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5. 如图，经测量，B处在A处的南偏西$60°$的方向，C处在A处的南偏东$20°$方向，BE为正北方向，且$∠ CBE=100°$，则$∠ ACB$的度数是
60°
。答案
5. 60°
解析
【分析】
解题时首先从方向角的条件入手，先计算△ABC中∠BAC的度数；再根据正北、正南方向线互相平行的性质，利用平行线内错角相等求出∠ABE的度数，结合已知∠CBE的度数算出∠ABC的度数；最后利用三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：由题意可知：
∠BAD=60°，∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°，
∵BE为正北方向，AD为正南方向，
∴BE//AD，
∴∠ABE=∠BAD=60°（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠CBE=100°，
∴∠ABC=∠CBE - ∠ABE=100°-60°=40°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
方向角；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形内角和结合的基础题，解题的关键是准确理解方向角的含义，找到平行的方向线得到角度关系，再结合三角形内角和定理计算即可，是日常考试中的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从方向角的条件入手，先计算△ABC中∠BAC的度数；再根据正北、正南方向线互相平行的性质，利用平行线内错角相等求出∠ABE的度数，结合已知∠CBE的度数算出∠ABC的度数；最后利用三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：由题意可知：
∠BAD=60°，∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°，
∵BE为正北方向，AD为正南方向，
∴BE//AD，
∴∠ABE=∠BAD=60°（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠CBE=100°，
∴∠ABC=∠CBE - ∠ABE=100°-60°=40°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
方向角；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形内角和结合的基础题，解题的关键是准确理解方向角的含义，找到平行的方向线得到角度关系，再结合三角形内角和定理计算即可，是日常考试中的常见题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是高，$AE$是角平分线，$∠ B=45°$，$∠ C=85°$，求$∠ DAE$的度数.
答案
6. 解：
∵∠B=45°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=50°，
∵AD⊥BC，AE是∠BAC的平分线，
∴∠ADC=90°，∠CAE=1/2∠BAC=25°,
∴∠CAD=90°-∠C=5°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-5°=20°.
∵∠B=45°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=50°，
∵AD⊥BC，AE是∠BAC的平分线，
∴∠ADC=90°，∠CAE=1/2∠BAC=25°,
∴∠CAD=90°-∠C=5°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-5°=20°.
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，可按如下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数，先求出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的性质，求出∠CAE的度数；接下来AD是高，可得△ADC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数；最后根据角的和差关系，用∠CAE减去∠CAD即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理
∵∠B=45°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-85°=50°，
∵AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
∴∠ADC=90°，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°,
在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-85°=5°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-5°=20°.
【答案】
20°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题，综合考查了三角形的高、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，解题的核心是理清各个角之间的和差关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求∠DAE的度数，可按如下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数，先求出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的性质，求出∠CAE的度数；接下来AD是高，可得△ADC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数；最后根据角的和差关系，用∠CAE减去∠CAD即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理
∵∠B=45°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-85°=50°，
∵AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
∴∠ADC=90°，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°,
在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-85°=5°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-5°=20°.
【答案】
20°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题，综合考查了三角形的高、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，解题的核心是理清各个角之间的和差关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）求∠B的度数.
（2）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，求∠ECD的度数.
（3）如图2，若CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点F，求∠AFC的度数.
（1）求∠B的度数.
（2）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，求∠ECD的度数.
（3）如图2，若CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点F，求∠AFC的度数.
答案
7. 解：（1）在△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°. 又
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=120°/3=40°.
（2）由（1）可知∠ACB=2∠B=2×40°=80°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=1/2∠BAC=1/2×60°=30°.
∵CE⊥AD，
∴∠AFC=90°,
∴∠ACF=90°-∠CAD=90°-30°=60°,
∴∠ECD=∠ACB-∠ACF=80°-60°=20°.
（3）
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=1/2∠ACB=1/2×80°=40°. 在△ACF中，∠CAF=30°, ∠ACF=40°,
∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-30°-40°=110°.
∴∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°. 又
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=120°/3=40°.
（2）由（1）可知∠ACB=2∠B=2×40°=80°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=1/2∠BAC=1/2×60°=30°.
