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1. (★)如图,A,B两个村庄在公路$l$(不计公路的宽度)的两侧,现要在公路$l$旁建一个货物中转站,使它到$A,B$两个村庄的距离之和最小.如图中所示的$C$点($l$与$AB$的交点)即为所建的货物中转站的位置,这样做的理由是
【 】
A.两直线相交只有一个交点
B.两点确定一条直线
C.两点之间,线段最短
D.经过一点有无数条直线
【 】
A.两直线相交只有一个交点
B.两点确定一条直线
C.两点之间,线段最短
D.经过一点有无数条直线
答案
C
解析
【分析】
首先明确题目核心需求：在公路$l$上找一点，使该点到A、B两村的距离之和最小。由于A、B在公路$l$两侧，我们可以联想到线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短。连接A、B两点，线段AB与$l$的交点C到A、B的距离之和恰好等于线段AB的长度，若选择$l$上其他任意点，该点到A、B的距离之和都会大于AB的长度，因此只需对应选项找到符合该原理的描述即可。
【解析】
任取直线$l$上除C外的任意一点$C'$，连接$AC'$、$BC'$。根据“两点之间，线段最短”，可得$AC'+BC'＞AB$，而$AB=AC+BC$，因此$AC+BC$是$l$上的点到A、B距离之和的最小值，该做法的依据是“两点之间，线段最短”。
逐一分析选项：
A. 两直线相交只有一个交点，描述的是直线相交的特征，和距离和最小无关，不符合要求；
B. 两点确定一条直线，是确定唯一一条直线的依据，不符合题意；
C. 两点之间，线段最短，符合上述分析；
D. 经过一点有无数条直线，和本题求最短距离和的需求无关。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是线段基本性质的实际应用类基础题，解题关键是区分易混的线段、直线性质：“两点确定一条直线”多用于确定直线位置，“两点之间，线段最短”多用于解决最短距离类问题。
【难度系数】
0.9
首先明确题目核心需求：在公路$l$上找一点，使该点到A、B两村的距离之和最小。由于A、B在公路$l$两侧，我们可以联想到线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短。连接A、B两点，线段AB与$l$的交点C到A、B的距离之和恰好等于线段AB的长度，若选择$l$上其他任意点，该点到A、B的距离之和都会大于AB的长度，因此只需对应选项找到符合该原理的描述即可。
【解析】
任取直线$l$上除C外的任意一点$C'$，连接$AC'$、$BC'$。根据“两点之间，线段最短”，可得$AC'+BC'＞AB$，而$AB=AC+BC$，因此$AC+BC$是$l$上的点到A、B距离之和的最小值，该做法的依据是“两点之间，线段最短”。
逐一分析选项：
A. 两直线相交只有一个交点，描述的是直线相交的特征，和距离和最小无关，不符合要求；
B. 两点确定一条直线，是确定唯一一条直线的依据，不符合题意；
C. 两点之间，线段最短，符合上述分析；
D. 经过一点有无数条直线，和本题求最短距离和的需求无关。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是线段基本性质的实际应用类基础题，解题关键是区分易混的线段、直线性质：“两点确定一条直线”多用于确定直线位置，“两点之间，线段最短”多用于解决最短距离类问题。
【难度系数】
0.9
2. (★)小王准备在街道旁建一个送奶站，向居民区A,B提供牛奶，要使A,B两居民区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在 【 】
答案
C
解析
【分析】
要解决在街道（直线）上找一点C，使得同侧的居民区A、B到C的距离之和最小的问题，需结合最短路径的经典模型思考：首先我们可以利用轴对称的性质，将同侧的两个点转化为异侧的点，再根据“两点之间线段最短”的原理，连接异侧的两个点，与街道的交点就是满足条件的C点，接下来对照四个选项的作图，判断哪个符合上述作法即可。
【解析】
已知街道可看作一条直线，居民区A、B在街道的同侧，要使AC+BC最小，正确作法如下：
1. 作点A关于街道所在直线的对称点A'，根据轴对称的性质，可得AC=A'C，因此AC+BC=A'C+BC；
2. 根据“两点之间线段最短”，当点C落在A'B与街道的交点处时，A'C+BC的和最小，即AC+BC最小。
对各选项逐一判断：
选项A：仅满足BC垂直于街道，不能保证AC+BC最小，不符合要求；
选项B：所作直线是∠ACB的角平分线，仅满足点C到AC、BC的距离相等，不符合距离和最小的要求；
选项C：作图符合上述“作对称点连线找交点”的作法，符合要求；
选项D：点C是A、B到街道的垂足的中点，不能保证AC+BC最小，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心解题思路是通过轴对称将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的线段长度问题，结合线段的基本性质求解，掌握该模型的作图原理是解决同类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决在街道（直线）上找一点C，使得同侧的居民区A、B到C的距离之和最小的问题，需结合最短路径的经典模型思考：首先我们可以利用轴对称的性质，将同侧的两个点转化为异侧的点，再根据“两点之间线段最短”的原理，连接异侧的两个点，与街道的交点就是满足条件的C点，接下来对照四个选项的作图，判断哪个符合上述作法即可。
【解析】
已知街道可看作一条直线，居民区A、B在街道的同侧，要使AC+BC最小，正确作法如下：
1. 作点A关于街道所在直线的对称点A'，根据轴对称的性质，可得AC=A'C，因此AC+BC=A'C+BC；
2. 根据“两点之间线段最短”，当点C落在A'B与街道的交点处时，A'C+BC的和最小，即AC+BC最小。
对各选项逐一判断：
选项A：仅满足BC垂直于街道，不能保证AC+BC最小，不符合要求；
选项B：所作直线是∠ACB的角平分线，仅满足点C到AC、BC的距离相等，不符合距离和最小的要求；
