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1. 把多项式 $2a^{3}-4a^{2}$ 分解因式时，提取的公因式是()
A.$a^{2}$
B.$2a$
C.$(a - 2)$
D.$2a^{2}$
A.$a^{2}$
B.$2a$
C.$(a - 2)$
D.$2a^{2}$
答案
D
解析
多项式 $2a^{3} - 4a^{2}$ 的系数部分的最大公约数是 2，字母部分 $a^{3}$ 和 $a^{2}$ 的最低次幂是 $a^{2}$，所以公因式为 $2a^{2}$。
2. 用提取公因式法分解因式，下列正确的是()
A.$2n^{2}-mn + n = 2n(n - m)$
B.$2n^{2}-mn + n = n(2 - m + 1)$
C.$2n^{2}-mn + n = n(2n - m)$
D.$2n^{2}-mn + n = n(2n - m + 1)$
A.$2n^{2}-mn + n = 2n(n - m)$
B.$2n^{2}-mn + n = n(2 - m + 1)$
C.$2n^{2}-mn + n = n(2n - m)$
D.$2n^{2}-mn + n = n(2n - m + 1)$
答案
D
解析
多项式各项的公因式为n，提取公因式n后，各项分别为2n²÷n=2n，-mn÷n=-m，n÷n=1，所以2n² - mn + n = n(2n - m + 1)，选项D正确。
3. 多项式 $15x^{3}y + 5x^{2}y - 20x^{2}y^{2}$ 各项的公因式是()
A.$5xy$
B.$5x^{2}y$
C.$5x^{2}y^{2}$
D.$5x^{2}y^{3}$
A.$5xy$
B.$5x^{2}y$
C.$5x^{2}y^{2}$
D.$5x^{2}y^{3}$
答案
B
解析
多项式$15x^{3}y + 5x^{2}y - 20x^{2}y^{2}$中，
系数$15$、$5$、$20$的最大公约数是$5$；
字母$x$的最低次幂是$x^{2}$；
字母$y$的最低次幂是$y$。
所以公因式为$5x^{2}y$。
系数$15$、$5$、$20$的最大公约数是$5$；
字母$x$的最低次幂是$x^{2}$；
字母$y$的最低次幂是$y$。
所以公因式为$5x^{2}y$。
4. 分解因式：$m^{2}-3m=$.
答案
$m(m - 3)$
解析
原式$m^{2}-3m$中，每一项都含有公因式$m$，将公因式$m$提取出来后可得：$m^{2}-3m = m(m - 3)$。
5. (1) 多项式 $3x^{2}-6xy + 3$ 各项的公因式是.
(2) 多项式 $4m^{3}-16m^{2}$ 各项的公因式是.
(3) 多项式 $2(x - 3)+x(3 - x)$ 各项的公因式是.
(2) 多项式 $4m^{3}-16m^{2}$ 各项的公因式是.
(3) 多项式 $2(x - 3)+x(3 - x)$ 各项的公因式是.
答案
(1) $3$
(2) $4m^{2}$
(3) $x - 3$
(2) $4m^{2}$
(3) $x - 3$
解析
(1) 对于多项式 $3x^{2}-6xy + 3$，
首先观察各项的系数，它们是 $3, -6, 3$，公因数是 $3$（或 $-3$，但通常选择正数作为公因式的一部分）。
接着观察各项的字母部分，$x^{2}, xy, 1$，其中 $x$ 的最小指数是 $0$（在常数项中），但由于 $x$ 在所有非常数项中都出现，且最小次数为 $1$ 的情况并不适用于所有项（常数项没有 $x$），因此主要关注数字系数和能共同拥有的因子。在这里，所有项都能被 $3$ 整除，且没有其他共同的字母因子。
所以公因式是 $3$。
(2) 对于多项式 $4m^{3}-16m^{2}$，
首先观察各项的系数，它们是 $4, -16$，公因数是 $4$（或 $-4$，但通常选择正数）。
接着观察各项的字母部分，$m^{3}, m^{2}$，公因式是 $m^{2}$。
所以公因式是 $4m^{2}$。
(3) 对于多项式 $2(x - 3)+x(3 - x)$，
首先观察，$x - 3$ 和 $3 - x$ 是相反数，即 $3 - x = -(x - 3)$。
因此，多项式可以重写为 $2(x - 3) - x(x - 3)$。
现在，各项的公因式是 $x - 3$。
首先观察各项的系数，它们是 $3, -6, 3$，公因数是 $3$（或 $-3$，但通常选择正数作为公因式的一部分）。
接着观察各项的字母部分，$x^{2}, xy, 1$，其中 $x$ 的最小指数是 $0$（在常数项中），但由于 $x$ 在所有非常数项中都出现，且最小次数为 $1$ 的情况并不适用于所有项（常数项没有 $x$），因此主要关注数字系数和能共同拥有的因子。在这里，所有项都能被 $3$ 整除，且没有其他共同的字母因子。
所以公因式是 $3$。
(2) 对于多项式 $4m^{3}-16m^{2}$，
首先观察各项的系数，它们是 $4, -16$，公因数是 $4$（或 $-4$，但通常选择正数）。
接着观察各项的字母部分，$m^{3}, m^{2}$，公因式是 $m^{2}$。
所以公因式是 $4m^{2}$。
(3) 对于多项式 $2(x - 3)+x(3 - x)$，
首先观察，$x - 3$ 和 $3 - x$ 是相反数，即 $3 - x = -(x - 3)$。
因此，多项式可以重写为 $2(x - 3) - x(x - 3)$。
现在，各项的公因式是 $x - 3$。
6. 若 $a + b = 4$，$ab = 1$，则 $a^{2}b + ab^{2}=$.
