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11. (★★)多项式$x^a - y^2$（其中$1≤a≤6$，且a为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则a的值可能有 【 】
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
C
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方相减，即$m^2-n^2$的形式可分解为$(m+n)(m-n)$。本题中多项式$x^a-y^2$已经是两项异号的形式，且$y^2$是平方项，因此只需保证$x^a$也能写成某个整式的平方即可，也就是a必须为偶数，再结合a的取值范围$1≤a≤6$（a为整数），统计符合条件的a的个数即可得到答案。
【解析】
根据平方差公式的结构特征，能用平方差公式分解因式的多项式需满足：①共两项，两项符号相反；②每一项都能写成某个整式的平方的形式。
对于$x^a - y^2$，其中$y^2=(y)^2$，已满足是平方项，因此要求$x^a$也为平方项，即存在整数k使得$x^a=(x^k)^2$，根据幂的乘方运算法则$(x^k)^2=x^{2k}$，可得$a=2k$，即a为正偶数。
已知$1≤a≤6$且a为整数，符合条件的a为2、4、6，共3种。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解，幂的乘方运算
【点评】
本题考查对平方差公式结构的理解，解题核心是准确把握平方差公式的特征，结合幂的运算规律判断指数的取值，属于基础类考题，熟练掌握公式结构是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，首先回忆平方差公式的结构：两个数的平方相减，即$m^2-n^2$的形式可分解为$(m+n)(m-n)$。本题中多项式$x^a-y^2$已经是两项异号的形式，且$y^2$是平方项，因此只需保证$x^a$也能写成某个整式的平方即可，也就是a必须为偶数，再结合a的取值范围$1≤a≤6$（a为整数），统计符合条件的a的个数即可得到答案。
【解析】
根据平方差公式的结构特征，能用平方差公式分解因式的多项式需满足：①共两项，两项符号相反；②每一项都能写成某个整式的平方的形式。
对于$x^a - y^2$，其中$y^2=(y)^2$，已满足是平方项，因此要求$x^a$也为平方项，即存在整数k使得$x^a=(x^k)^2$，根据幂的乘方运算法则$(x^k)^2=x^{2k}$，可得$a=2k$，即a为正偶数。
已知$1≤a≤6$且a为整数，符合条件的a为2、4、6，共3种。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解，幂的乘方运算
【点评】
本题考查对平方差公式结构的理解，解题核心是准确把握平方差公式的特征，结合幂的运算规律判断指数的取值，属于基础类考题，熟练掌握公式结构是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. (★★)分解因式：
(1) $(y-8)^2 -64 =$ ；
(2) $x^4 - y^2 =$ .
(1) $(y-8)^2 -64 =$ ；
(2) $x^4 - y^2 =$ .