选项C：作图符合上述“作对称点连线找交点”的作法，符合要求；
选项D：点C是A、B到街道的垂足的中点，不能保证AC+BC最小，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心解题思路是通过轴对称将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的线段长度问题，结合线段的基本性质求解，掌握该模型的作图原理是解决同类问题的关键。
【难度系数】
0.8
3. (★★)如图，直线m是△ABC中边BC的垂直平分线，P是直线m上的一动点.若AB=5，AC=4，BC=7，则△APC周长的最小值是【 】
A.9
B.10
C.10.5
D.11
A.9
B.10
C.10.5
D.11
答案
A
解析
【分析】
要解决△APC周长最小值的问题，首先明确周长的组成：△APC的周长=AP+PC+AC，其中AC长度固定为4，因此只需让AP+PC的和最小即可。结合直线m是BC的垂直平分线，可知垂直平分线上的点P到B、C的距离相等，即PB=PC，因此可将AP+PC转化为AP+PB，此时问题转化为求AP+PB的最小值。根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，AP+PB的和最小，等于AB的长度，代入计算即可得到最小周长。
【解析】
∵ 直线m是BC的垂直平分线，点P在直线m上
∴ PB = PC
△APC的周长 = AP + PC + AC = AP + PB + AC
∵ AC=4为定值，要使△APC周长最小，需使AP+PB的值最小
根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线（即P为AB与直线m的交点）时，AP+PB取得最小值，最小值为AB的长度5
∴ △APC周长的最小值为5+4=9
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是最短路径类的典型题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质对可变线段进行等量转化，将求两条线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题，掌握转化思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决△APC周长最小值的问题，首先明确周长的组成：△APC的周长=AP+PC+AC，其中AC长度固定为4，因此只需让AP+PC的和最小即可。结合直线m是BC的垂直平分线，可知垂直平分线上的点P到B、C的距离相等，即PB=PC，因此可将AP+PC转化为AP+PB，此时问题转化为求AP+PB的最小值。根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，AP+PB的和最小，等于AB的长度，代入计算即可得到最小周长。
【解析】
∵ 直线m是BC的垂直平分线，点P在直线m上
∴ PB = PC
△APC的周长 = AP + PC + AC = AP + PB + AC
∵ AC=4为定值，要使△APC周长最小，需使AP+PB的值最小
根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线（即P为AB与直线m的交点）时，AP+PB取得最小值，最小值为AB的长度5
∴ △APC周长的最小值为5+4=9
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是最短路径类的典型题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质对可变线段进行等量转化，将求两条线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题，掌握转化思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. (★★)如图,等腰$△ ABC$的底边BC长为6,面积是24,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F.若D为边BC的中点,M为线段EF上一动点,则$△ CDM$周长的最小值为
【 】
A.11
B.10
C.9
D.8
【 】
A.11
B.10
C.9
D.8
答案
A
解析
【分析】
要求△CDM的周长，首先可知周长=CD+DM+CM，其中CD是固定值，因此只需找到DM+CM的最小值即可。首先利用线段垂直平分线的性质，EF是AC的垂直平分线，所以点M在EF上时CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM；再根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取最小值，等于AD的长度。最后结合等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的高，用三角形面积公式求出AD的长度，即可算出周长最小值。
【解析】
△CDM的周长 = CD + DM + CM，具体计算步骤如下：
1. 求定值CD：
∵ D是BC的中点，BC=6，
∴ $\boldsymbol{CD = \frac{1}{2}BC = 3}$，因此只需最小化DM+CM的长度即可。
2. 线段转化：
∵ EF是AC的垂直平分线，M在EF上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$\boldsymbol{CM = AM}$，因此$\boldsymbol{DM + CM = DM + AM}$。
3. 求DM+AM的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，最小值为线段AD的长度。
4. 计算AD的长度：
∵ △ABC是等腰三角形，D是BC中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，即AD是BC边上的高。
