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【例2】如图13.3-8，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$.
(1) 求证：$∠ ACD=∠ B$.
(2) 若$AF$平分$∠ CAB$且分别交$CD$，$BC$于点$E$，$F$，求证：$∠ CEF=∠ CFE$.
【点拨】本题解题的关键是要在两个直角三角形中，利用两个锐角互余证明$∠ AED=∠ CFE$，再进一步通过角的转移得出结果.
(1) 求证：$∠ ACD=∠ B$.
(2) 若$AF$平分$∠ CAB$且分别交$CD$，$BC$于点$E$，$F$，求证：$∠ CEF=∠ CFE$.
【点拨】本题解题的关键是要在两个直角三角形中，利用两个锐角互余证明$∠ AED=∠ CFE$，再进一步通过角的转移得出结果.
答案
证明：(1)
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B. (2) 在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE. 又
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，又
∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE.
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B. (2) 在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE. 又
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，又
∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE.
解析
【分析】
（1）要证∠ACD=∠B，结合已知的两个直角条件，可知∠ACD和∠B都与∠BCD互余，根据同角的余角相等即可推导结论。
（2）要证∠CEF=∠CFE，首先利用角平分线的定义得到∠CAF=∠DAE，再分别在两个直角三角形中根据直角三角形两锐角互余，可得∠CFE和∠AED分别与两个相等的角互余，因此∠CFE=∠AED，最后结合对顶角相等的性质进行等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B。
(2) 证明：
在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE。
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又
∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），
∴∠CEF=∠CFE。
【答案】
(1) 已证∠ACD=∠B；
(2) 已证∠CEF=∠CFE。
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角平分线的定义
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用直角三角形的互余关系完成角的等量转化，只要熟练掌握角平分线、对顶角等基础性质，就能快速完成推导。
【难度系数】
0.8
（1）要证∠ACD=∠B，结合已知的两个直角条件，可知∠ACD和∠B都与∠BCD互余，根据同角的余角相等即可推导结论。
（2）要证∠CEF=∠CFE，首先利用角平分线的定义得到∠CAF=∠DAE，再分别在两个直角三角形中根据直角三角形两锐角互余，可得∠CFE和∠AED分别与两个相等的角互余，因此∠CFE=∠AED，最后结合对顶角相等的性质进行等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B。
(2) 证明：
在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE。
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又
∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），
∴∠CEF=∠CFE。
【答案】
(1) 已证∠ACD=∠B；
(2) 已证∠CEF=∠CFE。
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角平分线的定义
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用直角三角形的互余关系完成角的等量转化，只要熟练掌握角平分线、对顶角等基础性质，就能快速完成推导。
【难度系数】
0.8
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=2∠ B$，则$∠ A$的度数为（
A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$90°$
A
）A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$90°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形的性质，明确直角三角形的两个锐角之和为90°，再结合题目给出的∠A与∠B的倍数关系，将两个角的关系代入求和等式，即可求出∠A的度数。具体思路：第一步根据三角形内角和定理推导直角三角形两锐角和为90°，第二步代入∠A=2∠B的关系，计算出∠B的度数，最后求出∠A的度数对应选项即可。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴根据三角形内角和为180°，可得$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 90°$
又
∵$∠ A = 2∠ B$
将$∠ A = 2∠ B$代入$∠ A + ∠ B = 90°$，得：
$2∠ B + ∠ B = 90°$
$3∠ B = 90°$
解得$∠ B = 30°$
∴$∠ A = 2×30° = 60°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，考查对直角三角形锐角关系的掌握，只要熟练掌握相关性质，结合简单的代数代换即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先利用直角三角形的性质，明确直角三角形的两个锐角之和为90°，再结合题目给出的∠A与∠B的倍数关系，将两个角的关系代入求和等式，即可求出∠A的度数。具体思路：第一步根据三角形内角和定理推导直角三角形两锐角和为90°，第二步代入∠A=2∠B的关系，计算出∠B的度数，最后求出∠A的度数对应选项即可。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴根据三角形内角和为180°，可得$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 90°$
