8.(★★)如图，$∠ AOB=15°$，$P$是$OA$上一点，点$Q$与点$P$关于$OB$对称，$QM ⊥ OA$于点$M$，若$OP=6$，则$QM$的长为.

$\boldsymbol{3}$

解：连接OQ，
∵点Q与点P关于OB对称，
∴OQ=OP=6，∠QOB=∠AOB=15°，
∴∠QOA=∠AOB+∠QOB=30°，
又∵QM⊥OA，
∴∠QMO=90°，即△QMO为直角三角形，
在Rt△QMO中，∠QOM=30°，
∴QM=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{1}{2}$×6=3。

9. (★)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD⊥ AC$,垂足为$D$,$△ ABD$与$△ A'BD$关于直线$BD$对称,点$A$的对称点是点$A'$,若$∠ A'BC=14°$,则$∠ A$的度数为.

(第9题) (第11题)

$\boldsymbol{52°}$

解：
∵ △ABD与△A'BD关于直线BD对称，
∴ ∠ABD = ∠A'BD。
∵ ∠ABC = 90°，∠A'BC = 14°，
∴ ∠ABA' = ∠ABC - ∠A'BC = 90° - 14° = 76°，
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABA' = 38°。
又∵ BD⊥AC，即∠ADB = 90°，
∴ 在Rt△ABD中，∠A = 90° - ∠ABD = 90° - 38° = 52°。

10. (★)已知点$(m-1,n+2)$与点$(2m-4,2)$关于$x$轴对称，则$(m+n)^{2026}$的值为.

$\boldsymbol{1}$

解：
∵ 点$(m-1,n+2)$与点$(2m-4,2)$关于x轴对称，
∴ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}m - 1 = 2m - 4 \\n + 2 = -2\end{cases}$
解得：$m=3$，$n=-4$。
∴ $m+n=3+(-4)=-1$，
∴ $(m+n)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。

11. (★★)如图,在$△ ABC$中,点B与点C关于直线DE对称,直线DE分别交AB,BC于点D,E,连接CD,CD平分$∠ ACB$,$∠ A=60°$,则$∠ B$的度数为.

$\boldsymbol{40°}$

解：
∵ 点B与点C关于直线DE对称，
∴ DE垂直平分BC，
∴ DB = DC，
∴ ∠B = ∠DCB。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD = ∠DCB，
∴ ∠ACB = 2∠DCB = 2∠B。
在△ABC中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
∵ ∠A = 60°，
∴ 60° + ∠B + 2∠B = 180°，
解得∠B = 40°。
最终

12. (★)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C,BC=5,S_{△ ABC}=20,AD ⊥ BC$于点$D,EF$垂直平分$AB$,交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$.若$P$是$EF$上一动点,则$△ PBD$的周长的最小值是________.

$\boldsymbol{\frac{21}{2}}$（或10.5）

解：
∵ ∠B=∠C，
∴ AB=AC，
又∵ AD⊥BC，
∴ D是BC的中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=20$，代入$BC=5$，得：
$\frac{1}{2}×5× AD=20$，
解得$AD=8$。
∵ EF垂直平分AB，
∴ 点B关于直线EF的对称点为点A，对EF上任意动点P，都有$PB=PA$。
∴ $△ PBD$的周长$=PB+PD+BD=PA+PD+BD$。
根据两点之间线段最短，可得$PA+PD≥ AD$，当且仅当A、P、D三点共线时取等号，即$PA+PD$的最小值为$AD=8$。
∴ $△ PBD$周长的最小值为$8+\frac{5}{2}=\frac{21}{2}$（或10.5）。
最终

13. (★★)如图，已知∠AON=30°,P是射线ON上一动点，当∠A的度数为
时，△AOP是等腰三角形。

解：分三种情况讨论△AOP为等腰三角形：
1. 当$AO=AP$时，$∠ APO=∠ AON=30°$，
$\therefore ∠ A=180° - 30° - 30°=120°$；
2. 当$AO=OP$时，$∠ A=∠ APO$，
$\therefore ∠ A=\frac{180°-∠ AON}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$；
3. 当$OP=AP$时，$∠ A=∠ AON=30°$。
综上，$∠ A$的度数为$30°$或$75°$或$120°$。

14. (★★) 如图, 在$△ ABC$中, $∠ BAC = 60°, ∠ ACB=40°, ∠ ABC$的平分线$BD$交边$AC$于点$D,E$为$BC$的中点,连接$DE$.
(1)求证:$△ BCD$是等腰三角形;
(2)求$∠ EDC$的度数.

证明：(1) 在$△ ABC$中，
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 60° - 40° = 80°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = 40°$，
$\therefore ∠ DBC = ∠ ACB$，
$\therefore DB = DC$，
$\therefore △ BCD$是等腰三角形。
(2) 解：
$\because △ BCD$是等腰三角形，$E$为$BC$的中点，
$\therefore DE ⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线垂直于底边），即$∠ DEC = 90°$。
在$△ DEC$中，
$∠ EDC = 180° - ∠ DEC - ∠ ACB = 180° - 90° - 40° = 50°$。
$\therefore ∠ EDC$的度数为$50°$。

15. (★★)如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AB 的垂直平分线交 AB 于点 N,交 BC 的延长线于点 M,$∠ A=40°$,求$∠ NMB$的度数.
(1)如果将题目中$∠ A$的度数改为$70°$,如图②,其余条件不变,再求$∠ NMB$的度数.
(2)你发现了什么样的规律?试证明你的结论.
(3)将题目中的$∠ A$改为钝角,如图③,(2)中发现的规律还成立吗?

解：
在△ABC中，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB=$\frac{180°-∠ A}{2}$。
∵ ∠A=40°，
∴ ∠B=$\frac{180°-40°}{2}=70°$。
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ MN⊥AB，即∠MNB=90°。
∴ 在Rt△NMB中，∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°。
(1)
∵ AB=AC，∠A=70°，
∴ ∠B=$\frac{180°-70°}{2}=55°$。
∵ ∠MNB=90°，
∴ ∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°。
(2)
规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边（或底边延长线）的夹角，等于顶角的一半，即$\boldsymbol{∠ NMB=\frac{1}{2}∠ A}$。
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=$\frac{180°-∠ A}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ A$。
∵ MN⊥AB，
∴ ∠MNB=90°，
∴ ∠NMB=90°-∠B=$90°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=\frac{1}{2}∠ A$，结论得证。
(3)
(2)中的规律仍然成立。
证明：设钝角∠A=α，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=$\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{1}{2}α$。
∵ MN⊥AB，
∴ ∠MNB=90°，
∴ ∠NMB=90°-∠B=$90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α=\frac{1}{2}∠ A$，规律依然成立。