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1. (★)计算:
(1)$(x+2)^2=$;
(2)$(x-6)^2=$;
(3)$(2x+3y)^2=$.
(1)$(x+2)^2=$;
(2)$(x-6)^2=$;
(3)$(2x+3y)^2=$.
答案
解：
(1) $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
(2) $(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36$
(3) $(2x+3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
(1) $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
(2) $(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36$
(3) $(2x+3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的规则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们乘积的2倍，公式为$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$。接下来分别确定每道小题中对应公式里的$a$和$b$，再代入公式计算即可，计算时要注意系数、符号以及幂的运算规则，避免漏算项。
【解析】
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$逐个计算：
(1) $(x+2)^2$中，$a=x$，$b=2$，代入公式得：
$\begin{aligned}(x+2)^2&=x^2 + 2× x×2 + 2^2\\&=x^2+4x+4\end{aligned}$
(2) $(x-6)^2$中，$a=x$，$b=6$，代入差的完全平方公式得：
$\begin{aligned}(x-6)^2&=x^2 - 2× x×6 + 6^2\\&=x^2-12x+36\end{aligned}$
(3) $(2x+3y)^2$中，$a=2x$，$b=3y$，代入公式得：
$\begin{aligned}(2x+3y)^2&=(2x)^2 + 2×2x×3y + (3y)^2\\&=4x^2+12xy+9y^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^2+4x+4$；(2)$x^2-12x+36$；(3)$4x^2+12xy+9y^2$
【知识点】
完全平方公式；积的乘方；整式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对完全平方公式的掌握程度，解题时要准确识别公式中的两项，注意不要遗漏中间项的2倍系数，同时要注意符号、系数乘方的计算不要出错，熟练掌握公式就能快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的规则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们乘积的2倍，公式为$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$。接下来分别确定每道小题中对应公式里的$a$和$b$，再代入公式计算即可，计算时要注意系数、符号以及幂的运算规则，避免漏算项。
【解析】
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$逐个计算：
(1) $(x+2)^2$中，$a=x$，$b=2$，代入公式得：
$\begin{aligned}(x+2)^2&=x^2 + 2× x×2 + 2^2\\&=x^2+4x+4\end{aligned}$
(2) $(x-6)^2$中，$a=x$，$b=6$，代入差的完全平方公式得：
$\begin{aligned}(x-6)^2&=x^2 - 2× x×6 + 6^2\\&=x^2-12x+36\end{aligned}$
(3) $(2x+3y)^2$中，$a=2x$，$b=3y$，代入公式得：
$\begin{aligned}(2x+3y)^2&=(2x)^2 + 2×2x×3y + (3y)^2\\&=4x^2+12xy+9y^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^2+4x+4$；(2)$x^2-12x+36$；(3)$4x^2+12xy+9y^2$
【知识点】
完全平方公式；积的乘方；整式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对完全平方公式的掌握程度，解题时要准确识别公式中的两项，注意不要遗漏中间项的2倍系数，同时要注意符号、系数乘方的计算不要出错，熟练掌握公式就能快速求解。
【难度系数】
0.9
2. (★)把下列多项式分解因式：
(1)$x^2 + 4x + 4 =$；
(2)$x^2 - 12x + 36 =$；
(3)$4x^2 + 12xy + 9y^2 =$。
(1)$x^2 + 4x + 4 =$；
(2)$x^2 - 12x + 36 =$；
(3)$4x^2 + 12xy + 9y^2 =$。
答案
解：
(1) $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2· x· 2 + 2^2 = \boldsymbol{(x+2)^2}$
(2) $x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2· x· 6 + 6^2 = \boldsymbol{(x-6)^2}$
