【知识点1】直角三角形两锐角的关系
直角三角形的两个锐角。

互余

【分析】
解题时先回忆三角形内角和的基本结论，再结合直角三角形的特征（有一个90°的直角）计算两个锐角的和，最后结合互余的定义推导结果。具体思考步骤：第一步，明确任意三角形内角和为180°；第二步，直角三角形有1个内角为90°，因此两个锐角的和为180°减去90°，结果是90°；第三步，和为90°的两个角互为余角，即可得出最终结论。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。
直角三角形中存在一个度数为90°的直角，因此另外两个锐角的度数和为：$180° - 90° = 90°$。
根据互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形性质；互余的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对直角三角形内角相关性质的理解和记忆，是学习直角三角形后续相关知识的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若一个锐角等于$40°$，则另一个锐角的度数为（）

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$

1. C

【分析】
解题时首先回忆直角三角形的性质及三角形内角和定理：直角三角形中有一个内角为90°，且三角形三个内角的和为180°，因此直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数。
【解析】
∵ △ABC是直角三角形，
∴ 三角形中有一个内角为90°，
又
∵ 三角形内角和为180°，
∴ 两个锐角的和为180°-90°=90°，
已知其中一个锐角为40°，
∴ 另一个锐角的度数为90°-40°=50°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形的角的性质，熟练掌握相关性质即可快速求解，计算量小，不容易出错。
【难度系数】
0.9

2. 如图13.3-5，两根竹竿AB和DB斜靠在墙上，量得∠CAB，∠CDB的度数分别为38°和26°，那么∠ABD的度数为（）

A.10°
B.11°
C.12°
D.13°

图13.3-5

2. C

【分析】
首先观察图形可知△ABC和△DBC均为直角三角形，∠C=90°。我们可以先利用直角三角形两锐角互余的性质，分别求出∠ABC和∠DBC的度数，再通过两个角的差计算出∠ABD的度数。
【解析】
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ CAB=38°$
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-38°=52°$
又
∵ 在$Rt△ DBC$中，$∠ C=90°$，$∠ CDB=26°$
同理可得：
$∠ DBC=90°-∠ CDB=90°-26°=64°$
∴ $∠ ABD=∠ DBC-∠ ABC=64°-52°=12°$
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用直角三角形的内角性质求出对应角的度数，再结合角的位置关系做差即可得到结果，解题时要注意区分两个角的大小关系，避免做差时顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.8

【知识点2】直角三角形的判定
◎有两个角互余的三角形是三角形。

直角

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先看到题目中“两个角互余”的条件，先明确互余的定义是两个角的度数和为90°；再结合三角形内角和为180°的定理，可计算出该三角形第三个角的度数；最后根据直角三角形的定义，就能判断出三角形的类型。
【解析】
1. 根据互余的定义，已知三角形的两个角互余，可得这两个角的度数和为90°。
2. 根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和为180°，因此该三角形第三个角的度数为：$180° - 90° = 90°$。
3. 根据直角三角形的定义：有一个角为直角（90°）的三角形是直角三角形，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；互余的定义；直角三角形判定
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察直角三角形的判定依据，熟练掌握相关基础概念即可快速得出答案，是该模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.9

1. 在$△ ABC$中，$∠ A=56°$，$∠ B=34°$，则$△ ABC$是（）

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形

1. B

【分析】
要判断三角形的类型，按角分类需要明确三角形中最大角的类别。已知两个内角的度数，我们可以先利用三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据第三个角的类别对应判断三角形的类型。具体思考路径：第一步回忆三角形内角和为180°的定理，第二步代入已知角度计算未知角的度数，第三步结合三角形按角分类的规则确定答案。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和为180°。
已知∠A=56°，∠B=34°，代入公式计算第三个角的度数：
$\begin{aligned}∠C &= 180° - ∠A - ∠B \\&= 180° - 56° - 34° \\&= 180° - (56°+34°) \\&= 180° - 90° \\&= 90°\end{aligned}$
有一个角是直角的三角形属于直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对三角形内角和定理的基础应用，以及三角形按角分类的判定规则，计算量小，熟练掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2. 如图13.3-6，点E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，则△ABC是（）

A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定

2. A

【分析】
解题时先从已知条件ED⊥AB入手，可得△AED是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余可得到∠1和∠A的数量关系；再结合∠1=∠2进行等量代换，得到∠2和∠A的数量关系；最后利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠C的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ED⊥AB，垂足为D，
∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，
∴∠1 + ∠A = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠1 = ∠2，
∴∠2 + ∠A = 90°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
1.直角三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形形状的判断，解题的关键是通过垂直关系和等量代换推出三角形中两个锐角的和为90°，进而得到直角，完成判断。
【难度系数】
0.8

【例1】如图13.3-7，在$△ ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，$AE$平分$∠ BAC$，$∠ B=40°$，$∠ C=68°$，求$∠ AEC$和$∠ DAE$的度数.
【点拨】根据已知条件，由三角形内角和定理可求得$∠ BAC$的度数，由角平分线条件可求$∠ CAE$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，可求得$∠ DAC$的度数，故由$∠ DAE=∠ CAE-∠ DAC$可求.

图13.3-7

解：
∵∠B=40°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=72°.
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=36°.
∵AD是高，∠C=68°，
∴∠DAC=90°-∠C=22°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=36°-22°=14°，∠AEC=90°-14°=76°.

【分析】
解题时先从已知的△ABC两个内角∠B、∠C出发，利用三角形内角和为180°求出∠BAC的度数；再结合AE是角平分线的条件，根据角平分线定义求出∠EAC的度数；接着利用AD是BC边上的高，可得△ADC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数；那么∠DAE就是∠EAC与∠DAC的差；最后求∠AEC时，可在Rt△ADE中利用直角三角形两锐角互余计算即可。
【解析】
解：
∵∠B=40°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-68°=72°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×72°=36°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-68°=22°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=36°-22°=14°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
∴∠AEC=90°-∠DAE=90°-14°=76°。
【答案】
∠AEC=76°，∠DAE=14°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是梳理清楚各角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导即可求解，是三角形章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7