登录
1. (★)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面四个汉字,可以看作是轴对称图形的是 【 】
(第1题)
(第1题)答案
C
解析
解：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
观察四个汉字：
“知”、“物”、“学”都不存在这样的直线，使沿该直线折叠后直线两旁的部分完全重合，都不是轴对称图形；
“由”存在一条过图形中心的竖直直线，沿该直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形。
观察四个汉字：
“知”、“物”、“学”都不存在这样的直线，使沿该直线折叠后直线两旁的部分完全重合，都不是轴对称图形；
“由”存在一条过图形中心的竖直直线，沿该直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形。
2. (★)如图,点A在直线l上,△ABC与△AB'C'关于直线l对称,连接BB'分别交AC,AC'于点D,D',连接CC',下列结论不一定正确的是
【 】
A.∠BAC = ∠B'AC'
B.CC' // BB'
C.BD = B'D'
D.AD = DD'
【 】
A.∠BAC = ∠B'AC'
B.CC' // BB'
C.BD = B'D'
D.AD = DD'
答案
D
解析
根据轴对称的性质逐一判断：
1. 由△ABC与△AB'C'关于直线l对称，得△ABC≌△AB'C'，对应角相等，故∠BAC=∠B'AC'，A正确；
2. 由轴对称性质，点B、B'的连线和点C、C'的连线都被直线l垂直平分，即BB'⊥l，CC'⊥l，垂直于同一直线的两条直线平行，故CC'//BB'，B正确；
3. 由轴对称性质，点D、D'关于直线l对称，点B、B'关于直线l对称，对应线段相等，故BD=B'D'，C正确；
4. 题中没有条件能推出AD=DD'，该结论不一定成立。
1. 由△ABC与△AB'C'关于直线l对称，得△ABC≌△AB'C'，对应角相等，故∠BAC=∠B'AC'，A正确；
2. 由轴对称性质，点B、B'的连线和点C、C'的连线都被直线l垂直平分，即BB'⊥l，CC'⊥l，垂直于同一直线的两条直线平行，故CC'//BB'，B正确；
3. 由轴对称性质，点D、D'关于直线l对称，点B、B'关于直线l对称，对应线段相等，故BD=B'D'，C正确；
4. 题中没有条件能推出AD=DD'，该结论不一定成立。
3. (★★)如图,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE//BC,交AB于点D,交AC于点E,有以下结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②$DE = BD + CE$;③△ADE的周长为$AB+AC$;④$BD=CE$.其中正确的是
【 】
A.①②
B.③④
C.①②③
D.②③④
【 】
A.①②
B.③④
C.①②③
D.②③④
答案
C
解析
1. 证明①：因为BF平分∠ABC，所以∠DBF=∠FBC，又DE//BC，得∠DFB=∠FBC，因此∠DBF=∠DFB，即DB=DF，△BDF是等腰三角形；同理可证EF=EC，△CEF是等腰三角形，①正确。
2. 证明②：DE=DF+EF，结合DF=BD、EF=CE，可得DE=BD+CE，②正确。
3. 证明③：△ADE的周长=AD+DE+AE，代入DE=BD+CE，得周长=AD+BD+CE+AE=AB+AC，③正确。
4. 判断④：题目未给出AB=AC的条件，无法推出BD=CE，④错误。
综上，正确结论为①②③。
2. 证明②：DE=DF+EF，结合DF=BD、EF=CE，可得DE=BD+CE，②正确。
3. 证明③：△ADE的周长=AD+DE+AE，代入DE=BD+CE，得周长=AD+BD+CE+AE=AB+AC，③正确。
4. 判断④：题目未给出AB=AC的条件，无法推出BD=CE，④错误。
综上，正确结论为①②③。
4. (★★)如图,在$△ ABC$的边$BC$上截取$BE=AB$,连接$AE$,作$△ ABE$的角平分线$BD$交$AE$于点$D$,若$∠ EAC=∠ C$,$BC=9$,$AB=5$,则$AD$的长为.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
∵ BE=AB，AB=5
∴ BE=5
∵ BD是△ABE的角平分线，且AB=BE
∴ 由等腰三角形三线合一性质得：AD=DE，即AE=2AD
∵ BC=9
∴ EC=BC-BE=9-5=4
∵ ∠EAC=∠C
∴ AE=EC=4
∴ 2AD=4
∴ AD=2
∵ BE=AB，AB=5
∴ BE=5
∵ BD是△ABE的角平分线，且AB=BE
∴ 由等腰三角形三线合一性质得：AD=DE，即AE=2AD
∵ BC=9
∴ EC=BC-BE=9-5=4
∵ ∠EAC=∠C
∴ AE=EC=4
∴ 2AD=4
∴ AD=2
5. (★★)如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为4 cm,面积是12 cm²,腰AB的垂直平分线EF交AB于点E,交AC于点F,若D为BC边的中点,M为线段EF上一动点,则△BDM的周长最短为 cm.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：连接AD，
