19. (★★)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠A=30°,P是BC上任意一点,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,则PM+PN的值为 (第19题)

$\boldsymbol{2}$

【分析】
本题是求等腰三角形底边上一点到两腰的垂线段长度之和，可采用面积法求解：首先连接AP，将△ABC拆分为△ABP和△ACP两个小三角形，根据两个小三角形的面积之和等于大△ABC的面积建立等量关系；再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，求出△ABC的面积；最后代入边长化简即可得到PM+PN的值。
【解析】
解：连接AP，过点B作BD⊥AC于点D。
在Rt△ABD中，∠A=30°，斜边AB=4，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
则△ABC的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×4×2=4$
又因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$，其中$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×AB×PM$，$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}×AC×PN$，且AB=AC=4，代入得：
$4=\frac{1}{2}×4×PM+\frac{1}{2}×4×PN$
化简得：$4=2PM+2PN$
两边同时除以2得：$PM+PN=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形30°角性质，面积法
【点评】
本题是等腰三角形的典型题型，核心解题思路是利用面积法将线段和的问题转化为面积计算问题，不需要分别求两条线段的长度，通过整体计算即可得到结果，解题时要注意拆分三角形的技巧。
【难度系数】
0.7

20. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$BC$边上,$∠ DAB=90°$.
(1)当$∠ C=30°$时,求证:$BD=2CD$.
(2)当$BD=2CD$时,$∠ C$是否一定为$30°$?如果一定,给出证明;如果不一定,请说明理由.

(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 30°$，
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 120°$。
∵ $∠ DAB = 90°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ DAB = 120° - 90° = 30°$，
∴ $∠ DAC = ∠ C$，
∴ $AD = CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，
∴ $BD = 2AD$，
∴ $BD = 2CD$。
---
(2) 解：$∠ C$一定为$30°$，证明如下：
取$BD$的中点$E$，连接$AE$。
∵ $∠ DAB = 90°$，$E$为$BD$中点，
∴ $AE = BE = DE = \frac{1}{2}BD$。
∵ $BD = 2CD$，
∴ $CD = \frac{1}{2}BD$，
∴ $AE = CD$，$DE = CD$，
∴ $CE = DE + CD = 2CD$，即 $AE = \frac{1}{2}CE$。
取$CE$的中点$F$，连接$AF$，则$EF = CF = \frac{1}{2}CE$，
∴ $AE = EF$，
∴ $∠ EAF = ∠ EFA$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$，
∵ $AE=BE$，
∴ $∠ B = ∠ BAE$，
∴ $∠ AEC = ∠ B + ∠ BAE = 2∠ B = 2∠ C$。
∵ $∠ EFA$是$△ AFC$的外角，
∴ $∠ EFA = ∠ FAC + ∠ C$，
又∵ $EF=CF$，$AE=CD=DE$，可得$AF=CF$，
∴ $∠ FAC = ∠ C$，
∴ $∠ EFA = 2∠ C$，
∴ $∠ EAF = 2∠ C$，
∴ $∠ EAC = ∠ EAF + ∠ FAC = 2∠ C + ∠ C = 3∠ C$。
在$△ AEC$中，由三角形内角和为$180°$：
$∠ AEC + ∠ C + ∠ EAC = 180°$，
代入得 $2∠ C + ∠ C + 3∠ C = 180°$，
即 $6∠ C = 180°$，
∴ $∠ C = 30°$。

【分析】
(1) 解题思路：先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由$AB=AC$得到$∠B=∠C=30°$，再计算出$∠BAC$的度数，结合$∠DAB=90°$推出$∠DAC=∠C$，得到$AD=CD$；最后在$Rt△ABD$中利用“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，得到$BD=2AD$，等量代换即可证明$BD=2CD$。
(2) 解题思路：要判断$∠C$是否为30°，先构造直角三角形斜边中线：取$BD$中点$E$，利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到$AE=BE=DE=\frac{1}{2}BD$，结合$BD=2CD$推出$AE=CD$、$DE=CD$；再通过等腰三角形等边对等角、三角形外角性质、内角和定理建立关于$∠C$的方程，求解即可得到$∠C=30°$，说明结论成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 30°$，
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 120°$。
∵ $∠ DAB = 90°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ DAB = 120° - 90° = 30°$，
∴ $∠ DAC = ∠ C$，
∴ $AD = CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，
∴ $BD = 2AD$，
∴ $BD = 2CD$。
(2) 解：$∠ C$一定为$30°$，证明如下：
取$BD$的中点$E$，连接$AE$。
∵ $∠ DAB = 90°$，$E$为$BD$中点，
∴ $AE = BE = DE = \frac{1}{2}BD$。
∵ $BD = 2CD$，
∴ $CD = \frac{1}{2}BD$，
∴ $AE = CD$，$DE = CD$，
∴ $CE = DE + CD = 2CD$，即 $AE = \frac{1}{2}CE$。
取$CE$的中点$F$，连接$AF$，则$EF = CF = \frac{1}{2}CE$，
∴ $AE = EF$，
∴ $∠ EAF = ∠ EFA$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$，
∵ $AE=BE$，
∴ $∠ B = ∠ BAE$，
∴ $∠ AEC = ∠ B + ∠ BAE = 2∠ B = 2∠ C$。
∵ $∠ EFA$是$△ AFC$的外角，
∴ $∠ EFA = ∠ FAC + ∠ C$，
又
∵ $EF=CF$，$AE=CD=DE$，可得$AF=CF$，
∴ $∠ FAC = ∠ C$，
∴ $∠ EFA = 2∠ C$，
∴ $∠ EAF = 2∠ C$，
∴ $∠ EAC = ∠ EAF + ∠ FAC = 2∠ C + ∠ C = 3∠ C$。
在$△ AEC$中，由三角形内角和为$180°$：
$∠ AEC + ∠ C + ∠ EAC = 180°$，
代入得 $2∠ C + ∠ C + 3∠ C = 180°$，
即 $6∠ C = 180°$，
∴ $∠ C = 30°$。
【答案】
(1) 证明成立，$BD=2CD$；
(2) $∠C$一定为$30°$。
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和与外角定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，第一问为正向推导，难度较低；第二问为逆向探究，需要合理构造辅助线，结合角度的等量代换建立方程求解，能够很好地考查逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.55