答案
(1) $\boldsymbol{y(y-16)}$
(2) $\boldsymbol{(x^2 + y)(x^2 - y)}$
(2) $\boldsymbol{(x^2 + y)(x^2 - y)}$
解析
【分析】
因式分解优先观察式子是否有公因式，本题两小问均无公因式，再判断是否符合平方差公式的结构特征：两项、符号相反、均为某个整式的平方。
(1) 式子中$(y-8)^2$是平方项，$64=8^2$也是平方项，且中间为减号，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，先套用公式展开再化简即可。
(2) 式子中$x^4=(x^2)^2$是平方项，$y^2$是平方项，中间为减号，符合平方差公式的形式，直接套用公式分解，且分解后的因式在有理数范围内无法继续分解，即为最终结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(y-8)^2 - 8^2 \\&=[(y-8)+8][(y-8)-8] \\&=y(y-16)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2)^2 - y^2 \\&=(x^2 + y)(x^2 - y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y(y-16)}$；(2) $\boldsymbol{(x^2 + y)(x^2 - y)}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 幂的乘方的逆用
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，套用公式后要注意将结果化简到不能再分解为止，避免出现分解不彻底或化简错误的问题。
【难度系数】
0.8
因式分解优先观察式子是否有公因式，本题两小问均无公因式，再判断是否符合平方差公式的结构特征：两项、符号相反、均为某个整式的平方。
(1) 式子中$(y-8)^2$是平方项，$64=8^2$也是平方项，且中间为减号，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，先套用公式展开再化简即可。
(2) 式子中$x^4=(x^2)^2$是平方项，$y^2$是平方项，中间为减号，符合平方差公式的形式，直接套用公式分解，且分解后的因式在有理数范围内无法继续分解，即为最终结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(y-8)^2 - 8^2 \\&=[(y-8)+8][(y-8)-8] \\&=y(y-16)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2)^2 - y^2 \\&=(x^2 + y)(x^2 - y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y(y-16)}$；(2) $\boldsymbol{(x^2 + y)(x^2 - y)}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 幂的乘方的逆用
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，套用公式后要注意将结果化简到不能再分解为止，避免出现分解不彻底或化简错误的问题。
【难度系数】
0.8
13. (★★)利用平方差公式分解因式：
(1)$y^2 - \frac{1}{9}z^2$；
(2)$(x+y)^2 - (2x+3y)^2$；
(3)$4(m+n)^2 - 9(m-n)^2$。
(1)$y^2 - \frac{1}{9}z^2$；
(2)$(x+y)^2 - (2x+3y)^2$；
(3)$4(m+n)^2 - 9(m-n)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=y^2 - (\frac{1}{3}z)^2$
$=(y + \frac{1}{3}z)(y - \frac{1}{3}z)$
(2) 原式$=[(x+y)+(2x+3y)][(x+y)-(2x+3y)]$
$=(3x+4y)(-x-2y)$
$=-(3x+4y)(x+2y)$
(3) 原式$=[2(m+n)]^2 - [3(m-n)]^2$
$=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]$
$=(2m+2n+3m-3n)(2m+2n-3m+3n)$
$=(5m-n)(5n-m)$
(1) 原式$=y^2 - (\frac{1}{3}z)^2$
$=(y + \frac{1}{3}z)(y - \frac{1}{3}z)$
(2) 原式$=[(x+y)+(2x+3y)][(x+y)-(2x+3y)]$
$=(3x+4y)(-x-2y)$
$=-(3x+4y)(x+2y)$
(3) 原式$=[2(m+n)]^2 - [3(m-n)]^2$
$=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]$
$=(2m+2n+3m-3n)(2m+2n-3m+3n)$
$=(5m-n)(5n-m)$
解析
【分析】
利用平方差公式分解因式的核心是先判断式子是否符合“两个数的平方差”的结构，即$a^2-b^2$，再套用公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解。具体思考路径：1. 先将每个小题的两项改写为平方的形式，准确确定公式中的$a$和$b$，$a$、$b$既可以是单项式，也可以是多项式；2. 代入平方差公式写成两个因式相乘的形式；3. 对得到的因式去括号、合并同类项，若因式首项为负，要将负号提到整体最前面，最终整理为最简结果。
【解析】
(1) 将$\frac{1}{9}z^2$改写为$(\frac{1}{3}z)^2$，直接套用平方差公式：
