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【例2】如图13.3-4，在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，$BE$，$CF$交于点$O$，$∠ ACF=30°$，$∠ ABE=20°$，求$∠ BOC$的度数.
【点拨】欲求$∠ BOC$，则需要求出$∠ OCB$和$∠ OBC$，或者直接求这两角的和，而根据已知条件，无法直接求出这两个角，因此考虑能否整体求出这两个角的和，进而考虑求$∠ ACB+∠ ABC$的值，再减去$∠ ACF$与$∠ ABE$的和即可求解.
【点拨】欲求$∠ BOC$，则需要求出$∠ OCB$和$∠ OBC$，或者直接求这两角的和，而根据已知条件，无法直接求出这两个角，因此考虑能否整体求出这两个角的和，进而考虑求$∠ ACB+∠ ABC$的值，再减去$∠ ACF$与$∠ ABE$的和即可求解.
答案
解：
∵∠A=80°，
∴∠ACB+∠ABC=100°.
∵∠ACF=30°，∠ABE=20°，
∴∠OCB+∠OBC=∠ACB+∠ABC-(∠ACF+∠ABE)=50°,
∴∠BOC=180°-(∠OCB+∠OBC)=130°.
∵∠A=80°，
∴∠ACB+∠ABC=100°.
∵∠ACF=30°，∠ABE=20°，
∴∠OCB+∠OBC=∠ACB+∠ABC-(∠ACF+∠ABE)=50°,
∴∠BOC=180°-(∠OCB+∠OBC)=130°.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。要求∠BOC的度数，它是△BOC的内角，只要先求出△BOC中另外两个角∠OBC与∠OCB的和即可。我们可以先在△ABC中，利用已知的∠A的度数求出∠ABC+∠ACB的和，再结合给出的∠ACF、∠ABE的度数，整体计算出∠OBC+∠OCB的数值，无需单独求解两个角的度数，最后再用一次三角形内角和定理就能得到∠BOC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∵∠A=80°，
∴∠ACB + ∠ABC = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°。
∵∠ACF=30°，∠ABE=20°，
∴∠OCB + ∠OBC = (∠ACB - ∠ACF) + (∠ABC - ∠ABE) = (∠ACB + ∠ABC) - (∠ACF + ∠ABE) = 100° - (30° + 20°) = 50°。
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC = 180° - (∠OCB + ∠OBC) = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130°
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型基础题，核心考查三角形内角和定理的灵活运用，解题时使用整体代换的思想，避免了单独求解未知角的步骤，简化了计算过程，掌握这类整体求解的技巧可以提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。要求∠BOC的度数，它是△BOC的内角，只要先求出△BOC中另外两个角∠OBC与∠OCB的和即可。我们可以先在△ABC中，利用已知的∠A的度数求出∠ABC+∠ACB的和，再结合给出的∠ACF、∠ABE的度数，整体计算出∠OBC+∠OCB的数值，无需单独求解两个角的度数，最后再用一次三角形内角和定理就能得到∠BOC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∵∠A=80°，
∴∠ACB + ∠ABC = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°。
∵∠ACF=30°，∠ABE=20°，
∴∠OCB + ∠OBC = (∠ACB - ∠ACF) + (∠ABC - ∠ABE) = (∠ACB + ∠ABC) - (∠ACF + ∠ABE) = 100° - (30° + 20°) = 50°。
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC = 180° - (∠OCB + ∠OBC) = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130°
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型基础题，核心考查三角形内角和定理的灵活运用，解题时使用整体代换的思想，避免了单独求解未知角的步骤，简化了计算过程，掌握这类整体求解的技巧可以提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
1. 在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$∠ C=60°$，则$∠ B$的度数是（
A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
D
）A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的相关定理，任意三角形的三个内角之和为180°，题目已经给出△ABC中两个内角∠A和∠C的度数，要求∠B的度数，直接用三角形内角和减去两个已知角的度数就能得到结果。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
在△ABC中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A=50°$，$∠ C=60°$，代入得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 50° - 60° = 70°$，
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，是对三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的相关定理，任意三角形的三个内角之和为180°，题目已经给出△ABC中两个内角∠A和∠C的度数，要求∠B的度数，直接用三角形内角和减去两个已知角的度数就能得到结果。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
在△ABC中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A=50°$，$∠ C=60°$，代入得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 50° - 60° = 70°$，
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，是对三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，若$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，则$△ ABC$三个内角的度数分别是（
A.$30°$，$60°$，$90°$
B.$45°$，$45°$，$90°$
C.$20°$，$40°$，$60°$
D.$36°$，$72°$，$108°$
A
）A.$30°$，$60°$，$90°$
B.$45°$，$45°$，$90°$
C.$20°$，$40°$，$60°$
D.$36°$，$72°$，$108°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先想到三角形内角和为180°这一核心定理，题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方法，把三个角用含同一个未知数的式子表示，再根据内角和列方程求解即可；也可以用按比例分配的方法，计算每个角占内角和的分率，再乘180°得到各个角的度数。
