16. (★)如图,在一个房间内,有一个长为1.6 m的梯子(图中 CM)斜靠在墙上,此时梯子的倾斜角为$75°$,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子的倾斜角为$45°$,那么 MN 的长是 m.

$\boldsymbol{1.6}$

解：由题意可知，梯子长度不变，因此$CM=CN=1.6\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ACM=75°$，$∠ NCB=45°$，且$∠ ACB=180°$，
$\therefore ∠ MCN=180° -75° -45°=60°$。
又$\because CM=CN$，
$\therefore △ MCN$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形。
$\therefore MN=CM=1.6\ \mathrm{m}$。
最终

17. (★★)如图,在$△ ABC$中,以点$A$为圆心,$AC$的长为半径作弧,与$BC$交于点$E$,分别以点$E$和点$C$为圆心,大于$\frac{1}{2}EC$的长为半径作弧,两弧相交于点$P$,作射线$AP$交$BC$于点$D$.若$∠ B=45°$,$∠ ACB=2∠ CAD$,则$∠ BAE$的度数为
【 】

A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

A

1. 根据作图过程可知：AE=AC，直线AP是线段EC的垂直平分线，因此AD⊥BC，且∠EAD=∠CAD。
2. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，可得∠CAD + ∠ACB = 90°。
3. 代入已知条件∠ACB=2∠CAD，得∠CAD + 2∠CAD = 90°，解得∠CAD=30°，因此∠ACB=60°。
4. 由AE=AC，等腰三角形底角相等得∠AEC=∠ACB=60°。
5. 根据三角形外角性质，∠AEC=∠B + ∠BAE，代入∠B=45°，计算得∠BAE=60°-45°=15°。

18. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$E$是$△ ABC$内的两点,$AE$平分$∠ BAC$,$∠ D=∠ DBC=60°$,若$BD=5\ \mathrm{cm}$,$DE=3\ \mathrm{cm}$,求$BC$的长.

解：
延长ED交BC于点F，设AE的延长线交BC于点M。
∵ ∠BDE=∠DBC=60°，即∠BDF=60°，∠DBF=60°，
∴ ∠BFD=180°-∠BDF-∠DBC=60°，
∴ △BDF是等边三角形，
∴ BD=BF=DF=5 cm。
∵ DE=3 cm，
∴ EF=DF-DE=5-3=2 cm。
∵ AB=AC，AE平分∠BAC，
由等腰三角形三线合一得：AM⊥BC，且BM=MC。
在Rt△EFM中，∠EFM=60°，
∴ ∠FEM=90°-60°=30°，
∴ MF=$\frac{1}{2}$EF=1 cm，
∴ BM=BF-MF=5-1=4 cm，
∴ BC=2BM=8 cm。
答：BC的长为8 cm。