(3) $4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x)^2 + 2· 2x· 3y + (3y)^2 = \boldsymbol{(2x+3y)^2}$
(1) $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2· x· 2 + 2^2 = \boldsymbol{(x+2)^2}$
(2) $x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2· x· 6 + 6^2 = \boldsymbol{(x-6)^2}$
(3) $4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x)^2 + 2· 2x· 3y + (3y)^2 = \boldsymbol{(2x+3y)^2}$
解析
【分析】
这三道题均考查利用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即满足三项式、有两个同号的平方项、剩余项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。解题时先从多项式中找出对应公式里的$a$和$b$，验证中间项符合要求后，直接套用公式写出分解结果即可。
【解析】
(1) 观察多项式$x^2 + 4x + 4$，可得$x^2$对应$a^2$即$a=x$，$4=2^2$对应$b^2$即$b=2$，中间项$4x=2· x·2$，符合完全平方和公式，因此：
$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2· x· 2 + 2^2 = (x+2)^2$
(2) 观察多项式$x^2 - 12x + 36$，可得$x^2$对应$a^2$即$a=x$，$36=6^2$对应$b^2$即$b=6$，中间项$-12x=-2· x·6$，符合完全平方差公式，因此：
$x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2· x· 6 + 6^2 = (x-6)^2$
(3) 观察多项式$4x^2 + 12xy + 9y^2$，可得$4x^2=(2x)^2$对应$a^2$即$a=2x$，$9y^2=(3y)^2$对应$b^2$即$b=3y$，中间项$12xy=2· 2x·3y$，符合完全平方和公式，因此：
$4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x)^2 + 2· 2x· 3y + (3y)^2 = (2x+3y)^2$
【答案】
(1) $(x+2)^2$；(2) $(x-6)^2$；(3) $(2x+3y)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式；2. 公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的识别能力，解题时要先准确锁定两个平方项对应的底数，再验证中间项是否符合公式要求，注意中间项的符号不要写错。
【难度系数】
0.9
这三道题均考查利用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即满足三项式、有两个同号的平方项、剩余项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。解题时先从多项式中找出对应公式里的$a$和$b$，验证中间项符合要求后，直接套用公式写出分解结果即可。
【解析】
(1) 观察多项式$x^2 + 4x + 4$，可得$x^2$对应$a^2$即$a=x$，$4=2^2$对应$b^2$即$b=2$，中间项$4x=2· x·2$，符合完全平方和公式，因此：
$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2· x· 2 + 2^2 = (x+2)^2$
(2) 观察多项式$x^2 - 12x + 36$，可得$x^2$对应$a^2$即$a=x$，$36=6^2$对应$b^2$即$b=6$，中间项$-12x=-2· x·6$，符合完全平方差公式，因此：
$x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2· x· 6 + 6^2 = (x-6)^2$
(3) 观察多项式$4x^2 + 12xy + 9y^2$，可得$4x^2=(2x)^2$对应$a^2$即$a=2x$，$9y^2=(3y)^2$对应$b^2$即$b=3y$，中间项$12xy=2· 2x·3y$，符合完全平方和公式，因此：
$4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x)^2 + 2· 2x· 3y + (3y)^2 = (2x+3y)^2$
【答案】
(1) $(x+2)^2$；(2) $(x-6)^2$；(3) $(2x+3y)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式；2. 公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的识别能力，解题时要先准确锁定两个平方项对应的底数，再验证中间项是否符合公式要求，注意中间项的符号不要写错。
【难度系数】
0.9
3. (★)两个数的平方和加上(或减去)这两个数的,等于这两个数的,即$a^2+2ab+b^2=$,$a^2-2ab+b^2=$.
我们把满足$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作完全平方式.
我们把满足$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作完全平方式.
