登录
1. (★)计算：
(1)$(x+3)(x-3)=$ ；
(2)$(1+x)(1-x)=$ ；
(3)$(3x+y)(3x-y)=$ ；
(4)$(4m+3n)(4m-3n)=$ .
(1)$(x+3)(x-3)=$ ；
(2)$(1+x)(1-x)=$ ；
(3)$(3x+y)(3x-y)=$ ；
(4)$(4m+3n)(4m-3n)=$ .
答案
解：
(1) 由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=x$，$b=3$，得
$(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 -9$
(2) 令$a=1$，$b=x$，得
$(1+x)(1-x)=1^2 - x^2 = 1 - x^2$
(3) 令$a=3x$，$b=y$，得
$(3x+y)(3x-y)=(3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$
(4) 令$a=4m$，$b=3n$，得
$(4m+3n)(4m-3n)=(4m)^2 - (3n)^2 = 16m^2 -9n^2$
最终答案依次为：(1)$\boldsymbol{x^2-9}$；(2)$\boldsymbol{1-x^2}$；(3)$\boldsymbol{9x^2-y^2}$；(4)$\boldsymbol{16m^2-9n^2}$。
(1) 由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=x$，$b=3$，得
$(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 -9$
(2) 令$a=1$，$b=x$，得
$(1+x)(1-x)=1^2 - x^2 = 1 - x^2$
(3) 令$a=3x$，$b=y$，得
$(3x+y)(3x-y)=(3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$
(4) 令$a=4m$，$b=3n$，得
$(4m+3n)(4m-3n)=(4m)^2 - (3n)^2 = 16m^2 -9n^2$
最终答案依次为：(1)$\boldsymbol{x^2-9}$；(2)$\boldsymbol{1-x^2}$；(3)$\boldsymbol{9x^2-y^2}$；(4)$\boldsymbol{16m^2-9n^2}$。
2. (★)分解因式：
(1)$x^2 - 9 =$ ；
(2)$1 - x^2 =$ ；
(3)$9x^2 - y^2 =$ ；
(4)$16m^2 - 9n^2 =$ .
(1)$x^2 - 9 =$ ；
(2)$1 - x^2 =$ ；
(3)$9x^2 - y^2 =$ ；
(4)$16m^2 - 9n^2 =$ .
答案
解：
(1) $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$
(2) $1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1+x)(1-x)$
(3) $9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x+y)(3x-y)$
(4) $16m^2 - 9n^2 = (4m)^2 - (3n)^2 = (4m+3n)(4m-3n)$
(1) $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$
(2) $1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1+x)(1-x)$
(3) $9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x+y)(3x-y)$
(4) $16m^2 - 9n^2 = (4m)^2 - (3n)^2 = (4m+3n)(4m-3n)$
3. (★) $a^2 - b^2 = (\_\_\_\_\_\_)(\_\_\_\_\_\_)$，即两个数的平方差，等于这两个数的________与这两个数的________的积。
答案
解：
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
4. (★)下列多项式能用平方差公式分解因式的是 【 】
A.$a^2 + b^2$
B.$4m^2 -16m$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 +16$
A.$a^2 + b^2$
B.$4m^2 -16m$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 +16$
答案
D
解析
平方差公式分解因式的多项式需满足：是两个平方项的差，即能写成$a^2 - b^2$的形式。
选项A：$a^2 + b^2$是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项B：$4m^2 -16m$的第二项不是平方项，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项C：$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，不存在两个平方项的差的结构，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项D：$-x^2 +16 = 4^2 - x^2$，符合平方差公式的结构特征，可以分解为$(4+x)(4-x)$。
