8. 多项式 $x(a - x)(b - x)-mn(a - x)(x - b)$ 各项的公因式是()

A.$x(a - x)$
B.$x(b - x)$
C.$(a - x)(b - x)$
D.$m(n - 1)(a - x)(b - x)$

C

首先，观察多项式 $x(a - x)(b - x) - mn(a - x)(x - b)$。
注意到 $x - b = -(b - x)$，所以第二项可以改写为：
$mn(a - x)(x - b) = -mn(a - x)(b - x)$，
因此，原式可以写为：
$x(a - x)(b - x) + mn(a - x)(b - x) × (-1) \quad \mathrm{或} \quad x(a - x)(b - x) + mn(a - x)(b - x)(-1)$，
$= (a - x)(b - x)(x-mn)$ （这一步仅为观察公因式并不需要真正提取），
可见，两项中都含有公因式 $(a - x)(b - x)$。
对比选项，发现只有选项C：$(a - x)(b - x)$符合公因式的形式。

9. 把多项式 $m^{2}(n - 2)-m(2 - n)$ 分解因式所得的结果为()

A.$(n - 2)(m^{2}+m)$
B.$(n - 2)(m^{2}-m)$
C.$m(n - 2)(m - 1)$
D.$m(n - 2)(m + 1)$

D

原式 $m^{2}(n - 2) - m(2 - n)$
注意到 $2 - n = -(n - 2)$，所以原式可化为：
$m^{2}(n - 2) + m(n - 2)$
提取公因式 $m(n - 2)$，得到：
$m(n - 2)(m + 1)$

10. 先分解因式，再求值：$5x(a - 2)+4x(2 - a)$，其中 $x = 0.4$，$a = 102$.

40

分解因式：
$\begin{aligned}5x(a - 2) + 4x(2 - a)&=5x(a - 2) - 4x(a - 2)\\&=(a - 2)(5x - 4x)\\&=x(a - 2)\end{aligned}$
代入求值：
当 $x = 0.4$，$a = 102$ 时，
$x(a - 2) = 0.4×(102 - 2) = 0.4×100 = 40$

11. 如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“回文数”.例如自然数 $12321$，从最高位到个位依次排出的一串数字是 $1$，$2$，$3$，$2$，$1$，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是 $1$，$2$，$3$，$2$，$1$，因此 $12321$ 是一个“回文数”.再如 $22$，$545$，$3883$，$345543$ 都是“回文数”.
请你直接写出 $3$ 个四位“回文数”，再猜想：任意一个四位“回文数”能否被 $11$ 整除？说明理由.

1. 四位“回文数”示例：1221，1331，2442（答案不唯一）。
2. 任意一个四位“回文数”能被11整除。理由：设四位“回文数”的千位数字为$a$（$1≤ a≤9$，$a$为整数），百位数字为$b$（$0≤ b≤9$，$b$为整数），则该四位“回文数”可表示为$1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b$。提取公因式得$11(91a + 10b)$，因为$91a + 10b$为整数，所以该四位“回文数”是11的倍数，即能被11整除。