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【例2】如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为$a$ m（$a＞1$）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为$(a-1)$ m的正方形，“丰收1号”小麦试验田的小麦收获了300 kg，“丰收2号”小麦试验田的小麦收获了200 kg，则“丰收1号”小麦的单位面积产量是“丰收2号”小麦的单位面积产量的多少倍？
【点拨】根据单位面积产量=总产量÷面积，求得两种小麦的单位面积产量，再用分式的除法进行计算。
【点拨】根据单位面积产量=总产量÷面积，求得两种小麦的单位面积产量，再用分式的除法进行计算。
答案
【例2】解：由题意，得 $\frac{300}{a^2-1} ÷ \frac{200}{(a-1)^2} = \frac{300}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a-1)^2}{200} = \frac{3(a-1)}{2(a+1)}.$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先明确单位面积产量的计算公式是“总产量÷试验田面积”，所以第一步先分别求出两块试验田的面积；第二步根据总产量和面积写出两种小麦的单位面积产量；第三步求“丰收1号”单位面积产量是“丰收2号”的多少倍，就是用前者的单位面积产量除以后者的单位面积产量，再利用分式除法的运算法则，结合因式分解和约分计算出最终结果。
【解析】
首先计算两块试验田的面积：
“丰收1号”试验田是边长为$a$ m的正方形去掉边长为1 m的小正方形，面积为：$S_1 = a^2 - 1$（$\mathrm{m}^2$）
“丰收2号”试验田是边长为$(a-1)$ m的正方形，面积为：$S_2 = (a-1)^2$（$\mathrm{m}^2$）
再分别计算单位面积产量：
“丰收1号”单位面积产量：$\frac{300}{a^2 - 1}$（$\mathrm{kg/m}^2$）
“丰收2号”单位面积产量：$\frac{200}{(a-1)^2}$（$\mathrm{kg/m}^2$）
求倍数关系，用“丰收1号”单位面积产量除以“丰收2号”单位面积产量：
$\begin{aligned}\frac{300}{a^2-1} ÷ \frac{200}{(a-1)^2} &= \frac{300}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a-1)^2}{200} \\&= \frac{3(a-1)}{2(a+1)}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3(a-1)}{2(a+1)}$
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题是分式运算的实际应用题，解题的核心是先结合几何图形正确表示两块试验田的面积，再根据单位产量的计算公式列出分式运算式，计算时先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算难度，避免出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先明确单位面积产量的计算公式是“总产量÷试验田面积”，所以第一步先分别求出两块试验田的面积；第二步根据总产量和面积写出两种小麦的单位面积产量；第三步求“丰收1号”单位面积产量是“丰收2号”的多少倍，就是用前者的单位面积产量除以后者的单位面积产量，再利用分式除法的运算法则，结合因式分解和约分计算出最终结果。
【解析】
首先计算两块试验田的面积：
“丰收1号”试验田是边长为$a$ m的正方形去掉边长为1 m的小正方形，面积为：$S_1 = a^2 - 1$（$\mathrm{m}^2$）
“丰收2号”试验田是边长为$(a-1)$ m的正方形，面积为：$S_2 = (a-1)^2$（$\mathrm{m}^2$）
再分别计算单位面积产量：
“丰收1号”单位面积产量：$\frac{300}{a^2 - 1}$（$\mathrm{kg/m}^2$）
“丰收2号”单位面积产量：$\frac{200}{(a-1)^2}$（$\mathrm{kg/m}^2$）
求倍数关系，用“丰收1号”单位面积产量除以“丰收2号”单位面积产量：
$\begin{aligned}\frac{300}{a^2-1} ÷ \frac{200}{(a-1)^2} &= \frac{300}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a-1)^2}{200} \\&= \frac{3(a-1)}{2(a+1)}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3(a-1)}{2(a+1)}$
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题是分式运算的实际应用题，解题的核心是先结合几何图形正确表示两块试验田的面积，再根据单位产量的计算公式列出分式运算式，计算时先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算难度，避免出错。
【难度系数】
0.8
1. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程.如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪位同学的步骤出错，需按照分式乘除法的运算规则依次验证每一步：首先回忆分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，再结合因式分解、约分的规则，逐人核对计算过程，重点注意互为相反数的代数式变形时的符号变化。
【解析】
我们依次核对每位同学的计算步骤：
1. 原式为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2}{1-x}$，甲的步骤：根据分式除法法则，除以$\dfrac{x^2}{1-x}$等于乘它的倒数$\dfrac{1-x}{x^2}$，变形为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} · \dfrac{1-x}{x^2}$，步骤正确。
2. 乙的步骤：$1-x$与$x-1$互为相反数，即$1-x=-(x-1)$，乙将$\dfrac{1-x}{x^2}$改写为$\dfrac{x-1}{x^2}$时未添加负号，符号处理错误，因此乙的步骤出错。
3. 丙的步骤：对乙给出的式子中的分子$x^2-2x$因式分解，得$x(x-2)$，因式分解过程正确，步骤无错误。
4. 丁的步骤：对丙给出的式子约分，约去公因式$x$和$x-1$，得到$\dfrac{x-2}{x}$，约分过程正确，步骤无错误。
因此仅乙负责的一步出现错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、约分
【点评】
本题主要考查分式乘除运算的步骤，易错点是处理$1-x$和$x-1$这类互为相反数的代数式时容易忽略符号变化，运算时要注意每一步变形的规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪位同学的步骤出错，需按照分式乘除法的运算规则依次验证每一步：首先回忆分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，再结合因式分解、约分的规则，逐人核对计算过程，重点注意互为相反数的代数式变形时的符号变化。