【解析】
我们知道三角形的内角和等于180°。
已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A的度数为x，则∠B=2x，∠C=3x。
根据三角形内角和定理列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
因此：
∠A = 30°，
∠B = 2×30° = 60°，
∠C = 3×30° = 90°。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，重点考查对三角形内角和定理的掌握程度，以及利用比例关系求解未知量的能力，解题思路清晰，掌握基础定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先想到三角形内角和为180°这一核心定理，题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方法，把三个角用含同一个未知数的式子表示，再根据内角和列方程求解即可；也可以用按比例分配的方法，计算每个角占内角和的分率，再乘180°得到各个角的度数。
【解析】
我们知道三角形的内角和等于180°。
已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A的度数为x，则∠B=2x，∠C=3x。
根据三角形内角和定理列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
因此：
∠A = 30°，
∠B = 2×30° = 60°，
∠C = 3×30° = 90°。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，重点考查对三角形内角和定理的掌握程度，以及利用比例关系求解未知量的能力，解题思路清晰，掌握基础定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 如图是由一副三角板拼凑得到的，$∠ D=∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$∠ F=45°$，$A$，$E$，$B$，$D$四点共线，$EF$过点$C$，则$∠ ECB$的度数为（
A.$70°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$85°$
B
）A.$70°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$85°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先结合三角板的已知角度特征，先计算出△ABC中∠ABC的度数，再得到△DEF中∠CEB的度数，最后在△ECB中利用三角形内角和定理即可求出∠ECB的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，已知$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=180°-∠ ACB-∠ A=180°-90°-30°=60°$，即$∠ CBE=60°$。
2. 在$Rt△ DEF$中，已知$∠ D=90°$，$∠ F=45°$，同理可得：
$∠ DEF=180°-∠ D-∠ F=180°-90°-45°=45°$，即$∠ CEB=45°$。
3. 在$△ CEB$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ECB=180°-∠ CEB-∠ CBE=180°-45°-60°=75°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，特殊直角三角形的角度特征
【点评】
本题是角度计算的基础题型，重点考查对三角板固有角度的认识，以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是准确锁定所求角所在的三角形，梳理清楚三角形内已知角的度数。
【难度系数】
0.8
解题时先结合三角板的已知角度特征，先计算出△ABC中∠ABC的度数，再得到△DEF中∠CEB的度数，最后在△ECB中利用三角形内角和定理即可求出∠ECB的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，已知$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=180°-∠ ACB-∠ A=180°-90°-30°=60°$，即$∠ CBE=60°$。
2. 在$Rt△ DEF$中，已知$∠ D=90°$，$∠ F=45°$，同理可得：
$∠ DEF=180°-∠ D-∠ F=180°-90°-45°=45°$，即$∠ CEB=45°$。
3. 在$△ CEB$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ECB=180°-∠ CEB-∠ CBE=180°-45°-60°=75°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，特殊直角三角形的角度特征
【点评】
本题是角度计算的基础题型，重点考查对三角板固有角度的认识，以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是准确锁定所求角所在的三角形，梳理清楚三角形内已知角的度数。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=68°$，$∠ C=42°$，点$E$，$D$分别在边$AB$，$AC$上，且$ED// BC$，若$BD$平分$∠ ABC$，则$∠ BDE$的度数为（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
D
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
4. D
解析
【分析】
要计算∠BDE的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后利用平行线的内错角相等的性质，得到∠BDE与∠DBC相等，即可求出结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 68° - 42° = 70°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°
又
∵ED//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得：
∠BDE = ∠DBC = 35°
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算问题，将三角形内角和、角平分线、平行线的性质结合考查，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠BDE的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后利用平行线的内错角相等的性质，得到∠BDE与∠DBC相等，即可求出结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 68° - 42° = 70°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°
又
∵ED//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得：
∠BDE = ∠DBC = 35°
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算问题，将三角形内角和、角平分线、平行线的性质结合考查，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
