1. 计算:
(1) $\frac{4x}{3y} · \frac{-y}{2x^3}$;
(2) $\frac{ab^4}{2c^2} ÷ \frac{-5a^2b^3}{4cd}$.

(1) $-\frac{2}{3x^2}$
(2) $\frac{2bd}{-5ac}$

【分析】
本题考查分式的乘除运算，解题思路如下：1. 分式乘法运算：先确定乘积的符号（同号得正，异号得负），再将分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母，最后约分化为最简分式；2. 分式除法运算：先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将除法转化为乘法，再按照分式乘法的规则计算即可。计算时注意系数和相同字母要分别约分，不要遗漏公因式。
【解析】
(1) 计算$\frac{4x}{3y} · \frac{-y}{2x^3}$：
第一步，确定符号：两个因式一正一负，积为负；
第二步，分子分母分别相乘：
$\mathrm{原式}=-\frac{4x·y}{3y·2x^3}$
第三步，约分：系数4和2约去2，得分子系数为2，分母系数为3；分子的$x$和分母的$x^3$约去$x$，得分母剩$x^2$；分子的$y$和分母的$y$约去$y$，最终得到化简结果。
(2) 计算$\frac{ab^4}{2c^2} ÷ \frac{-5a^2b^3}{4cd}$：
第一步，将除法转化为乘法，乘以除式的倒数：
$\mathrm{原式}=\frac{ab^4}{2c^2} · \frac{4cd}{-5a^2b^3}$
第二步，确定符号：两个因式一正一负，积为负；
第三步，分子分母分别相乘：
$\mathrm{原式}=-\frac{ab^4·4cd}{2c^2·5a^2b^3}$
第四步，约分：系数4和2约去2，得分子系数为2，分母系数为5；分子的$a$和分母的$a^2$约去$a$，得分母剩$a$；分子的$b^4$和分母的$b^3$约去$b^3$，得分子剩$b$；分子的$c$和分母的$c^2$约去$c$，得分母剩$c$；分子的$d$保留，最终得到化简结果。
【答案】
(1) $-\frac{2}{3x^2}$
(2) $\frac{2bd}{-5ac}$
【知识点】
分式的乘法运算；分式的除法运算；分式的约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是先把除法统一转化为乘法，再结合符号规则和约分规则计算，计算时要注意先定符号再运算，避免出现符号错误，约分时要找全分子分母的公因式，保证结果是最简分式。
【难度系数】
0.8

2. 计算:
(1) $\dfrac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + 2a + 1} · \dfrac{-a - 1}{a^2 - 4}$；
(2) $\dfrac{1}{25 - m^2} ÷ \dfrac{1}{m^2 - 5m}$。

(1) $-\frac{a-2}{(a+1)(a+2)}$
(2) $\frac{-m}{5+m}$

【分析】
解决分式乘除运算题的思路如下：首先观察式子中各多项式的结构，优先对分子、分母的多项式进行因式分解；若为除法运算，先根据“除以一个分式等于乘这个分式的倒数”转化为乘法运算；接下来找出分子、分母的公因式进行约分，最后将剩余的因式整理为最简分式即可，运算过程中要格外注意负号的处理，避免符号错误。
【解析】
(1) 先对各分式的分子、分母因式分解：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$-a-1=-(a+1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
代入原式可得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-2)^2}{(a+1)^2} · \dfrac{-(a+1)}{(a+2)(a-2)}\\&=-\dfrac{a-2}{(a+1)(a+2)}\end{aligned}$
(2) 先将除法运算转化为乘法运算，再因式分解约分：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{25-m^2} · (m^2-5m)\\&=\dfrac{1}{-(m-5)(m+5)} · m(m-5)\\&=\dfrac{-m}{5+m}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{a-2}{(a+1)(a+2)}$
(2) $\frac{-m}{5+m}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础考察题，解题的关键是掌握因式分解的方法以及分式乘除的运算法则，运算时注意负号的转化，养成先因式分解再约分的习惯，能有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.75

1. 一艘轮船在静水中的航速是 30 km/h，如果江水的流速为 v km/h，则顺流航行 90 km的时间是 ，逆流航行 60 km 的时间是 ；顺流航行的时间是逆流航行时间的 倍。

1. $\frac{90}{30+v}\ \mathrm{h}$ $\frac{60}{30-v}\ \mathrm{h}$ $\frac{90-3v}{60+2v}$

【分析】
解题时先回忆流水行船问题的速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；再根据行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，分别列式表示顺流、逆流航行的时间；最后求顺流时间是逆流时间的几倍，就是用顺流时间除以逆流时间，按照分式除法的运算法则计算化简即可。
【解析】
1. 求顺流航行90km的时间：
顺流航行的速度 = 静水航速 + 江水流速 = $(30+v)\ \mathrm{km/h}$，
根据$时间=路程÷速度$，可得顺流时间为 $\frac{90}{30+v}\ \mathrm{h}$。
2. 求逆流航行60km的时间：
逆流航行的速度 = 静水航速 - 江水流速 = $(30-v)\ \mathrm{km/h}$，
同理可得逆流时间为 $\frac{60}{30-v}\ \mathrm{h}$。
3. 求顺流航行时间是逆流航行时间的倍数：
用顺流时间除以逆流时间，计算过程如下：
$\begin{aligned}\frac{90}{30+v} ÷ \frac{60}{30-v} &= \frac{90}{30+v} × \frac{30-v}{60}\\&= \frac{90(30-v)}{60(30+v)}\\&= \frac{3(30-v)}{2(30+v)}\\&= \frac{90-3v}{60+2v}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{90}{30+v}\ \mathrm{h}$；$\frac{60}{30-v}\ \mathrm{h}$；$\frac{90-3v}{60+2v}$
【知识点】
行程问题数量关系，分式乘除运算，列代数式
【点评】
本题将流水行船的行程问题与分式运算结合考查，解题核心是正确掌握顺流、逆流的速度计算方法，分式除法运算时要先转化为乘法再约分化简，可有效避免运算错误。
【难度系数】
0.7