已知△ABC的面积为24，代入三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$24 = \frac{1}{2}×6×AD$，解得$\boldsymbol{AD=8}$。
5. 计算周长最小值：
△CDM的周长最小值 = CD + AD = $3 + 8 = 11$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质，最短路径问题，等腰三角形的性质
【点评】
本题是最短路径的典型考法，解题核心是利用垂直平分线的性质实现线段转化，结合两点之间线段最短确定最小值对应的线段，再结合等腰三角形的性质和面积公式计算定值，需要熟练掌握各知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
要求△CDM的周长，首先可知周长=CD+DM+CM，其中CD是固定值，因此只需找到DM+CM的最小值即可。首先利用线段垂直平分线的性质，EF是AC的垂直平分线，所以点M在EF上时CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM；再根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取最小值，等于AD的长度。最后结合等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的高，用三角形面积公式求出AD的长度，即可算出周长最小值。
【解析】
△CDM的周长 = CD + DM + CM，具体计算步骤如下：
1. 求定值CD：
∵ D是BC的中点，BC=6，
∴ $\boldsymbol{CD = \frac{1}{2}BC = 3}$，因此只需最小化DM+CM的长度即可。
2. 线段转化：
∵ EF是AC的垂直平分线，M在EF上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$\boldsymbol{CM = AM}$，因此$\boldsymbol{DM + CM = DM + AM}$。
3. 求DM+AM的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，最小值为线段AD的长度。
4. 计算AD的长度：
∵ △ABC是等腰三角形，D是BC中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，即AD是BC边上的高。
已知△ABC的面积为24，代入三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$24 = \frac{1}{2}×6×AD$，解得$\boldsymbol{AD=8}$。
5. 计算周长最小值：
△CDM的周长最小值 = CD + AD = $3 + 8 = 11$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质，最短路径问题，等腰三角形的性质
【点评】
本题是最短路径的典型考法，解题核心是利用垂直平分线的性质实现线段转化，结合两点之间线段最短确定最小值对应的线段，再结合等腰三角形的性质和面积公式计算定值，需要熟练掌握各知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
5. (★★)如图,点E在等边△ABC的边BC上,BE=3,射线CD⊥BC,垂足为C,P是射线CD上一动点,F是线段AB上一动点,当EP+FP的值最小时,BF=5,则AB的长为 【 】
A.6.5
B.7
C.8
D.9
A.6.5
B.7
C.8
D.9
答案
A
解析
【分析】
本题属于最短路径中的将军饮马问题，解题思路如下：1. 要使EP+FP最小，首先作点E关于直线CD的对称点E'，根据对称性质可得EP=E'P，因此EP+FP转化为E'P+FP；2. 根据两点之间线段最短和垂线段最短，当E'、P、F三点共线且E'F⊥AB时，E'P+FP的值最小，等于E'F的长度；3. 结合等边三角形∠B=60°的性质，在Rt△E'FB中利用含30°角直角三角形的性质求出BE'的长度，再根据对称点的线段关系列方程求出AB的长度即可。
【解析】
1. 作点E关于直线CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB于F，交CD于点P，此时EP+FP的值最小。
由对称性质可知：EP=E'P，CE=CE'，因此EP+FP=E'P+FP=E'F，为最小值。
2. 设AB的长为$x$，
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=BC=x$，$∠B=60°$。
已知$BE=3$，
∴$CE=BC-BE=x-3$，
∴$CE'=CE=x-3$。
可得$BE'=BC+CE'=x+(x-3)=2x-3$。
3. 在Rt△E'FB中，$∠B=60°$，
∴$∠BE'F=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
$BF=\frac{1}{2}BE'$，已知$BF=5$，
∴$BE'=2×5=10$。
4. 列方程：$2x-3=10$，解得$x=6.5$，即$AB=6.5$。
【答案】
A
【知识点】
将军饮马最短路径，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题将最短路径问题与特殊三角形的性质结合考查，解题的核心是正确构造对称点确定最短路径对应的线段，再结合直角三角形和等边三角形的边角关系计算边长，是最短路径类的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径中的将军饮马问题，解题思路如下：1. 要使EP+FP最小，首先作点E关于直线CD的对称点E'，根据对称性质可得EP=E'P，因此EP+FP转化为E'P+FP；2. 根据两点之间线段最短和垂线段最短，当E'、P、F三点共线且E'F⊥AB时，E'P+FP的值最小，等于E'F的长度；3. 结合等边三角形∠B=60°的性质，在Rt△E'FB中利用含30°角直角三角形的性质求出BE'的长度，再根据对称点的线段关系列方程求出AB的长度即可。
【解析】