又
∵$∠ A = 2∠ B$
将$∠ A = 2∠ B$代入$∠ A + ∠ B = 90°$，得：
$2∠ B + ∠ B = 90°$
$3∠ B = 90°$
解得$∠ B = 30°$
∴$∠ A = 2×30° = 60°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，考查对直角三角形锐角关系的掌握，只要熟练掌握相关性质，结合简单的代数代换即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图所示，在$△ ABC$中，$CD$，$BE$分别是$AB$，$AC$边上的高，并且$CD$，$BE$交于点$P$，若$∠ A=50°$，则$∠ BPC$等于（
A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$160°$
C
）A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$160°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先抓住“CD、BE是高”这个条件，可知存在90°的角，已知∠A=50°，我们可以先在直角三角形ABE中，利用三角形内角和为180°求出∠ABE的度数，再在直角三角形BDP中求出∠BPD的度数，最后根据∠BPD和∠BPC互为邻补角、和为180°，就能算出∠BPC的度数；也可以通过四边形ADPE的内角和结合对顶角相等求解，两种思路都能得到正确结果。
【解析】
解：
∵BE是AC边上的高，
∴∠AEB=90°，
在△ABE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ABE = 180° - ∠A - ∠AEB = 180° - 50° - 90° = 40°，
又
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDP=90°，
在△BDP中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BPD = 180° - ∠BDP - ∠ABE = 180° - 90° - 40° = 50°，
∵∠BPD与∠BPC互为邻补角，即∠BPD + ∠BPC = 180°，
∴∠BPC = 180° - ∠BPD = 180° - 50° = 130°。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
这道题属于基础角度计算题，解题的关键是结合三角形高的性质得到直角，再灵活运用三角形内角和定理梳理角度之间的关系，计算时注意不要混淆角的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“CD、BE是高”这个条件，可知存在90°的角，已知∠A=50°，我们可以先在直角三角形ABE中，利用三角形内角和为180°求出∠ABE的度数，再在直角三角形BDP中求出∠BPD的度数，最后根据∠BPD和∠BPC互为邻补角、和为180°，就能算出∠BPC的度数；也可以通过四边形ADPE的内角和结合对顶角相等求解，两种思路都能得到正确结果。
【解析】
解：
∵BE是AC边上的高，
∴∠AEB=90°，
在△ABE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ABE = 180° - ∠A - ∠AEB = 180° - 50° - 90° = 40°，
又
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDP=90°，
在△BDP中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BPD = 180° - ∠BDP - ∠ABE = 180° - 90° - 40° = 50°，
∵∠BPD与∠BPC互为邻补角，即∠BPD + ∠BPC = 180°，
∴∠BPC = 180° - ∠BPD = 180° - 50° = 130°。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
这道题属于基础角度计算题，解题的关键是结合三角形高的性质得到直角，再灵活运用三角形内角和定理梳理角度之间的关系，计算时注意不要混淆角的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
3. 下列条件：①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$；③$∠ A=∠ B=∠ C$；④$∠ A=90°-∠ B$. 其中能确定$△ ABC$是直角三角形的有（
A.①②③
B.①②④
C.②④
D.①②③④
B
）A.①②③
B.①②④
C.②④
D.①②③④
答案
3. B
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是验证三角形中是否存在90°的内角，可结合三角形内角和为180°的性质，逐个分析给出的4个条件即可得出结论。
【解析】
已知三角形内角和为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐个分析条件：
1. 对条件①：将$∠ A+∠ B=∠ C$代入内角和公式，得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
2. 对条件②：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
3. 对条件③：$∠ A=∠ B=∠ C$，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，△ABC是等边三角形，不是直角三角形；
4. 对条件④：由$∠ A=90°-∠ B$可得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，可确定△ABC是直角三角形。
综上，能确定是直角三角形的条件为①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理 2. 直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，通过代入推导即可判断是否存在直角，易错点为误判条件③是直角三角形。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是验证三角形中是否存在90°的内角，可结合三角形内角和为180°的性质，逐个分析给出的4个条件即可得出结论。
【解析】
已知三角形内角和为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐个分析条件：