2. 一个长方体的容积是$V$，底面的长是$a$，宽是$b$，当容器内的水占容器的$\frac{m}{n}$时，水面的高度是________。

$\frac{mV}{nab}$

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先回忆长方体容积的计算公式：长方体容积=长×宽×高=底面积×高。我们可以通过两种路径推导结果：①先求出整个长方体容器的总高度，再结合水占容器的比例$\frac{m}{n}$计算水面高度；②先求出水的体积，再用水的体积除以容器底面积得到水面高度，两种路径最终结果一致。
【解析】
步骤1：计算长方体容器的底面积
已知底面长为$a$，宽为$b$，因此底面积$S=ab$
步骤2：计算容器的总高度
根据长方体容积公式$V=S· h_{总}$，变形可得容器总高度$h_{总}=\frac{V}{S}=\frac{V}{ab}$
步骤3：计算水面高度
因为水的体积占容器容积的$\frac{m}{n}$，因此水面高度是容器总高度的$\frac{m}{n}$，即：
$h_{水}=h_{总}×\frac{m}{n}=\frac{V}{ab}×\frac{m}{n}=\frac{mV}{nab}$
（也可先算水的体积：$V_{水}=V×\frac{m}{n}$，再代入$h_{水}=\frac{V_{水}}{S}=\frac{\frac{mV}{n}}{ab}=\frac{mV}{nab}$，结果相同）
【答案】
$\frac{mV}{nab}$
【知识点】
长方体容积公式；分式乘法运算；列代数式
【点评】
本题是代数运算与几何公式结合的基础应用题，解题核心是明确长方体容积、底面积、高度三者的数量关系，再结合占比关系列出分式并化简即可，熟练掌握长方体体积公式和分式运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 大拖拉机$m$天耕地$a\ \mathrm{hm}^2$，小拖拉机$n$天耕地$b\ \mathrm{hm}^2$，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$倍。

$\frac{an}{bm}$

【分析】
解题时首先要明确工程问题的基本数量关系：工作效率=工作总量÷工作时间。我们可以分三步思考：第一步，根据公式分别求出大拖拉机和小拖拉机的工作效率；第二步，求一个量是另一个量的几倍，用除法计算，即列出大拖拉机效率除以小拖拉机效率的算式；第三步，按照分式除法的运算法则计算化简，得到最终结果。
【解析】
首先计算大拖拉机的工作效率：
已知大拖拉机$m$天耕地$a\ \mathrm{hm}^2$，根据工作效率公式，大拖拉机的工作效率为$\frac{a}{m}\ \mathrm{hm}^2/$天。
再计算小拖拉机的工作效率：
已知小拖拉机$n$天耕地$b\ \mathrm{hm}^2$，同理小拖拉机的工作效率为$\frac{b}{n}\ \mathrm{hm}^2/$天。
求大拖拉机工作效率是小拖拉机的几倍，用除法列式：
$\frac{a}{m} ÷ \frac{b}{n}$
根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，计算得：
$\frac{a}{m} × \frac{n}{b} = \frac{an}{bm}$
【答案】
$\frac{an}{bm}$
【知识点】
工作效率计算、分式除法运算
【点评】
本题是工程问题和分式运算的结合类基础题，核心是掌握工程问题的基本数量关系，同时熟练运用分式除法的运算法则进行计算，计算时注意最后结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8

【例1】若$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2}$运算的结果为整式，则“$□$”中的式子可能是（）

A.$y-x$
B.$y+x$
C.$\frac{1}{x}$
D.$3x$
【点拨】本题考查分式的乘除法和整式的概念，首先把除法变成乘法，见到多项式要因式分解，根据分式的乘除法法则进行解题即可。

【例1】D 解析：$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} · \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
∵运算的结果为整式，
∴中式子一定含有x的单项式，故只有D项符合. 故选D.

【分析】
解题时首先根据分式除法的运算法则，将除法运算转化为乘法运算，再对多项式$y^2-x^2$用平方差公式因式分解，约分后观察剩余的分母，要使运算结果为整式，需要“”中的式子含有剩余分母的因式，把分母完全约去，最后逐一验证选项即可。
【解析】
根据分式的除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先对原式变形：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} · \frac{y^2 - x^2}{x}$
利用平方差公式因式分解$y^2-x^2=(y+x)(y-x)$，代入上式约分（约去公因式$x+y$）可得：
原式$=\frac{□·(y-x)}{x}$
若运算结果为整式，则分母$x$需被完全约去，即“”中的式子必须含有因式$x$：
选项A：代入$□=y-x$，得$\frac{(y-x)^2}{x}$，结果为分式，不符合要求；
选项B：代入$□=y+x$，得$\frac{(y+x)(y-x)}{x}=\frac{y^2-x^2}{x}$，结果为分式，不符合要求；
选项C：代入$□=\frac{1}{x}$，得$\frac{y-x}{x^2}$，结果为分式，不符合要求；
选项D：代入$□=3x$，得$\frac{3x·(y-x)}{x}=3(y-x)$，结果为整式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式因式分解；整式的概念
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，解题的关键是熟练掌握分式乘除法的运算法则，结合整式的定义判断未知部分需要包含的因式，计算时要注意因式分解正确，符号不要出错。
【难度系数】
0.7