1. 作点E关于直线CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB于F，交CD于点P，此时EP+FP的值最小。
由对称性质可知：EP=E'P，CE=CE'，因此EP+FP=E'P+FP=E'F，为最小值。
2. 设AB的长为$x$，
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=BC=x$，$∠B=60°$。
已知$BE=3$，
∴$CE=BC-BE=x-3$，
∴$CE'=CE=x-3$。
可得$BE'=BC+CE'=x+(x-3)=2x-3$。
3. 在Rt△E'FB中，$∠B=60°$，
∴$∠BE'F=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
$BF=\frac{1}{2}BE'$，已知$BF=5$，
∴$BE'=2×5=10$。
4. 列方程：$2x-3=10$，解得$x=6.5$，即$AB=6.5$。
【答案】
A
【知识点】
将军饮马最短路径，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题将最短路径问题与特殊三角形的性质结合考查，解题的核心是正确构造对称点确定最短路径对应的线段，再结合直角三角形和等边三角形的边角关系计算边长，是最短路径类的典型题型。
【难度系数】
0.6
6. (★★)如图，P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为
【】
A.5
B.6
C.7
D.8
【】
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
D
解析
【分析】
要解决△PMN周长最小的问题，本质是求PM+MN+PN的和的最小值，我们可以借助轴对称的性质转化线段：①分别作点P关于OA、OB的对称点，利用轴对称的性质把PM、PN转化为和对称点相关的等长线段；②根据“两点之间线段最短”，当两个对称点与M、N共线时，三条线段的和最小，等于两个对称点之间的线段长度；③结合已知的∠AOB度数和OP长度，判断两个对称点与点O构成的三角形的形状，即可求出线段长度。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OA的对称点$P_1$，关于射线OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M、交OB于点N，此时△PMN的周长最小，最小值等于$P_1P_2$的长度。
2. 由轴对称的性质可得：$OP_1=OP=8$，$OP_2=OP=8$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$。
因此$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ AOB+∠ P_2OB=∠ POA+∠ AOB+∠ POB=2∠ AOB$。
已知$∠ AOB=30°$，所以$∠ P_1OP_2=2×30°=60°$。
3. 在$△ P_1OP_2$中，$OP_1=OP_2=8$，且$∠ P_1OP_2=60°$，因此$△ P_1OP_2$是等边三角形，可得$P_1P_2=OP_1=8$。
即△PMN周长的最小值为8。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于典型的两动点最短路径问题，解题核心是通过轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质求解，掌握轴对称的性质和“两点之间线段最短”是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决△PMN周长最小的问题，本质是求PM+MN+PN的和的最小值，我们可以借助轴对称的性质转化线段：①分别作点P关于OA、OB的对称点，利用轴对称的性质把PM、PN转化为和对称点相关的等长线段；②根据“两点之间线段最短”，当两个对称点与M、N共线时，三条线段的和最小，等于两个对称点之间的线段长度；③结合已知的∠AOB度数和OP长度，判断两个对称点与点O构成的三角形的形状，即可求出线段长度。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OA的对称点$P_1$，关于射线OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M、交OB于点N，此时△PMN的周长最小，最小值等于$P_1P_2$的长度。
2. 由轴对称的性质可得：$OP_1=OP=8$，$OP_2=OP=8$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$。
因此$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ AOB+∠ P_2OB=∠ POA+∠ AOB+∠ POB=2∠ AOB$。
已知$∠ AOB=30°$，所以$∠ P_1OP_2=2×30°=60°$。
3. 在$△ P_1OP_2$中，$OP_1=OP_2=8$，且$∠ P_1OP_2=60°$，因此$△ P_1OP_2$是等边三角形，可得$P_1P_2=OP_1=8$。
即△PMN周长的最小值为8。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于典型的两动点最短路径问题，解题核心是通过轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质求解，掌握轴对称的性质和“两点之间线段最短”是解题的关键。
【难度系数】
0.6
7. (★★)如图,在△ABC中,AB=AC=10,点P在边AB上,以点A为圆心,以AP的长为半径作弧,交AC于点Q.再分别以点P,Q为圆心,以大于$\frac{1}{2}PQ$的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点R,连接AR并延长,交BC于点D.已知AD=8,BC=12.若M,N分别是线段AD和线段AB上的动点,则BM+MN的最小值为.