原式$=y^2 - (\frac{1}{3}z)^2$
$=(y + \frac{1}{3}z)(y - \frac{1}{3}z)$
(2) 把$(x+y)$看作$a$，$(2x+3y)$看作$b$，代入平方差公式：
原式$=[(x+y)+(2x+3y)][(x+y)-(2x+3y)]$
分别合并两个因式内的同类项：
$=(3x+4y)(-x-2y)$
提取第二个因式的负号整理：
$=-(3x+4y)(x+2y)$
(3) 先把$4(m+n)^2$改写为$[2(m+n)]^2$，$9(m-n)^2$改写为$[3(m-n)]^2$，再套用公式：
原式$=[2(m+n)]^2 - [3(m-n)]^2$
$=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]$
分别对两个因式去括号、合并同类项：
$=(2m+2n+3m-3n)(2m+2n-3m+3n)$
$=(5m-n)(5n-m)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(y + \frac{1}{3}z)(y - \frac{1}{3}z)}$
(2) $\boldsymbol{-(3x+4y)(x+2y)}$
(3) $\boldsymbol{(5m-n)(5n-m)}$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整式加减运算
3. 整体代换思想
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用题型，解题关键是准确识别公式中的$a$和$b$，注意$a$、$b$既可代表单项式也可代表多项式，分解后要及时合并同类项，注意符号处理，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
利用平方差公式分解因式的核心是先判断式子是否符合“两个数的平方差”的结构，即$a^2-b^2$，再套用公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解。具体思考路径：1. 先将每个小题的两项改写为平方的形式，准确确定公式中的$a$和$b$，$a$、$b$既可以是单项式，也可以是多项式；2. 代入平方差公式写成两个因式相乘的形式；3. 对得到的因式去括号、合并同类项，若因式首项为负，要将负号提到整体最前面，最终整理为最简结果。
【解析】
(1) 将$\frac{1}{9}z^2$改写为$(\frac{1}{3}z)^2$，直接套用平方差公式：
原式$=y^2 - (\frac{1}{3}z)^2$
$=(y + \frac{1}{3}z)(y - \frac{1}{3}z)$
(2) 把$(x+y)$看作$a$，$(2x+3y)$看作$b$，代入平方差公式：
原式$=[(x+y)+(2x+3y)][(x+y)-(2x+3y)]$
分别合并两个因式内的同类项：
$=(3x+4y)(-x-2y)$
提取第二个因式的负号整理：
$=-(3x+4y)(x+2y)$
(3) 先把$4(m+n)^2$改写为$[2(m+n)]^2$，$9(m-n)^2$改写为$[3(m-n)]^2$，再套用公式：
原式$=[2(m+n)]^2 - [3(m-n)]^2$
$=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]$
分别对两个因式去括号、合并同类项：
$=(2m+2n+3m-3n)(2m+2n-3m+3n)$
$=(5m-n)(5n-m)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(y + \frac{1}{3}z)(y - \frac{1}{3}z)}$
(2) $\boldsymbol{-(3x+4y)(x+2y)}$
(3) $\boldsymbol{(5m-n)(5n-m)}$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整式加减运算
3. 整体代换思想
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用题型，解题关键是准确识别公式中的$a$和$b$，注意$a$、$b$既可代表单项式也可代表多项式，分解后要及时合并同类项，注意符号处理，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
14. (★★)利用因式分解计算：
(1) $101^2 - 99^2$；
(2) $2026^2 - 676$。
(1) $101^2 - 99^2$；
(2) $2026^2 - 676$。
答案
解：
(1) 原式=(101+99)(101-99)
=200×2
=400
(2) 原式=2026² - 26²
=(2026+26)(2026-26)
=2052×2000
=4104000
(1) 原式=(101+99)(101-99)
=200×2
=400
(2) 原式=2026² - 26²
=(2026+26)(2026-26)
=2052×2000
=4104000
解析
【分析】
本题要求利用因式分解简化计算，核心思路是识别式子的平方差结构，逆用平方差公式分解因式后再计算，可避免直接计算大数的平方，降低运算难度。
(1) 观察式子$101^2 - 99^2$，是两个数的平方作差的形式，直接符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，直接代入公式计算即可。
(2) 先处理常数项676，易知$26^2=676$，因此原式可转化为$2026^2 - 26^2$，同样符合平方差公式结构，套用公式后再计算。
【解析】
(1) 原式利用平方差公式因式分解得：
$\begin{aligned}&=(101+99)(101-99)\\&=200×2\\&=400\end{aligned}$
