将点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
3. 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点$C$，交河岸$l_3$于点$E$；
4. 过点$C$作$CD ⊥ l_1$，垂足为$D$；过点$E$作$EF ⊥ l_4$，垂足为$F$；
5. 连接$AD$、$FB$。
【答案】
$CD$和$EF$即为所求的两座桥的位置，此时A、B之间的总路程最短。
【知识点】
平移的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是造桥选址类最短路径问题的拓展，解题核心是利用平移转化的思想，将固定长度的桥长转化为平移距离，把折线最短问题转化为两点之间线段最短的问题，掌握该转化思路即可轻松解决同类多河造桥的最短路径问题。
【难度系数】
0.6