答案
4（题目没有给出选项，按照要求直接填答案数值即可）
解析
首先观察表达式$a^{2}b + ab^{2}$，发现可以提取公因式$ab$，得到：
$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b)$，
根据题目给定的条件，$a + b = 4$和$ab = 1$，将这些值代入到上面的表达式中，得到：
$a^{2}b + ab^{2} = 1 × 4 = 4$，
所以，$a^{2}b + ab^{2}$的值为4。
$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b)$，
根据题目给定的条件，$a + b = 4$和$ab = 1$，将这些值代入到上面的表达式中，得到：
$a^{2}b + ab^{2} = 1 × 4 = 4$，
所以，$a^{2}b + ab^{2}$的值为4。
7. 分解因式：
(1) $8a^{3}b^{2}c + 6ab^{2}$.
(2) $x(x - 7)+y(x - 7)$.
(3) $(x + y)^{2}-3(x + y)$.
(4) $(x - 1)^{2}-x + 1$.
(1) $8a^{3}b^{2}c + 6ab^{2}$.
(2) $x(x - 7)+y(x - 7)$.
(3) $(x + y)^{2}-3(x + y)$.
(4) $(x - 1)^{2}-x + 1$.
答案
(1)
首先，观察多项式 $8a^{3}b^{2}c + 6ab^{2}$，可以发现公因式是 $2ab^{2}$。
然后，将公因式提取出来，得到：
$8a^{3}b^{2}c + 6ab^{2} = 2ab^{2}(4a^{2}c + 3)$。
(2)
对于多项式 $x(x - 7) + y(x - 7)$，公因式是 $x - 7$。
提取公因式，得到：
$x(x - 7) + y(x - 7) = (x - 7)(x + y)$。
(3)
观察多项式 $(x + y)^{2} - 3(x + y)$，可以发现公因式是 $x + y$。
提取公因式，得到：
$(x + y)^{2} - 3(x + y) = (x + y)(x + y - 3)$。
(4)
首先，对多项式 $(x - 1)^{2} - x + 1$ 进行变形，将 $-x + 1$ 写作 $-(x - 1)$。
然后，可以发现公因式是 $x - 1$。
提取公因式，得到：
$(x - 1)^{2} - x + 1 = (x - 1)(x - 1 - 1) = (x - 1)(x - 2)$。
首先，观察多项式 $8a^{3}b^{2}c + 6ab^{2}$，可以发现公因式是 $2ab^{2}$。
然后，将公因式提取出来，得到：
$8a^{3}b^{2}c + 6ab^{2} = 2ab^{2}(4a^{2}c + 3)$。
(2)
对于多项式 $x(x - 7) + y(x - 7)$，公因式是 $x - 7$。
提取公因式，得到：
$x(x - 7) + y(x - 7) = (x - 7)(x + y)$。
(3)
观察多项式 $(x + y)^{2} - 3(x + y)$，可以发现公因式是 $x + y$。
提取公因式，得到：
$(x + y)^{2} - 3(x + y) = (x + y)(x + y - 3)$。
(4)
首先，对多项式 $(x - 1)^{2} - x + 1$ 进行变形，将 $-x + 1$ 写作 $-(x - 1)$。
然后，可以发现公因式是 $x - 1$。
提取公因式，得到：
$(x - 1)^{2} - x + 1 = (x - 1)(x - 1 - 1) = (x - 1)(x - 2)$。