答案
解：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2+2ab+b^2=\boldsymbol{(a+b)^2}$，$a^2-2ab+b^2=\boldsymbol{(a-b)^2}$。
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的基本内容，解题时先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式描述的是两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（或差），和这两个数的和（或差）的平方的等量关系，只需对应公式的文字表述和字母表达式依次填补空缺即可。
【解析】
根据完全平方公式的定义：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方；
对应字母表达式为：
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，
$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
【答案】
积的2倍；和（或差）的平方；$(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考察对完全平方公式结构特征的掌握情况，熟练掌握该公式是后续运用公式法进行整式运算、因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的基本内容，解题时先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式描述的是两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（或差），和这两个数的和（或差）的平方的等量关系，只需对应公式的文字表述和字母表达式依次填补空缺即可。
【解析】
根据完全平方公式的定义：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方；
对应字母表达式为：
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，
$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
【答案】
积的2倍；和（或差）的平方；$(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考察对完全平方公式结构特征的掌握情况，熟练掌握该公式是后续运用公式法进行整式运算、因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.9
4. (★★)若$x^2+mx+9$是一个完全平方式，
则$m$的值是 【 】
A.6
B.-3
C.$\pm6$
D.-6
则$m$的值是 【 】
A.6
B.-3
C.$\pm6$
D.-6
答案
C
解析
【分析】
拿到这道题首先要回忆完全平方式的结构特征：完全平方式分为两数和的平方、两数差的平方两种形式，展开后满足“首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方”的特点。我们先将给定多项式$x^2+mx+9$的首尾两项转化为平方形式，确定对应的“首项”和“尾项”，再根据中间项是首尾乘积的2倍、符号可正可负的规律计算m的取值，注意不要遗漏差的平方对应的负系数情况。
【解析】
解：根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$x^2+mx+9$是完全平方式，将首尾项变形可得：$x^2=(x)^2$，$9=3^2$
因此该完全平方式有两种可能：
① 对应两数和的平方：$(x+3)^2=x^2+6x+9$，对比原式可得$m=6$；
② 对应两数差的平方：$(x-3)^2=x^2-6x+9$，对比原式可得$m=-6$。
综上，m的值为$\pm6$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式的基础考查题型，解题核心是牢记完全平方式的两种结构，避免因忽略“差的平方”的情况，漏算负的取值导致选错。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先要回忆完全平方式的结构特征：完全平方式分为两数和的平方、两数差的平方两种形式，展开后满足“首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方”的特点。我们先将给定多项式$x^2+mx+9$的首尾两项转化为平方形式，确定对应的“首项”和“尾项”，再根据中间项是首尾乘积的2倍、符号可正可负的规律计算m的取值，注意不要遗漏差的平方对应的负系数情况。
【解析】
解：根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知$x^2+mx+9$是完全平方式，将首尾项变形可得：$x^2=(x)^2$，$9=3^2$
因此该完全平方式有两种可能：
① 对应两数和的平方：$(x+3)^2=x^2+6x+9$，对比原式可得$m=6$；
② 对应两数差的平方：$(x-3)^2=x^2-6x+9$，对比原式可得$m=-6$。
综上，m的值为$\pm6$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式的基础考查题型，解题核心是牢记完全平方式的两种结构，避免因忽略“差的平方”的情况，漏算负的取值导致选错。
【难度系数】
0.7
5. (★★)用完全平方公式分解因式：
(1)$x^2 + 8x + 16$；
(2)$4x^2 - 12xy + 9y^2$。
(1)$x^2 + 8x + 16$；
(2)$4x^2 - 12xy + 9y^2$。
答案
解：
(1) 原式$=x^2 + 2· x· 4 + 4^2$
$=(x+4)^2$
(2) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 3y + (3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
(1) 原式$=x^2 + 2· x· 4 + 4^2$
$=(x+4)^2$
(2) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 3y + (3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
解析
【分析】