1. 对条件①：将$∠ A+∠ B=∠ C$代入内角和公式，得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
2. 对条件②：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
3. 对条件③：$∠ A=∠ B=∠ C$，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，△ABC是等边三角形，不是直角三角形；
4. 对条件④：由$∠ A=90°-∠ B$可得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，可确定△ABC是直角三角形。
综上，能确定是直角三角形的条件为①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理 2. 直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，通过代入推导即可判断是否存在直角，易错点为误判条件③是直角三角形。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=20°$，$BE$平分$∠ ABC$，那么$∠ ABE$的度数为________。
答案
35°
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理，已知△ABC中∠ACB和∠A的度数，可先求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义，BE平分∠ABC，因此∠ABE的度数为∠ABC度数的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 20° = 70°$，
∵BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理、角平分线定义的理解与应用，计算难度小，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先利用三角形内角和定理，已知△ABC中∠ACB和∠A的度数，可先求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义，BE平分∠ABC，因此∠ABE的度数为∠ABC度数的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 20° = 70°$，
∵BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理、角平分线定义的理解与应用，计算难度小，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85
5. 如图所示，$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，$DE⊥ AC$，则结论：①$∠1=∠2$；②$∠2=∠ A$；③$DE// BC$；④$∠ B+∠ DCE=90°$中，正确的结论为________.（填序号）
答案
①②③
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直关系入手：第一步，由AC⊥BC、DE⊥AC，根据平行线的判定定理判断DE和BC是否平行，确定③的正误；第二步，结合DE与BC的平行关系，利用平行线的性质判断①是否成立；第三步，根据CD⊥AB、DE⊥AC的条件，利用同角的余角相等判断②是否正确；第四步，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导∠B与∠DCE的数量关系，判断④是否成立。
【解析】
1. 判断③：已知$AC⊥BC$，$DE⊥AC$，即BC、DE都垂直于AC，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$DE// BC$，故③正确。
2. 判断①：由$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠1=∠2$，故①正确。
3. 判断②：已知$DE⊥AC$，在$Rt△ DEC$中，$∠2+∠DCE=90°$；又$CD⊥AB$，在$Rt△ ADC$中，$∠A+∠DCE=90°$。根据“同角的余角相等”，可得$∠2=∠A$，故②正确。
4. 判断④：已知$AC⊥BC$，在$Rt△ ABC$中，$∠B+∠A=90°$，结合$∠A+∠DCE=90°$，根据“同角的余角相等”可得$∠B=∠DCE$，因此$∠B+∠DCE=2∠B$，只有当$∠B=45°$时和为90°，不是恒成立，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
平行线的判定与性质；余角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了平行线、直角三角形的角度相关性质，解题的关键是能根据垂直关系快速得到平行关系和互余的角，准确梳理角之间的等量转换关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直关系入手：第一步，由AC⊥BC、DE⊥AC，根据平行线的判定定理判断DE和BC是否平行，确定③的正误；第二步，结合DE与BC的平行关系，利用平行线的性质判断①是否成立；第三步，根据CD⊥AB、DE⊥AC的条件，利用同角的余角相等判断②是否正确；第四步，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导∠B与∠DCE的数量关系，判断④是否成立。
【解析】
1. 判断③：已知$AC⊥BC$，$DE⊥AC$，即BC、DE都垂直于AC，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$DE// BC$，故③正确。
2. 判断①：由$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠1=∠2$，故①正确。
3. 判断②：已知$DE⊥AC$，在$Rt△ DEC$中，$∠2+∠DCE=90°$；又$CD⊥AB$，在$Rt△ ADC$中，$∠A+∠DCE=90°$。根据“同角的余角相等”，可得$∠2=∠A$，故②正确。
4. 判断④：已知$AC⊥BC$，在$Rt△ ABC$中，$∠B+∠A=90°$，结合$∠A+∠DCE=90°$，根据“同角的余角相等”可得$∠B=∠DCE$，因此$∠B+∠DCE=2∠B$，只有当$∠B=45°$时和为90°，不是恒成立，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
平行线的判定与性质；余角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了平行线、直角三角形的角度相关性质，解题的关键是能根据垂直关系快速得到平行关系和互余的角，准确梳理角之间的等量转换关系。
【难度系数】
0.7