【解析】
我们依次核对每位同学的计算步骤：
1. 原式为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2}{1-x}$，甲的步骤：根据分式除法法则，除以$\dfrac{x^2}{1-x}$等于乘它的倒数$\dfrac{1-x}{x^2}$，变形为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} · \dfrac{1-x}{x^2}$，步骤正确。
2. 乙的步骤：$1-x$与$x-1$互为相反数，即$1-x=-(x-1)$，乙将$\dfrac{1-x}{x^2}$改写为$\dfrac{x-1}{x^2}$时未添加负号，符号处理错误，因此乙的步骤出错。
3. 丙的步骤：对乙给出的式子中的分子$x^2-2x$因式分解，得$x(x-2)$，因式分解过程正确，步骤无错误。
4. 丁的步骤：对丙给出的式子约分，约去公因式$x$和$x-1$，得到$\dfrac{x-2}{x}$，约分过程正确，步骤无错误。
因此仅乙负责的一步出现错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、约分
【点评】
本题主要考查分式乘除运算的步骤，易错点是处理$1-x$和$x-1$这类互为相反数的代数式时容易忽略符号变化，运算时要注意每一步变形的规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
2. $(-\dfrac{3a}{b})÷6ab$ 的结果是（
A.$-8a^2$
B.$-\dfrac{a}{2b}$
C.$-\dfrac{18a}{b^2}$
D.$-\dfrac{1}{2b^2}$
D
）A.$-8a^2$
B.$-\dfrac{a}{2b}$
C.$-\dfrac{18a}{b^2}$
D.$-\dfrac{1}{2b^2}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查分式的除法运算，解题思路如下：首先回忆分式除法的运算法则：除以一个整式等于乘以这个整式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；再按照分式乘法的规则，分子与分子相乘作为积的分子，分母与分母相乘作为积的分母；最后对得到的分式进行约分，约去分子分母的公因式即可得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法：
$(-\dfrac{3a}{b})÷6ab = -\dfrac{3a}{b} × \dfrac{1}{6ab}$
按照分式乘法运算规则计算：
$= -\dfrac{3a}{b · 6ab}$
对分子分母约分，约去公因式$3a$：
$= -\dfrac{1}{2b^2}$
【答案】
D
【知识点】
分式的除法运算；分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分式除法转乘法的运算规则，计算过程中注意符号的处理和约分要彻底，熟练掌握后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的除法运算，解题思路如下：首先回忆分式除法的运算法则：除以一个整式等于乘以这个整式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；再按照分式乘法的规则，分子与分子相乘作为积的分子，分母与分母相乘作为积的分母；最后对得到的分式进行约分，约去分子分母的公因式即可得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法：
$(-\dfrac{3a}{b})÷6ab = -\dfrac{3a}{b} × \dfrac{1}{6ab}$
按照分式乘法运算规则计算：
$= -\dfrac{3a}{b · 6ab}$
对分子分母约分，约去公因式$3a$：
$= -\dfrac{1}{2b^2}$
【答案】
D
【知识点】
分式的除法运算；分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分式除法转乘法的运算规则，计算过程中注意符号的处理和约分要彻底，熟练掌握后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 化简$\frac{m-1}{m} ÷ \frac{1-m}{m^2}$的结果是（
A.$m$
B.$\frac{1}{m}$
C.$-m$
D.$-\frac{1}{m}$
C
）A.$m$
B.$\frac{1}{m}$
C.$-m$
D.$-\frac{1}{m}$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查分式的除法运算，解题思路如下：首先根据分式除法的运算法则，将除法运算转化为乘法运算；再观察分子分母的因式，发现$m-1$和$1-m$互为相反数，将$1-m$变形为$-(m-1)$后，找出分子分母的公因式进行约分，最后化简得到结果即可，解题时要注意符号变化避免出错。
【解析】
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$\begin{aligned}\frac{m-1}{m} ÷ \frac{1-m}{m^2}&=\frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{1-m}\\&=\frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{-(m-1)}\\&=\frac{\cancel{m-1}}{\cancel{m}} × \frac{m· \cancel{m}}{-\cancel{(m-1)}}\\&=-m\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
分式的除法，分式约分，符号处理
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考点是分式除法的运算法则，解题的易错点是处理互为相反数的因式时容易漏写负号，只要熟练掌握运算法则，注意符号变化就能正确解答。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的除法运算，解题思路如下：首先根据分式除法的运算法则，将除法运算转化为乘法运算；再观察分子分母的因式，发现$m-1$和$1-m$互为相反数，将$1-m$变形为$-(m-1)$后，找出分子分母的公因式进行约分，最后化简得到结果即可，解题时要注意符号变化避免出错。
【解析】
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$\begin{aligned}\frac{m-1}{m} ÷ \frac{1-m}{m^2}&=\frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{1-m}\\&=\frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{-(m-1)}\\&=\frac{\cancel{m-1}}{\cancel{m}} × \frac{m· \cancel{m}}{-\cancel{(m-1)}}\\&=-m\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