要应用完全平方公式分解因式，首先需牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时分为两步：第一步先识别式子中的平方项，确定对应的$a$和$b$；第二步验证中间项是否为$\pm2ab$，若符合结构即可直接套用公式完成因式分解。
(1)式中，首项$x^2$是$x$的平方，末项16是4的平方，验证中间项$8x=2× x×4$，符合和的完全平方公式结构；
(2)式中，首项$4x^2$是$2x$的平方，末项$9y^2$是$3y$的平方，验证中间项$-12xy=-2×2x×3y$，符合差的完全平方公式结构。
【解析】
(1) 先将原式改写为完全平方公式的标准形式：
原式$=x^2 + 2·x·4 + 4^2$
根据完全平方和公式因式分解得：$=(x+4)^2$
(2) 先将原式改写为完全平方公式的标准形式：
原式$=(2x)^2 - 2·2x·3y + (3y)^2$
根据完全平方差公式因式分解得：$=(2x-3y)^2$
【答案】
(1) $(x+4)^2$；(2) $(2x-3y)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 公式法分解因式
【点评】
本题是利用完全平方公式分解因式的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”的结构特征，准确找到公式中对应的$a$和$b$，注意中间项的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要应用完全平方公式分解因式，首先需牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时分为两步：第一步先识别式子中的平方项，确定对应的$a$和$b$；第二步验证中间项是否为$\pm2ab$，若符合结构即可直接套用公式完成因式分解。
(1)式中，首项$x^2$是$x$的平方，末项16是4的平方，验证中间项$8x=2× x×4$，符合和的完全平方公式结构；
(2)式中，首项$4x^2$是$2x$的平方，末项$9y^2$是$3y$的平方，验证中间项$-12xy=-2×2x×3y$，符合差的完全平方公式结构。
【解析】
(1) 先将原式改写为完全平方公式的标准形式：
原式$=x^2 + 2·x·4 + 4^2$
根据完全平方和公式因式分解得：$=(x+4)^2$
(2) 先将原式改写为完全平方公式的标准形式：
原式$=(2x)^2 - 2·2x·3y + (3y)^2$
根据完全平方差公式因式分解得：$=(2x-3y)^2$
【答案】
(1) $(x+4)^2$；(2) $(2x-3y)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 公式法分解因式
【点评】
本题是利用完全平方公式分解因式的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”的结构特征，准确找到公式中对应的$a$和$b$，注意中间项的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.85
6. (★★)已知$9x^2 + mxy + 16y^2$是完全平方式，则m的值为 【 】
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的平方、差的平方两种形式，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对应完全平方式的结构为“首平方、尾平方，积的2倍在中央，符号可正可负”。第一步先将已知多项式的首项、末项转化为平方形式，确定对应的$a$和$b$，再根据中间项是$\pm2ab$的规律，结合系数对应相等的关系计算$m$的取值，注意要兼顾两种完全平方形式，避免漏解。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对多项式$9x^2 + mxy + 16y^2$分析：
1. 变形首末两项：$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，可知对应公式中$a=3x$，$b=4y$；
2. 计算中间项：完全平方式的中间项为$\pm2ab$，代入得$\pm2×3x×4y=\pm24xy$；
3. 对应系数相等：多项式$9x^2 + mxy + 16y^2$的中间项为$mxy$，和$\pm24xy$对应，因此$m=\pm24$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的结构特征
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，核心考查对完全平方公式两种形式的掌握程度，易错点是只考虑和的平方形式，漏掉差的平方对应的负号，导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的平方、差的平方两种形式，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对应完全平方式的结构为“首平方、尾平方，积的2倍在中央，符号可正可负”。第一步先将已知多项式的首项、末项转化为平方形式，确定对应的$a$和$b$，再根据中间项是$\pm2ab$的规律，结合系数对应相等的关系计算$m$的取值，注意要兼顾两种完全平方形式，避免漏解。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对多项式$9x^2 + mxy + 16y^2$分析：
1. 变形首末两项：$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，可知对应公式中$a=3x$，$b=4y$；
2. 计算中间项：完全平方式的中间项为$\pm2ab$，代入得$\pm2×3x×4y=\pm24xy$；
3. 对应系数相等：多项式$9x^2 + mxy + 16y^2$的中间项为$mxy$，和$\pm24xy$对应，因此$m=\pm24$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的结构特征
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，核心考查对完全平方公式两种形式的掌握程度，易错点是只考虑和的平方形式，漏掉差的平方对应的负号，导致漏解。
【难度系数】
0.7
7. (★★) 对于下列多项式: ①$x^2 + x + \frac{1}{4}$；②$x^2 - 2x -1$；③$4x^2 -2x +1$；④$x^2 -4x +4$. 其中是完全平方式的有(填序号).