(2) 先将676改写为$26^2$，再利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}原式&=2026^2 - 26^2\\&=(2026+26)(2026-26)\\&=2052×2000\\&=4104000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{400}$；(2) $\boxed{4104000}$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 因式分解简便运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是准确识别平方差结构，合理转化常数项为平方形式，通过因式分解将复杂的乘方运算转化为简单的乘法运算，有效减少计算错误，提升运算效率。
【难度系数】
0.8
本题要求利用因式分解简化计算，核心思路是识别式子的平方差结构，逆用平方差公式分解因式后再计算，可避免直接计算大数的平方，降低运算难度。
(1) 观察式子$101^2 - 99^2$，是两个数的平方作差的形式，直接符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，直接代入公式计算即可。
(2) 先处理常数项676，易知$26^2=676$，因此原式可转化为$2026^2 - 26^2$，同样符合平方差公式结构，套用公式后再计算。
【解析】
(1) 原式利用平方差公式因式分解得：
$\begin{aligned}&=(101+99)(101-99)\\&=200×2\\&=400\end{aligned}$
(2) 先将676改写为$26^2$，再利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}原式&=2026^2 - 26^2\\&=(2026+26)(2026-26)\\&=2052×2000\\&=4104000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{400}$；(2) $\boxed{4104000}$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 因式分解简便运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是准确识别平方差结构，合理转化常数项为平方形式，通过因式分解将复杂的乘方运算转化为简单的乘法运算，有效减少计算错误，提升运算效率。
【难度系数】
0.8
15.(★★)如图,某农场修建一座小型水库,需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径$d=45\ \mathrm{cm}$,外径$D=75\ \mathrm{cm}$,长$l=300\ \mathrm{cm}$.利用因式分解计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土.($π$取$3.14$,结果精确到$0.01\ \mathrm{m}^3$)
答案
解：
空心混凝土管道的体积等于外圆柱体积减去内圆柱体积，即：
$\begin{aligned}V&=π · (\frac{D}{2})^2 · l - π · (\frac{d}{2})^2 · l\\&=\frac{π l}{4}(D^2 - d^2)\\&=\frac{π l}{4}(D+d)(D-d)\end{aligned}$
将$D=75\ \mathrm{cm}$，$d=45\ \mathrm{cm}$，$l=300\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入上式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × (75+45) × (75-45)\\&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × 120 × 30\\&=847800\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
单位转换得：$847800\ \mathrm{cm}^3 = 0.8478\ \mathrm{m}^3 \approx 0.85\ \mathrm{m}^3$
答：浇制一节这样的管道约需要$0.85\ \mathrm{m}^3$的混凝土。
空心混凝土管道的体积等于外圆柱体积减去内圆柱体积，即：
$\begin{aligned}V&=π · (\frac{D}{2})^2 · l - π · (\frac{d}{2})^2 · l\\&=\frac{π l}{4}(D^2 - d^2)\\&=\frac{π l}{4}(D+d)(D-d)\end{aligned}$
将$D=75\ \mathrm{cm}$，$d=45\ \mathrm{cm}$，$l=300\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入上式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × (75+45) × (75-45)\\&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × 120 × 30\\&=847800\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
单位转换得：$847800\ \mathrm{cm}^3 = 0.8478\ \mathrm{m}^3 \approx 0.85\ \mathrm{m}^3$
答：浇制一节这样的管道约需要$0.85\ \mathrm{m}^3$的混凝土。
解析
【分析】