分式的除法，分式约分，符号处理
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考点是分式除法的运算法则，解题的易错点是处理互为相反数的因式时容易漏写负号，只要熟练掌握运算法则，注意符号变化就能正确解答。
【难度系数】
0.7
4. 计算$\frac{x}{a+1} · \frac{a^2 -1}{2x}$的结果正确的是（
A.$\frac{a-1}{2}$
B.$\frac{a+1}{2}$
C.$\frac{a-1}{2x}$
D.$\frac{a+1}{2a+2}$
A
）A.$\frac{a-1}{2}$
B.$\frac{a+1}{2}$
C.$\frac{a-1}{2x}$
D.$\frac{a+1}{2a+2}$
答案
4. A
解析
【分析】
这是一道分式乘法的计算题，解题思路如下：第一步先观察式子中的多项式，发现$a^2-1$符合平方差公式的形式，先对其因式分解；第二步根据分式乘法的运算法则，将分子的乘积作为新分子，分母的乘积作为新分母；第三步约去分子分母的公因式，化简得到最终结果后对应选项即可。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式，再按分式乘法规则计算约分：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{x}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2x} \\&= \frac{x·(a+1)(a-1)}{(a+1)·2x} \\&= \frac{a-1}{2}\end{aligned}$
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式乘法运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考察因式分解和分式约分的能力，计算时先对多项式因式分解再约分，可以大幅简化计算过程，注意约分时要找全分子分母的所有公因式。
【难度系数】
0.8
这是一道分式乘法的计算题，解题思路如下：第一步先观察式子中的多项式，发现$a^2-1$符合平方差公式的形式，先对其因式分解；第二步根据分式乘法的运算法则，将分子的乘积作为新分子，分母的乘积作为新分母；第三步约去分子分母的公因式，化简得到最终结果后对应选项即可。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式，再按分式乘法规则计算约分：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{x}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2x} \\&= \frac{x·(a+1)(a-1)}{(a+1)·2x} \\&= \frac{a-1}{2}\end{aligned}$
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式乘法运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考察因式分解和分式约分的能力，计算时先对多项式因式分解再约分，可以大幅简化计算过程，注意约分时要找全分子分母的所有公因式。
【难度系数】
0.8
5. 若$\dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ A = \dfrac{1}{x + y}$，则$A$等于（
A.$\dfrac{3x}{x + y}$
B.$\dfrac{x + y}{3x}$
C.$\dfrac{3x}{x - y}$
D.$\dfrac{x - y}{3x}$
C
）A.$\dfrac{3x}{x + y}$
B.$\dfrac{x + y}{3x}$
C.$\dfrac{3x}{x - y}$
D.$\dfrac{x - y}{3x}$
答案
5. C
解析
【分析】
这道题考查分式的除法运算，我们可以根据除法运算中各部分的关系推导A的表达式：除数=被除数÷商，首先把A表示为被除数除以已知的商，再按照分式除法的运算法则计算即可。计算时先利用平方差公式对分母多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约分后就能得到化简结果。
【解析】
根据除法各部分之间的关系可得：
$A = \dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
第一步，利用平方差公式分解因式：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
第二步，根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将运算转化为乘法：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} × (x+y)$
第三步，约去分子和分母的公因式$(x+y)$，可得：
$A = \dfrac{3x}{x-y}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
分式的除法运算，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础能力，解题核心是先根据除法运算的关系正确列出A的表达式，再按照分式运算规则逐步化简，只要熟练掌握分式除法的运算法则和因式分解的基本方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式的除法运算，我们可以根据除法运算中各部分的关系推导A的表达式：除数=被除数÷商，首先把A表示为被除数除以已知的商，再按照分式除法的运算法则计算即可。计算时先利用平方差公式对分母多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约分后就能得到化简结果。
【解析】
根据除法各部分之间的关系可得：
$A = \dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
第一步，利用平方差公式分解因式：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
第二步，根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将运算转化为乘法：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} × (x+y)$
第三步，约去分子和分母的公因式$(x+y)$，可得：
$A = \dfrac{3x}{x-y}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
分式的除法运算，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础能力，解题核心是先根据除法运算的关系正确列出A的表达式，再按照分式运算规则逐步化简，只要熟练掌握分式除法的运算法则和因式分解的基本方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