答案
解：
根据完全平方式的结构特征：三项多项式中，两项是两个数的平方和，剩余一项是这两个数乘积的2倍（符号可正可负），逐一判断：
① $x^2 + x + \frac{1}{4} = x^2 + 2· x· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方式的特征；
② $x^2 - 2x - 1$的常数项为$-1$，不能表示为某个实数的平方，不符合完全平方式的特征；
③ $4x^2 - 2x + 1$中，若首项$4x^2=(2x)^2$，末项$1=1^2$，则两数乘积的2倍应为$2×2x×1=4x$，与中间项$-2x$不符，不是完全平方式；
④ $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2$，符合完全平方式的特征。
综上，是完全平方式的有$\boldsymbol{①④}$。
根据完全平方式的结构特征：三项多项式中，两项是两个数的平方和，剩余一项是这两个数乘积的2倍（符号可正可负），逐一判断：
① $x^2 + x + \frac{1}{4} = x^2 + 2· x· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方式的特征；
② $x^2 - 2x - 1$的常数项为$-1$，不能表示为某个实数的平方，不符合完全平方式的特征；
③ $4x^2 - 2x + 1$中，若首项$4x^2=(2x)^2$，末项$1=1^2$，则两数乘积的2倍应为$2×2x×1=4x$，与中间项$-2x$不符，不是完全平方式；
④ $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2$，符合完全平方式的特征。
综上，是完全平方式的有$\boldsymbol{①④}$。
解析
【分析】
解题前首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式是形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式，其中两项是两个数（或整式）的平方，剩余一项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时我们逐个对四个多项式进行验证：先找多项式中的平方项，再检验中间项是否符合“两底数乘积的2倍”的要求，即可判断是否为完全平方式。
【解析】
根据完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构特征逐一判断：
① $x^2 + x + \frac{1}{4} = x^2 + 2· x· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方式的特征，是完全平方式；
② $x^2 - 2x -1$的常数项为$-1$，不能表示为某个实数的平方，不符合完全平方式的特征，不是完全平方式；
③ $4x^2 - 2x + 1$中，首项$4x^2=(2x)^2$，末项$1=1^2$，若为完全平方式，中间项应为$\pm 2×2x×1=\pm4x$，与中间项$-2x$不符，不是完全平方式；
④ $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2$，符合完全平方式的特征，是完全平方式。
【答案】
$\boldsymbol{①④}$
【知识点】
完全平方式的判定；完全平方公式
【点评】
本题是完全平方式识别的基础题，解题关键是牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构特点，判断时要注意验证中间项与两个平方项底数的数量关系，同时注意平方项的符号必须非负。
【难度系数】
0.8
解题前首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式是形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式，其中两项是两个数（或整式）的平方，剩余一项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时我们逐个对四个多项式进行验证：先找多项式中的平方项，再检验中间项是否符合“两底数乘积的2倍”的要求，即可判断是否为完全平方式。
【解析】
根据完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构特征逐一判断：
① $x^2 + x + \frac{1}{4} = x^2 + 2· x· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方式的特征，是完全平方式；
② $x^2 - 2x -1$的常数项为$-1$，不能表示为某个实数的平方，不符合完全平方式的特征，不是完全平方式；
③ $4x^2 - 2x + 1$中，首项$4x^2=(2x)^2$，末项$1=1^2$，若为完全平方式，中间项应为$\pm 2×2x×1=\pm4x$，与中间项$-2x$不符，不是完全平方式；
④ $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2· x· 2 + 2^2$，符合完全平方式的特征，是完全平方式。
【答案】
$\boldsymbol{①④}$
【知识点】
完全平方式的判定；完全平方公式
【点评】
本题是完全平方式识别的基础题，解题关键是牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构特点，判断时要注意验证中间项与两个平方项底数的数量关系，同时注意平方项的符号必须非负。
【难度系数】
0.8
8. (★★)把多项式$16x^2 -24x +9$分解因式得 【 】
A.$(16x-3)^2$
B.$(4x-3)^2$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$
A.$(16x-3)^2$
B.$(4x-3)^2$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查用完全平方公式分解因式，解题思路是先回忆完全平方公式的结构特征：两数的平方和减去（或加上）这两个数乘积的2倍，等于这两个数差（或和）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。第一步先确定多项式的两个平方项，第二步验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍，确认符合完全平方公式后即可写出分解结果，也可以通过展开各选项和原式对比，选出正确答案。
【解析】
解法一：用完全平方公式分解
观察多项式$16x^2-24x+9$：
1. 确定平方项：$16x^2=(4x)^2$，$9=3^2$，即两个平方项的底数分别为$4x$和$3$；
2. 验证中间项：$2×4x×3=24x$，原式中间项为$-24x$，符合完全平方差公式的结构$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=4x$，$b=3$；
3. 代入公式得：$16x^2-24x+9=(4x-3)^2$。
解法二：展开选项反向验证
A选项：$(16x-3)^2=256x^2-96x+9$，和原式不符，错误；