∵CE⊥AD，
∴∠AFC=90°,
∴∠ACF=90°-∠CAD=90°-30°=60°,
∴∠ECD=∠ACB-∠ACF=80°-60°=20°.
（3）
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=1/2∠ACB=1/2×80°=40°. 在△ACF中，∠CAF=30°, ∠ACF=40°,
∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-30°-40°=110°.
解析
【分析】
（1）求∠B的度数可利用三角形内角和为180°，已知∠BAC的度数，先求出∠B与∠ACB的和，再结合∠ACB=2∠B的倍数关系，代入计算即可得到∠B的度数。
（2）求∠ECD的度数，先由（1）的结论得出∠ACB的度数，再根据角平分线定义求出∠CAD的度数，结合CE⊥AD可得△AFC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACF的度数，最后用∠ACB减去∠ACF即可得到∠ECD的度数。
（3）求∠AFC的度数，先根据角平分线定义求出∠ACF的度数，已知∠CAF的度数，再利用三角形内角和定理，用180°减去△AFC中两个已知内角的度数即可得到结果。
【解析】
（1）在△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，
又
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=120°÷3=40°。
（2）由（1）可知∠ACB=2∠B=2×40°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵CE⊥AD，
∴∠AFC=90°，
∴∠ACF=90°-∠CAD=90°-30°=60°，
∴∠ECD=∠ACB-∠ACF=80°-60°=20°。
（3）
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
在△ACF中，∠CAF=30°，∠ACF=40°，
∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-30°-40°=110°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{40°}$；（2）$\boldsymbol{20°}$；（3）$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是灵活运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质、直角三角形的角度特性，逐步推导未知角的度数，有助于巩固三角形相关的基础角度计算方法。
【难度系数】
0.7
（1）求∠B的度数可利用三角形内角和为180°，已知∠BAC的度数，先求出∠B与∠ACB的和，再结合∠ACB=2∠B的倍数关系，代入计算即可得到∠B的度数。
（2）求∠ECD的度数，先由（1）的结论得出∠ACB的度数，再根据角平分线定义求出∠CAD的度数，结合CE⊥AD可得△AFC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACF的度数，最后用∠ACB减去∠ACF即可得到∠ECD的度数。
（3）求∠AFC的度数，先根据角平分线定义求出∠ACF的度数，已知∠CAF的度数，再利用三角形内角和定理，用180°减去△AFC中两个已知内角的度数即可得到结果。
【解析】
（1）在△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，
又
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=120°÷3=40°。
（2）由（1）可知∠ACB=2∠B=2×40°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵CE⊥AD，
∴∠AFC=90°，
∴∠ACF=90°-∠CAD=90°-30°=60°，
∴∠ECD=∠ACB-∠ACF=80°-60°=20°。
（3）
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
在△ACF中，∠CAF=30°，∠ACF=40°，
∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-30°-40°=110°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{40°}$；（2）$\boldsymbol{20°}$；（3）$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是灵活运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质、直角三角形的角度特性，逐步推导未知角的度数，有助于巩固三角形相关的基础角度计算方法。
【难度系数】
0.7
8. (2024·长沙) 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=60°$，$∠ B=50°$，$AD// BC$，则$∠ 1$的度数为（
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
C
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先明确所求角∠1和已知条件的联系：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数，再根据AD平行BC的性质，找到∠1和∠C的等量关系，即可求出∠1的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B$
代入已知$∠ BAC=60°$，$∠ B=50°$，计算得：
$∠ C = 180° - 60° - 50° = 70°$
$\because AD// BC$，AC是截线，根据“两直线平行，内错角相等”，
$\therefore ∠ 1 = ∠ C = 70°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，将三角形内角和与平行线的性质结合考查，只要熟练掌握相关基础定理，就能快速解题，是几何章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确所求角∠1和已知条件的联系：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数，再根据AD平行BC的性质，找到∠1和∠C的等量关系，即可求出∠1的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B$
代入已知$∠ BAC=60°$，$∠ B=50°$，计算得：
$∠ C = 180° - 60° - 50° = 70°$
$\because AD// BC$，AC是截线，根据“两直线平行，内错角相等”，
$\therefore ∠ 1 = ∠ C = 70°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，将三角形内角和与平行线的性质结合考查，只要熟练掌握相关基础定理，就能快速解题，是几何章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