要计算空心管道的混凝土体积，首先明确该体积等于外圆柱体积减去内圆柱体积。先根据圆柱体积公式（圆柱体积=π×半径²×长度）写出体积表达式，再通过提取公因式、运用平方差公式对表达式因式分解，可简化计算过程，避免直接计算大数平方的繁琐；代入数值算出结果后，注意将立方厘米转换为立方米，最后按要求保留两位小数即可。
【解析】
解：空心混凝土管道的体积为外圆柱体积减去内圆柱体积，根据圆柱体积公式可得：
$\begin{aligned}V&=π · (\frac{D}{2})^2 · l - π · (\frac{d}{2})^2 · l\\&=\frac{π l}{4}(D^2 - d^2)\\&=\frac{π l}{4}(D+d)(D-d)\end{aligned}$
将$D=75\ \mathrm{cm}$，$d=45\ \mathrm{cm}$，$l=300\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入上式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × (75+45) × (75-45)\\&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × 120 × 30\\&=847800\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
单位转换：$1\ \mathrm{m}^3=10^6\ \mathrm{cm}^3$，因此$847800\ \mathrm{cm}^3 = 0.8478\ \mathrm{m}^3 \approx 0.85\ \mathrm{m}^3$
【答案】
浇制一节这样的管道约需要$0.85\ \mathrm{m}^3$的混凝土。
【知识点】
平方差公式应用，圆柱体积计算，因式分解的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了圆柱体积的计算方法，又体现了因式分解简化运算的作用，解题时需注意单位统一和结果的精确度要求，能锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算空心管道的混凝土体积，首先明确该体积等于外圆柱体积减去内圆柱体积。先根据圆柱体积公式（圆柱体积=π×半径²×长度）写出体积表达式，再通过提取公因式、运用平方差公式对表达式因式分解，可简化计算过程，避免直接计算大数平方的繁琐；代入数值算出结果后，注意将立方厘米转换为立方米，最后按要求保留两位小数即可。
【解析】
解：空心混凝土管道的体积为外圆柱体积减去内圆柱体积，根据圆柱体积公式可得：
$\begin{aligned}V&=π · (\frac{D}{2})^2 · l - π · (\frac{d}{2})^2 · l\\&=\frac{π l}{4}(D^2 - d^2)\\&=\frac{π l}{4}(D+d)(D-d)\end{aligned}$
将$D=75\ \mathrm{cm}$，$d=45\ \mathrm{cm}$，$l=300\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入上式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × (75+45) × (75-45)\\&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × 120 × 30\\&=847800\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
单位转换：$1\ \mathrm{m}^3=10^6\ \mathrm{cm}^3$，因此$847800\ \mathrm{cm}^3 = 0.8478\ \mathrm{m}^3 \approx 0.85\ \mathrm{m}^3$
【答案】
浇制一节这样的管道约需要$0.85\ \mathrm{m}^3$的混凝土。
【知识点】
平方差公式应用，圆柱体积计算，因式分解的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了圆柱体积的计算方法，又体现了因式分解简化运算的作用，解题时需注意单位统一和结果的精确度要求，能锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
16. (★★★★)已知$5^8 -1$能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数是。
答案
$\boldsymbol{24和26}$
解析
【分析】
要判断$5^8 -1$能被20到30之间的哪两个整数整除，核心思路是利用因式分解将原式转化为多个整数乘积的形式，再从中筛选出取值在20~30之间的因数即可。观察原式是两个数的偶次幂作差的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征，因此可以多次运用平方差公式分解因式，再计算各因式的大小筛选符合条件的数。
【解析】
对$5^8 -1$多次运用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}5^8 -1&=(5^4)^2 - 1^2\\&=(5^4 - 1)(5^4 + 1)\\&=[(5^2)^2 - 1^2](5^4 + 1)\\&=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)\end{aligned}$
代入计算各因式的值：
$5^2 -1=25-1=24$，$5^2 +1=25+1=26$，$5^4 +1=625+1=626$
其中24和26恰好是20到30之间的整数，因此$5^8 -1$能被24和26整除。
【答案】
$\boldsymbol{24和26}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整除的性质