B选项：$(4x-3)^2=16x^2-24x+9$，和原式一致，正确；
C选项：$(16x+3)(16x-3)=256x^2-9$，和原式不符，错误；
D选项：$(4x+3)(4x-3)=16x^2-9$，和原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
公式法分解因式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解中完全平方公式的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，准确识别公式中的a和b，也可通过整式乘法反向验证选项，是因式分解部分的基础常规题。
【难度系数】
0.8
这道题考查用完全平方公式分解因式，解题思路是先回忆完全平方公式的结构特征：两数的平方和减去（或加上）这两个数乘积的2倍，等于这两个数差（或和）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。第一步先确定多项式的两个平方项，第二步验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍，确认符合完全平方公式后即可写出分解结果，也可以通过展开各选项和原式对比，选出正确答案。
【解析】
解法一：用完全平方公式分解
观察多项式$16x^2-24x+9$：
1. 确定平方项：$16x^2=(4x)^2$，$9=3^2$，即两个平方项的底数分别为$4x$和$3$；
2. 验证中间项：$2×4x×3=24x$，原式中间项为$-24x$，符合完全平方差公式的结构$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=4x$，$b=3$；
3. 代入公式得：$16x^2-24x+9=(4x-3)^2$。
解法二：展开选项反向验证
A选项：$(16x-3)^2=256x^2-96x+9$，和原式不符，错误；
B选项：$(4x-3)^2=16x^2-24x+9$，和原式一致，正确；
C选项：$(16x+3)(16x-3)=256x^2-9$，和原式不符，错误；
D选项：$(4x+3)(4x-3)=16x^2-9$，和原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
公式法分解因式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解中完全平方公式的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，准确识别公式中的a和b，也可通过整式乘法反向验证选项，是因式分解部分的基础常规题。
【难度系数】
0.8
9. (★★)分解因式:
(1)$y^2+12y+36$;
(2)$x^2-4xy+4y^2$;
(3)$-2xy-x^2-y^2$;
(4)$4x^2+25y^2-20xy$.
(1)$y^2+12y+36$;
(2)$x^2-4xy+4y^2$;
(3)$-2xy-x^2-y^2$;
(4)$4x^2+25y^2-20xy$.
答案
解：
(1) 原式$=y^2 + 2· y· 6 + 6^2$
$=(y+6)^2$
(2) 原式$=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2$
$=(x-2y)^2$
(3) 原式$=-(x^2 + 2xy + y^2)$
$=-(x+y)^2$
(4) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5y + (5y)^2$
$=(2x-5y)^2$
(1) 原式$=y^2 + 2· y· 6 + 6^2$
$=(y+6)^2$
(2) 原式$=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2$
$=(x-2y)^2$
(3) 原式$=-(x^2 + 2xy + y^2)$
$=-(x+y)^2$
(4) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5y + (5y)^2$
$=(2x-5y)^2$
解析
【分析】
本题考查用公式法分解因式，核心是运用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先观察式子结构：首先判断是否为三项式，是否存在两个同号的平方项，再验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍；如果式子首项为负，先提取负号，将括号内的式子转化为符合完全平方公式的结构，再对应找到公式中的$a$和$b$，代入公式完成分解即可。
【解析】
(1) 原式$=y^2 + 2· y· 6 + 6^2$
$=(y+6)^2$
(2) 原式$=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2$
$=(x-2y)^2$
(3) 原式$=-(x^2 + 2xy + y^2)$
$=-(x+y)^2$
(4) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5y + (5y)^2$
$=(2x-5y)^2$
【答案】
(1)$(y+6)^2$；(2)$(x-2y)^2$；(3)$-(x+y)^2$；(4)$(2x-5y)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解 2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需注意先观察式子的符号特征，首项为负时先提取负号，再套用公式，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用公式法分解因式，核心是运用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先观察式子结构：首先判断是否为三项式，是否存在两个同号的平方项，再验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍；如果式子首项为负，先提取负号，将括号内的式子转化为符合完全平方公式的结构，再对应找到公式中的$a$和$b$，代入公式完成分解即可。
【解析】
(1) 原式$=y^2 + 2· y· 6 + 6^2$
$=(y+6)^2$
(2) 原式$=x^2 - 2· x· 2y + (2y)^2$
$=(x-2y)^2$
(3) 原式$=-(x^2 + 2xy + y^2)$
$=-(x+y)^2$
(4) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 5y + (5y)^2$
$=(2x-5y)^2$
【答案】
(1)$(y+6)^2$；(2)$(x-2y)^2$；(3)$-(x+y)^2$；(4)$(2x-5y)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解 2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需注意先观察式子的符号特征，首项为负时先提取负号，再套用公式，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
