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11. 下面小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题.
(1) 填空：
$\frac{4}{a^2 - 1} - \frac{2}{a^2 + a}$
$=\frac{4}{(a+1)(a-1)} - \frac{2}{a(a+1)} \dots \dots 第一步$
$=\frac{4a}{a(a+1)(a-1)} - \frac{2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第二步$
$=\frac{4a - 2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第三步$
$=\frac{4a - 2a - 2}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第四步$
$=\frac{2a - 2}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第五步$
$=\frac{2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第六步$
$=\frac{2}{a^2 + a} \dots \dots 第七步$
①以上化简步骤中，第
②第
(2) 请直接写出该分式化简后的正确结果.
(3) 除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
(1) 填空：
$\frac{4}{a^2 - 1} - \frac{2}{a^2 + a}$
$=\frac{4}{(a+1)(a-1)} - \frac{2}{a(a+1)} \dots \dots 第一步$
$=\frac{4a}{a(a+1)(a-1)} - \frac{2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第二步$
$=\frac{4a - 2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第三步$
$=\frac{4a - 2a - 2}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第四步$
$=\frac{2a - 2}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第五步$
$=\frac{2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} \dots \dots 第六步$
$=\frac{2}{a^2 + a} \dots \dots 第七步$
①以上化简步骤中，第
二
步进行的是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质
. 即为分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变
；②第
四
步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前为负号，分子打开括号后没有变号
.(2) 请直接写出该分式化简后的正确结果.
(3) 除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
答案
11. (1) ①二 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变
②四 括号前为负号，分子打开括号后没有变号
(2) $\dfrac{2}{a^2-a}$
(3) 最后结果应化为最简分式或整式
②四 括号前为负号，分子打开括号后没有变号
(2) $\dfrac{2}{a^2-a}$
(3) 最后结果应化为最简分式或整式
解析
【分析】
本题围绕分式化简的步骤展开，需先明确分式通分、去括号、约分的规则，再逐一分析小东的化简过程，找出通分步骤、错误步骤及原因，最后推导正确结果并给出注意事项。
【解析】
(1) ① 分式通分是将异分母分式化为同分母分式，小东在第二步将两个分式化为同分母分式，故第二步是通分；通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
② 第四步去括号时，原式为$4a - 2(a-1)$，去括号后应为$4a -2a +2$，但小东错误写成$4a -2a -2$，错误原因是括号前为负号，打开括号后分子未变号。
(2) 重新化简：$\frac{4}{a^2 -1} - \frac{2}{a^2 +a} = \frac{4a}{a(a+1)(a-1)} - \frac{2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{4a -2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{4a -2a +2}{a(a+1)(a-1)} = \frac{2a +2}{a(a+1)(a-1)} = \frac{2(a+1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{2}{a(a-1)} = \frac{2}{a^2 -a}$。
(3) 分式化简时，最后结果应化为最简分式或整式，避免未约分导致结果错误。
【答案】
(1) ① 二；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变；② 四；括号前为负号，分子打开括号后没有变号；(2) $\frac{2}{a^2 -a}$；(3) 最后结果应化为最简分式或整式
【知识点】
分式化简，分式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题考查分式化简的核心步骤，重点考查通分、去括号符号处理及约分规则，是分式运算的基础题型，需注意细节避免符号类错误。
【难度系数】
0.5
本题围绕分式化简的步骤展开，需先明确分式通分、去括号、约分的规则，再逐一分析小东的化简过程，找出通分步骤、错误步骤及原因，最后推导正确结果并给出注意事项。
【解析】
(1) ① 分式通分是将异分母分式化为同分母分式，小东在第二步将两个分式化为同分母分式，故第二步是通分；通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
② 第四步去括号时，原式为$4a - 2(a-1)$，去括号后应为$4a -2a +2$，但小东错误写成$4a -2a -2$，错误原因是括号前为负号，打开括号后分子未变号。