【点评】
本题重点考查因式分解在整除问题中的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，对原式进行逐步分解，再结合范围要求筛选出符合条件的因数即可。
【难度系数】
0.4
要判断$5^8 -1$能被20到30之间的哪两个整数整除，核心思路是利用因式分解将原式转化为多个整数乘积的形式，再从中筛选出取值在20~30之间的因数即可。观察原式是两个数的偶次幂作差的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征，因此可以多次运用平方差公式分解因式，再计算各因式的大小筛选符合条件的数。
【解析】
对$5^8 -1$多次运用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}5^8 -1&=(5^4)^2 - 1^2\\&=(5^4 - 1)(5^4 + 1)\\&=[(5^2)^2 - 1^2](5^4 + 1)\\&=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)\end{aligned}$
代入计算各因式的值：
$5^2 -1=25-1=24$，$5^2 +1=25+1=26$，$5^4 +1=625+1=626$
其中24和26恰好是20到30之间的整数，因此$5^8 -1$能被24和26整除。
【答案】
$\boldsymbol{24和26}$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整除的性质
【点评】
本题重点考查因式分解在整除问题中的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，对原式进行逐步分解，再结合范围要求筛选出符合条件的因数即可。
【难度系数】
0.4
17. (★★★)小强是一位密码编译爱好者.在他的密码手册中,有这样一条信息:$a-b$,$x-y$,$x+y$,$a+b$,$x^2-y^2$,$a^2-b^2$分别对应华、爱、我、中、游、美这六个字.现把$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2$分解因式,结果呈现的密码信息可能是
【 】
A.我爱美
B.中华游
C.爱我中华
D.美我中华
【 】
A.我爱美
B.中华游
C.爱我中华
D.美我中华
答案
C
解析
【分析】
解题时首先需要对给出的多项式进行因式分解，因式分解要遵循“先提公因式，再用公式，分解到不能再分解为止”的原则。第一步观察多项式结构，可发现两项都含有公因式$(x^2-y^2)$，先提取公因式；第二步对提取公因式后剩下的式子判断是否能用乘法公式继续分解，这里剩下的$a^2-b^2$符合平方差公式特征，同时提取的公因式$x^2-y^2$也可进一步用平方差公式分解；最后将分解得到的所有因式对应题目给出的汉字，组合后匹配选项即可。
【解析】
对$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2$分解因式：
第一步，提取公因式$(x^2-y^2)$，得：
$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2=(x^2-y^2)(a^2-b^2)$
第二步，利用平方差公式分别对两个因式继续分解：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此：
$原式=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)$
根据题目给出的对应关系：$x-y$对应“爱”，$x+y$对应“我”，$a+b$对应“中”，$a-b$对应“华”，组合可得密码信息为“爱我中华”。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题结合趣味密码场景考察因式分解的能力，形式灵活，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤，注意因式分解要彻底，再对应对应关系即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要对给出的多项式进行因式分解，因式分解要遵循“先提公因式，再用公式，分解到不能再分解为止”的原则。第一步观察多项式结构，可发现两项都含有公因式$(x^2-y^2)$，先提取公因式；第二步对提取公因式后剩下的式子判断是否能用乘法公式继续分解，这里剩下的$a^2-b^2$符合平方差公式特征，同时提取的公因式$x^2-y^2$也可进一步用平方差公式分解；最后将分解得到的所有因式对应题目给出的汉字，组合后匹配选项即可。
【解析】
对$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2$分解因式：
第一步，提取公因式$(x^2-y^2)$，得：
$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2=(x^2-y^2)(a^2-b^2)$
第二步，利用平方差公式分别对两个因式继续分解：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此：
$原式=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)$
根据题目给出的对应关系：$x-y$对应“爱”，$x+y$对应“我”，$a+b$对应“中”，$a-b$对应“华”，组合可得密码信息为“爱我中华”。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题结合趣味密码场景考察因式分解的能力，形式灵活，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤，注意因式分解要彻底，再对应对应关系即可得出结果。
【难度系数】
0.7