(第7题) (第8题)
(第7题) (第8题)
答案
解：
由作图过程可知，AD平分∠BAC。
因为AB=AC，根据等腰三角形三线合一性质，得AD⊥BC，且BD=CD=$\frac{1}{2}BC=6$，
因此点B与点C关于直线AD对称，可得$BM=CM$。
所以$BM+MN=CM+MN$，当C、M、N三点共线，且$CN⊥ AB$时，$CM+MN$取得最小值，即线段CN的长度为$BM+MN$的最小值。
计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×8=48$
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CN$，将$AB=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10× CN=48$
解得$CN=\frac{48}{5}$。
$\frac{48}{5}$
由作图过程可知，AD平分∠BAC。
因为AB=AC，根据等腰三角形三线合一性质，得AD⊥BC，且BD=CD=$\frac{1}{2}BC=6$，
因此点B与点C关于直线AD对称，可得$BM=CM$。
所以$BM+MN=CM+MN$，当C、M、N三点共线，且$CN⊥ AB$时，$CM+MN$取得最小值，即线段CN的长度为$BM+MN$的最小值。
计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×8=48$
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CN$，将$AB=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10× CN=48$
解得$CN=\frac{48}{5}$。
$\frac{48}{5}$
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的结论：该作图是作∠BAC的角平分线，可得AD平分∠BAC；结合AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD垂直平分BC，因此点B与点C关于直线AD对称，可将BM转化为CM，此时BM+MN转化为CM+MN；根据“垂线段最短”，可知当C、M、N三点共线且CN⊥AB时，CM+MN取得最小值，即最小值为点C到AB的垂线段CN的长度，最后利用三角形面积的两种计算方法求解CN的长度即可。
【解析】
由尺规作图过程可知，AD平分∠BAC。
∵AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，且$BD=CD=\frac{1}{2}BC=6$，
∴点B与点C关于直线AD对称，因此$BM=CM$。
则$BM+MN=CM+MN$，当C、M、N三点共线，且$CN⊥AB$时，$CM+MN$取得最小值，即线段CN的长度为$BM+MN$的最小值。
计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×8=48$
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CN$，将$AB=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10× CN=48$
解得$CN=\frac{48}{5}$。
【答案】
$\frac{48}{5}$
【知识点】
1.角平分线的尺规作图 2.等腰三角形三线合一 3.最短路径问题
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型题型，解题的核心是利用轴对称性质将待求线段和进行转化，再结合垂线段最短确定最小值的位置，最后用面积法求高即可得到结果，综合考查了多个基础知识点的运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先识别尺规作图的结论：该作图是作∠BAC的角平分线，可得AD平分∠BAC；结合AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD垂直平分BC，因此点B与点C关于直线AD对称，可将BM转化为CM，此时BM+MN转化为CM+MN；根据“垂线段最短”，可知当C、M、N三点共线且CN⊥AB时，CM+MN取得最小值，即最小值为点C到AB的垂线段CN的长度，最后利用三角形面积的两种计算方法求解CN的长度即可。
【解析】
由尺规作图过程可知，AD平分∠BAC。
∵AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，且$BD=CD=\frac{1}{2}BC=6$，
∴点B与点C关于直线AD对称，因此$BM=CM$。
则$BM+MN=CM+MN$，当C、M、N三点共线，且$CN⊥AB$时，$CM+MN$取得最小值，即线段CN的长度为$BM+MN$的最小值。
计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×8=48$
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CN$，将$AB=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10× CN=48$
解得$CN=\frac{48}{5}$。
【答案】
$\frac{48}{5}$
【知识点】
1.角平分线的尺规作图 2.等腰三角形三线合一 3.最短路径问题
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型题型，解题的核心是利用轴对称性质将待求线段和进行转化，再结合垂线段最短确定最小值的位置，最后用面积法求高即可得到结果，综合考查了多个基础知识点的运用。
【难度系数】
0.6