(2) 重新化简：$\frac{4}{a^2 -1} - \frac{2}{a^2 +a} = \frac{4a}{a(a+1)(a-1)} - \frac{2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{4a -2(a-1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{4a -2a +2}{a(a+1)(a-1)} = \frac{2a +2}{a(a+1)(a-1)} = \frac{2(a+1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{2}{a(a-1)} = \frac{2}{a^2 -a}$。
(3) 分式化简时，最后结果应化为最简分式或整式，避免未约分导致结果错误。
【答案】
(1) ① 二；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变；② 四；括号前为负号，分子打开括号后没有变号；(2) $\frac{2}{a^2 -a}$；(3) 最后结果应化为最简分式或整式
【知识点】
分式化简，分式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题考查分式化简的核心步骤，重点考查通分、去括号符号处理及约分规则，是分式运算的基础题型，需注意细节避免符号类错误。
【难度系数】
0.5
12. (2025·雅安) 化简：$\dfrac{x^2 -9}{x^2 -6x +9}=$
$\dfrac{x+3}{x-3}$
.答案
12. $\dfrac{x+3}{x-3}$
解析
【分析】本题是分式化简题，解题思路为：先利用平方差公式分解分子，利用完全平方公式分解分母，再约去分子与分母的公因式，即可得到最简分式。
【解析】解：对分子因式分解：$x^2 -9=(x+3)(x-3)$；对分母因式分解：$x^2 -6x +9=(x-3)^2$；则原式$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2}=\dfrac{x+3}{x-3}$（$x≠3$）。
【答案】$\dfrac{x+3}{x-3}$
【知识点】分式的约分、因式分解
【点评】本题考查分式的化简，核心是运用因式分解（平方差公式、完全平方公式）对分子分母变形后约分，属于分式运算的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：对分子因式分解：$x^2 -9=(x+3)(x-3)$；对分母因式分解：$x^2 -6x +9=(x-3)^2$；则原式$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2}=\dfrac{x+3}{x-3}$（$x≠3$）。
【答案】$\dfrac{x+3}{x-3}$
【知识点】分式的约分、因式分解
【点评】本题考查分式的化简，核心是运用因式分解（平方差公式、完全平方公式）对分子分母变形后约分，属于分式运算的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
13. (2025·北京) 已知$a+b-3=0$，求代数式$\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}$的值.
答案
13. 解：$\because a+b-3=0$，$\therefore a+b=3$，
$\therefore 原式=\frac{4a-4b+8b}{(a+b)^2}=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}=\frac{4}{3}$.
$\therefore 原式=\frac{4a-4b+8b}{(a+b)^2}=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}=\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
首先根据已知条件求出$a+b$的值，再对所求代数式的分子、分母分别化简：分母利用完全平方公式变形，分子展开合并同类项后提取公因式，最后将$a+b=3$整体代入化简后的代数式计算结果。
【解析】
解：
∵$a+b-3=0$，
∴$a+b=3$，
对代数式化简：
原式$=\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}$
$=\frac{4a - 4b + 8b}{(a+b)^2}$（分母用完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$）
$=\frac{4a + 4b}{(a+b)^2}$（分子合并同类项：$-4b+8b=4b$）
$=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}$（分子提取公因式4）
$=\frac{4}{a+b}$（约分，$a+b=3≠0$，可约去公因式$a+b$）
将$a+b=3$代入，得原式$=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值，整体代入法
【点评】
本题是基础的代数式化简求值题，主要考查完全平方公式的应用、代数式的化简能力，以及整体代入思想的运用，难度较低，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件求出$a+b$的值，再对所求代数式的分子、分母分别化简：分母利用完全平方公式变形，分子展开合并同类项后提取公因式，最后将$a+b=3$整体代入化简后的代数式计算结果。
【解析】
解：
∵$a+b-3=0$，
∴$a+b=3$，
对代数式化简：
原式$=\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}$
$=\frac{4a - 4b + 8b}{(a+b)^2}$（分母用完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$）
$=\frac{4a + 4b}{(a+b)^2}$（分子合并同类项：$-4b+8b=4b$）
$=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}$（分子提取公因式4）
$=\frac{4}{a+b}$（约分，$a+b=3≠0$，可约去公因式$a+b$）
将$a+b=3$代入，得原式$=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值，整体代入法
【点评】
本题是基础的代数式化简求值题，主要考查完全平方公式的应用、代数式的化简能力，以及整体代入思想的运用，难度较低，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.8