选项A：$a^2 + b^2$是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项B：$4m^2 -16m$的第二项不是平方项，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项C：$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，不存在两个平方项的差的结构，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项D：$-x^2 +16 = 4^2 - x^2$，符合平方差公式的结构特征，可以分解为$(4+x)(4-x)$。
5. (★)下列各式能用平方差公式分解因式的是 【 】
A.$m^2 + n^2$
B.$-x^2 - y^2$
C.$x^2 - y^2 + 1$
D.$-x^2 + 4y^2$
A.$m^2 + n^2$
B.$-x^2 - y^2$
C.$x^2 - y^2 + 1$
D.$-x^2 + 4y^2$
答案
D
解析
平方差公式分解因式的特征是多项式为两项，两项都可表示为平方形式，且符号相反。逐一判断：
A.$m^2+n^2$是平方和，不符合要求；
B.$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，两项符号相同，不符合要求；
C.该式是三项式，不满足两项的要求，不符合；
D.$-x^2+4y^2=(2y)^2 - x^2$，完全符合平方差公式的特征，可以用平方差公式分解因式。
A.$m^2+n^2$是平方和，不符合要求；
B.$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，两项符号相同，不符合要求；
C.该式是三项式，不满足两项的要求，不符合；
D.$-x^2+4y^2=(2y)^2 - x^2$，完全符合平方差公式的特征，可以用平方差公式分解因式。
6. (★)将下列多项式分解因式，所得结果
为$(2x-y)(2x+y)$的是 【 】
A.$4x^2 + y^2$
B.$4x^2 - y^2$
C.$-4x^2 - y^2$
D.$y^2 - 4x^2$
为$(2x-y)(2x+y)$的是 【 】
A.$4x^2 + y^2$
B.$4x^2 - y^2$
C.$-4x^2 - y^2$
D.$y^2 - 4x^2$
答案
B
解析
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，计算得$(2x-y)(2x+y)=(2x)^2 - y^2=4x^2 - y^2$。逐一验证选项：A、C选项的多项式为平方和形式，无法用平方差公式分解因式；D选项$y^2-4x^2$分解因式的结果为$(y-2x)(y+2x)$，只有B选项符合要求。
7. (★)分解因式：
(1)$9a^2 -1 =$ ；
(2)$(3a+4)^2 - (a-1)^2 =$ .
(1)$9a^2 -1 =$ ；
(2)$(3a+4)^2 - (a-1)^2 =$ .
答案
解：
(1) 原式$=(3a)^2 - 1^2$
$=(3a+1)(3a-1)$
(2) 原式$=[(3a+4)+(a-1)][(3a+4)-(a-1)]$
$=(4a+3)(2a+5)$
(1) 原式$=(3a)^2 - 1^2$
$=(3a+1)(3a-1)$
(2) 原式$=[(3a+4)+(a-1)][(3a+4)-(a-1)]$
$=(4a+3)(2a+5)$
8. (★★)运用平方差公式分解因式：
(1) $25 - 16x^2$；
(2) $-1 + 36b^2$；
(3) $9a^2 - 4b^2$。
(1) $25 - 16x^2$；
(2) $-1 + 36b^2$；
(3) $9a^2 - 4b^2$。
答案
解：
(1) $25 - 16x^2$
$=5^2 - (4x)^2$
$=(5 + 4x)(5 - 4x)$
(2) $-1 + 36b^2$
$=(6b)^2 - 1^2$
$=(6b + 1)(6b - 1)$
(3) $9a^2 - 4b^2$
$=(3a)^2 - (2b)^2$
$=(3a + 2b)(3a - 2b)$
(1) $25 - 16x^2$
$=5^2 - (4x)^2$
$=(5 + 4x)(5 - 4x)$
(2) $-1 + 36b^2$
$=(6b)^2 - 1^2$
$=(6b + 1)(6b - 1)$
(3) $9a^2 - 4b^2$
$=(3a)^2 - (2b)^2$
$=(3a + 2b)(3a - 2b)$
9. (★)计算：
(1) $100^2 - 98^2 =$ ；
(2) $2027^2 - 2026^2 =$ 。
(1) $100^2 - 98^2 =$ ；
(2) $2027^2 - 2026^2 =$ 。
答案
解：
(1) 原式$=(100+98)×(100-98)$
$=198×2$
$=396$
(2) 原式$=(2027+2026)×(2027-2026)$
$=4053×1$
$=4053$
(1) 原式$=(100+98)×(100-98)$
$=198×2$
$=396$
(2) 原式$=(2027+2026)×(2027-2026)$
$=4053×1$
$=4053$
10. (★★)已知$m+n=2$,则$m^2 - n^2 + 4n$的值是 【 】
A.2
B.6
C.4
D.8
A.2
B.6
C.4
D.8
答案
C
解析
利用平方差公式分解因式：
$m^2 - n^2 +4n=(m+n)(m-n)+4n$，
将$m+n=2$代入上式，得：
原式$=2(m-n)+4n=2m-2n+4n=2m+2n=2(m+n)$，
再把$m+n=2$代入，计算得原式$=2×2=4$。
$m^2 - n^2 +4n=(m+n)(m-n)+4n$，
将$m+n=2$代入上式，得：
原式$=2(m-n)+4n=2m-2n+4n=2m+2n=2(m+n)$，
再把$m+n=2$代入，计算得原式$=2×2=4$。