∵ △ABC是等腰三角形，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，
由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = 12$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
得 $\frac{1}{2} × 4 × AD = 12$，
解得 $AD = 6\ \mathrm{cm}$。
∵ EF是AB的垂直平分线，点M在EF上，
∴ $MB = MA$。
△BDM的周长为 $BD + DM + MB$，
∵ $BD = \frac{1}{2}BC = 2\ \mathrm{cm}$，
∴ $C_{△ BDM} = 2 + DM + MA$。
根据两点之间线段最短，当点M落在AD上时，$DM + MA$取得最小值，最小值等于AD的长度6 cm，
∴ △BDM的周长最短为 $2 + 6 = 8\ \mathrm{cm}$。
最终
∵ △ABC是等腰三角形，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，
由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = 12$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
得 $\frac{1}{2} × 4 × AD = 12$，
解得 $AD = 6\ \mathrm{cm}$。
∵ EF是AB的垂直平分线，点M在EF上，
∴ $MB = MA$。
△BDM的周长为 $BD + DM + MB$，
∵ $BD = \frac{1}{2}BC = 2\ \mathrm{cm}$，
∴ $C_{△ BDM} = 2 + DM + MA$。
根据两点之间线段最短，当点M落在AD上时，$DM + MA$取得最小值，最小值等于AD的长度6 cm，
∴ △BDM的周长最短为 $2 + 6 = 8\ \mathrm{cm}$。
最终
6. (★ ★) 如图，已知$△ ABD$是等边三角形，$BC=DC$，点$E$在$AD$上，$CE$交$BD$于点$F$，$AE=EC$，若$∠ CBD=2∠ DCE$，则$∠ DCE$的度数为
【 】
A.$40°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$15°$
【 】
A.$40°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$15°$
答案
B
解析
设∠DCE=x，由题意得∠CBD=2x。
1. 因为BC=DC，所以∠CBD=∠CDB=2x。
2. 已知△ABD是等边三角形，故AB=AD，∠BAD=60°。
3. 在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，得∠DAC=∠BAC=1/2∠BAD=30°。
4. 由AE=EC，得∠EAC=∠ECA=30°，即∠ACE=30°，因此∠ACD=30°+x。
5. 在△BCD中，由内角和定理得∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=180°-4x。
6. 由全等得∠ACB=∠ACD，故∠BCD=2∠ACD，代入得方程：180°-4x=2(30°+x)，解得x=20°，即∠DCE=20°。
1. 因为BC=DC，所以∠CBD=∠CDB=2x。
2. 已知△ABD是等边三角形，故AB=AD，∠BAD=60°。
3. 在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，得∠DAC=∠BAC=1/2∠BAD=30°。
4. 由AE=EC，得∠EAC=∠ECA=30°，即∠ACE=30°，因此∠ACD=30°+x。
5. 在△BCD中，由内角和定理得∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=180°-4x。
6. 由全等得∠ACB=∠ACD，故∠BCD=2∠ACD，代入得方程：180°-4x=2(30°+x)，解得x=20°，即∠DCE=20°。
7.(★★)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点D,F.若△AFC是等边三角形,AC=6,则DF的长度为 【 】
A.2
B.3
C.4
D.6
(第7题) (第8题)
A.2
B.3
C.4
D.6
(第7题) (第8题)
答案
B
解析
∵DF是BC的垂直平分线，∴FB=FC，FD⊥BC。∵△AFC是等边三角形，∴FC=AC=6，∠AFC=60°。由∠AFC是△BFC的外角，得∠AFC=∠B+∠FCB，结合FB=FC，推出∠B=∠FCB=30°。在Rt△FDC中，∠FDC=90°，∠FCD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得DF=½FC=½×6=3。
